Бесконечность и математика

Развитие понятия «бесконечность» в математике

Бесконечность, одно из самых удивительных научных понятий, неизменно привлекает внимание человека. Быть может, это определяется тем, что в повседневной жизни нам всегда приходиться иметь дело только с конечными величинами, с конечным числом тех или иных объектов. Бесконечность манит человека своей необычностью и даже таинственностью.

Бесконечность – это вполне реальное свойство или совокупность свойств окружающего нас мира, и как всякое реально существующее свойство она доступна научному познанию и может быть изучена как качественно, так и количественно. По существу, история бесконечного пронизывают всю историю познания человеком окружающего мира и своего места в нем.

В 5 – 7 веках до нашей эры поразительных успехов добилась греческая философия, которая дала науке целый ряд гениальных догадок и поставила много кардиальных проблем, сохранивших свою актуальность и до сегодняшнего дня. Среди таких проблем, привлекавших внимание древнегреческих мыслителей, важное место занимала проблема бесконечного.

Одним из самых выдающихся философов Древней Греции, задумывавшимся над проблемой конечного и бесконечного, был Пифагор. «Число – олицетворение добра, а бесконечная пустота – олицетворение зла. Конечное и упорядоченное неизмеримо ценнее, чем бесконечное и неопределенное. В конечности – красота и совершенство. В безграничности – незавершенность и несовершенство. Следует преклоняться перед конечным и питать отвращение к бесконечному», - в этом выражалось учение Пифагора о бесконечности.

Еще один древнегреческий ученый, Аристотель, понимал, что наука о природе не может отказаться от понятия бесконечного. По его мнению, бесконечность – это процесс, состоящий из последовательных шагов, где за каждым очередным шагом имеется следующий и нет последнего. Например: бесконечная последовательность натуральных чисел, которую можно получить путем последовательного прибавления единицы. Подобную бесконечность Аристотель называл потенциальной, которую он понимал, как осуществимость сколь угодно большого, но конечного числа объектов. Бесконечность же, которая предполагает возможность завершения бесконечного процесса, он называл актуальной. Аристотель утверждал, что математики вполне могут обойтись потенциальной бесконечностью. Актуальную бесконечность следует отбросить как ненужную. Величайший мыслитель Древней Греции, Аристотель достиг высот теоретической мысли, но в то же время провел непроходимую грань между прикладными задачами и научной теорией. Он утверждал, что математика должна заниматься только чисто теоретическими операциями, а реальные вещи ее совершенно не должны интересовать.

Первым среди древнегреческих ученых, кто применил теоретические знания, в частности понятие бесконечности для решения практических задач, был Архимед. Он первым вычислил площадь круга как предел площади, вписанного в окружность правильного многоугольника, когда число его сторон ограниченно возрастает, то есть стремится к бесконечности.

Одно из величайших достижений науки 17 века, изобретение дифференциального и интегрального исчислений начало новый этап в развитии представлений о бесконечности.

Вопросами исчисления бесконечно малых занимались И. Ньютон и Г. Лейбниц.

В 1736 г. был издан трактат «Метод флюксий и бесконечные ряды», написанный Ньютоном в 1672 году. В нем четко сформулированы в механических и математических выражениях обе взаимно обратные задачи анализа и применен метод флюксий к большому количеству геометрических задач, а также представлен в элементарных функциях ряд интегралов от функций, которые содержат квадратный корень из квадратного трехчлена. Большое внимание уделено интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, решены некоторые задачи вариационного исчисления. Ньютон переменные величины называл флюентами, а отношение бесконечно малого прироста одной флюенты соответствующему бесконечно малому приросту другой – флюксиями. В современной терминологии принято обозначение, введенное впоследствии Лейбницем, - дифференциал.

Одновременно с И. Ньютоном создание дифференциального и интегрального исчисления завершил Г. Лейбниц. При этом он исходил не из квадратуры кривых, как Ньютон, а из проблемы касательных. В 1684 г. вышла статья Лейбница «Новый метод максимумов и минимумов», где он впервые назвал свой алгоритм дифференциальным исчислением. В 1693 г. Лейбниц опубликовал первые образцы интегрирования дифференциальных уравнений с помощью бесконечных рядов.

Уже с 90-х годов 17 столетия математический анализ стал быстро распространяться и прививаться в форме, предложенной Лейбницем, которая была предпочтительнее, благодаря общности, удобству обозначений и подробной разработке различных приемов.

Уяснить природу бесконечно малых величин помогла разработка понятия «предела». С точки зрения теории пределов, величина называется бесконечно малой, если, начиная с какого-то момента, ее численные значения сделаются и будут меньше наперед заданного сколь угодно малого положительного числа.

Само понятие «предел» получило строгое обоснование лишь в теории бесконечных множеств, создание которой стало одним из выдающихся достижений математики 19 века. Именно в этот период началось изучение множеств, состоящих из бесконечно большого числа элементов.

Теория множеств – учение об общих свойствах множеств, преимущественно бесконечных. Теорию множеств как математическую науку основал Г. Кантор. В 1883 г. Кантор опубликовал статью «О бесконечных линейных точечных многообразиях», где смело отбросил ставший уже традиционным страх математиков перед операциями с бесконечностью. Он свел понятие бесконечности к понятию бесконечных множеств и первым планомерно и последовательно занялся изучением их свойств.

«Под многообразием или множеством, - писал Кантор, - я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона».

Теория множеств, развитая Кантором, имеет дело с актуальной бесконечностью. С этой целью Кантор обобщил понятие обычного числа до понятия трансфинитного числа. Он сделал попытку создать математический аппарат для описания актуально бесконечных множеств.

Например, первое трансфинитное число ω Кантор определяет как наименьшее из всех чисел, больших любого натурального числа. При этом он использовал одно из определений предела: Т является пределом {ап}, если Т наименьшее из чисел, больших каждого из ап. Последующие трансфинитные числа получаются из ω путем добавления единицы: ω+1, ω+2, ω+3 Трансфинитное число следующего, второго класса ω2 есть наименьшее из всех чисел, больших вида ω+n и т. д.

Счетные множества имеют мощность первого числового класса. Следующая мощность может быть приписана всем числам второго класса и т. д. Так строиться шкала последовательно увеличивающихся мощностей бесконечных множеств.

Одной из особенностей новой теории множеств явилась ее небывалая общность. Операции с множествами и подмножествами не накладывают абсолютно никаких ограничений на характер объектов, составляющих эти множества. Они могут быть одушевленными или неодушевленными, маленькими или большими, реальными или воображаемыми. Это обстоятельство привело к тому, что понятия теории множеств встали в один ряд с наиболее общими понятиями логики. После работ Кантора операции с бесконечными множествами стали проводиться как если бы все их элементы находились в нашем распоряжении. Бесконечное в самом деле приобрело актуальный характер. Это был весьма любопытный период в истории не только математики, но и физики, и естествознания. И казалось ничто не может нарушить абсолютную строгость в обосновании анализа бесконечно малых.

В действительности это было всего лишь обманчивое затишье перед бурей. Кризис в математике разразился, когда известный английский ученый Б. Рассел и независимо от него Э. Ф. Цермелло обнаружили неожиданный парадокс. Оказалось, что достаточно стройные, и, казалось бы, логически неуязвимые положения теории множеств приводят к вопиющему логическому противоречию:

Некоторые множества содержат сами себя в качестве одного из элементов. Например, множество всех абстрактных понятий само является абстрактным понятием и потому тоже входит в это множество.

Вполне правомерно, с точки зрения канторовской теории множеств, рассматривать и множество всех существующих вообще множеств или множество всех множеств, обладающих определенным свойством.

Всю эту ситуацию можно выразить в следующей парадоксальной фразе: множество всех множеств, не являющихся своим собственным элементом, является своим элементом тогда и только тогда, когда оно не является своим элементом

Парадокс Рассела – Цермелло произвел сильное впечатление, ведь он затрагивал не толь теорию множеств и даже не только математику, но и логику вообще.

Возможно, все дело в том, что нельзя рассматривать слишком обширные множества – такие, как множество всех множеств, обладающих определенными свойствами.

Но если запретить множество всех множеств, мы придем к противоречию с канторовским определением множества.

Этот кризис оснований математики оказался необычайно глубоким. После того, как прошел первый шок, над поисками выхода из создавшейся критической ситуации задумывались многие выдающиеся умы.

Вслед за парадоксом Рассела – Цермелло перед математиками возникла проблема континуума, которая оставалась неразрешимой много десятилетий, волнуя умы множества ученых.

Проблема континуума – это задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами теории множеств следующее утверждение, называемое континуум-гипотезой: мощность континуума ( континуум – термин, употребляемый для обозначения образований, обладающих известными свойствами непрерывности, и для обозначения мощности множества действительных чисел) есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел.

Континуум-гипотеза была высказана Г. Кантором в начале 80-х годов 19 века. Многочисленные попытки доказать континуум-гипотезу, предпринятые самим Кантором и многими выдающимися математиками конца 19 – начала 20-х веков, оказались безуспешными. Австрийский математик К. Гедель доказал, что континуум-гипотеза не может быть доказана на основе аксиом арифметики и теории множеств. П. Коэн установил, что континуум-гипотеза не может быть опровергнута, исходя из того же аксиоматического построения теории множеств. Таким образом, континуум-гипотеза – первый пример утверждения, которое не может быть ни доказано, ни опровергнуто современными логическими средствами.

Яркие характеристики глубины переворота в математике дали К. Маркс И Ф. Энгельс. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями бесконечно малых величин, предела, теории множеств, континуум-гипотезы, был охарактеризован Марксом как «мистический». Лозунг многих математиков был: «Двигайтесь вперед, и вера в правильность результатов к вам придет».