Топологические свойства ячеистых многогранников

За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии – топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.

При изучении темы «Многогранники» появляется прекрасная возможность, изучить учащимся старших классов данный современный раздел математики, топологию. Дело в том, что топологические понятия и идеи присутствуют в некоторых стереометрических задачах на многогранники, где топология позволяет рассмотреть их комбинаторные свойства. Сочетание вопросов топологии поверхностей с теорией многогранников основывается на том, что определение многогранника даётся через понятие тела. Следовательно, знакомство с элементами топологии на данном этапе даёт возможность более глубоко изучить такой математический объект, как многогранник.

Кроме того, более глубокое изучение топологических свойств многогранников школьниками даёт им дополнительный арсенал методов и средств, необходимых при решении некоторых нестандартных, практических задач, задач повышенной сложности. Рассмотрение вопросов данного класса позволяет сформировать у учащихся новый взгляд на геометрию, оторвав его от узко метрических вопросов, которые учащиеся привыкли отождествлять с этим предметом. Очень важно показать, что геометрия гораздо шире, чем круг задач на вычисления расстояний, площадей и объёмов. Учащиеся должны понимать, что реальная жизнь богаче, и это богатство уже давно восприняла геометрия. Раскрыть красоту и многообразие геометрии школьникам как раз и позволяет изучение топологических свойств многогранников.

Некоторые топологические свойства многогранников

1. Основные понятия и определения, связанные с топологическими свойствами многогранников.

Во многих вопросах теории многогранников бывает важно знать не форму и размеры граней рассматриваемого многогранника, а лишь число сторон каждой грани и общую схему соединения граней в поверхность многогранника. Свойства многогранника, связанные лишь с общей схемой соединения его граней, называются его топологическими свойствами. Изучением данных свойств занимается комбинаторная топология – раздел геометрии, изучающий свойства геометрических фигур, остающихся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях.

Основоположником топологии считается Леонард Эйлер. Доказанное им соотношение о связи между числами вершин, граней, рёбер выпуклого многогранника – пример топологического свойства поверхности выпуклого многогранника. Именно поэтому историки математики назвали теорему Эйлера, доказанную учённым в 1752 году, первой теоремой топологии.

Сочетание вопросов топологии поверхностей с теорией многогранников основывается на том, что определение многогранника даётся через понятие тела. Следовательно, знакомство с элементами топологии на данном этапе даёт возможность более глубоко изучить такой математический объект, как многогранник. Несмотря на то, что понятие многогранника достаточно наглядно, для его строгого определения необходимо ввести такие топологические понятия, как внутренняя точка, граничная точка, внутренность, граница, замкнутость, связность, ограниченность и выпуклость, а также само понятие тела, как ограниченной связной фигуры, рассматриваемой вместе со своей границей.

Трудным моментом является определение многогранника. В различных учебниках по стереометрии используются различные определения этого понятия. Так, в учебниках А. В. Погорелова многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. При этом понятие тела вводится на наглядном уровне следующим образом. В стереометрии изучают фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно (геометрическое) тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.

В учебнике Л. С. Атанасяна поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, называют многогранной поверхностью или многогранником. Причём после такого определения уточняется понятие геометрического тела. При этом рассматриваются понятия: граничная точка данной фигуры, граница фигура, внутренняя точка фигуры, ограниченная фигура, связная фигура. И только после этого определяется понятие геометрического тела как ограниченной связной фигуры в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причём сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры.

В учебном пособии А. Д. Александрова, ориентированном на классы с углубленным изучением математики, многогранником называется ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. При этом понятие тела определяют следующим образом. Телом называется фигура в пространстве, обладающая двумя свойствами:

1) у неё есть внутренние точки, и любые две из них можно соединить ломанной (или отрезком), которая целиком проходит внутри фигуры, т. е. состоит из внутренних точек;

2) фигура содержит свою границу, и её граница совпадает с границей её внутренности.

Здесь же даётся определение выпуклого многогранника. Выпуклый многогранник – это многогранник, любые две точки которого соединимы в нём отрезком. В других учебных пособиях по геометрии даётся несколько иное определение выпуклого многогранника. В учебниках Л. С. Атанасяна и А. В. Погорелова даются несколько иные, аналогичные между собой определения выпуклого многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.

Рассмотрим различные подходы к определению понятия правильного многогранника. В различных учебниках по стереометрии используются разные определения этого понятия. Так, в учебники Л. С. Атанасяна выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер. В учебнике А. В. Погорелова вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. Пособие А. Д. Александрова по сравнению с учебником накладывает дополнительное требование равенства всех двугранных углов правильного многогранника.

Таким образом, во всех перечисленных учебниках даются различные определения понятия правильного многогранника, использующие разные свойства правильных многогранников. Перечислим их:

1. Выпуклость многогранника.

2. Все грани – равные правильные многоугольники.

3. Все грани – правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон.

4. В каждой вершине сходится одинаковое число рёбер.

5. Равны все двугранные углы.

Для определения топологически правильного многогранника следует использовать свойства, носящие топологический характер. Такими свойствами из перечисленных выше являются 3, 4, 5. Поэтому лучше всего для этих целей подходит определение правильного многогранника, данное в учебнике Погорелова.

Таким образом, если мы хотим рассмотреть свойства правильных многогранников более подробно, в частности перейти к топологически правильным многогранникам, то лучше всего обратиться к определениям из учебников А. Д. Александрова и А. В. Погорелова.

Рассмотрим один из способов изложения этих фактов в педвузе. Сначала рассматривается аналогия с понятием «многоугольник». Подобно тому, как многоугольник является простейшей фигурой на плоскости, так многогранник является простейшей фигурой в пространстве. Определение многогранника даётся следующим образом. Многогранником называется геометрическая фигура, состоящая из конечного числа плоских многоугольников (граней), расположенных в пространстве так, что:

1) любая сторона каждой её грани является стороной ещё одной и только одной грани (смежной);

2) для любых двух граней ( и ( найдётся такая последовательность граней этого же многогранника (1, (2, , (n ,что грани ( и (1, (1 и (2, , (n и ( будут смежными;

3) если грани ( и ( имеют общую вершину А, то указанную последовательность (1, (2, , (n можно выбрать так, чтобы они имели общую вершину А.

Договариваются полагать, что многогранник – это поверхность. Только при изучении объёмов условно включается в понятие «многогранник» его внутренняя область.

Многогранник называется выпуклым, если он расположен целиком по одну сторону от плоскости, проходящей через любую его грань.

Свойство выпуклости не является обязательным для некоторых топологических свойств многогранников (например, для формулы Эйлера). Так эйлерова характеристика многогранника ( = В+Г-Р, где В, Г, Р – числа вершин, граней, рёбер этого многогранника соответственно, характеризует не столько его форму, сколько его топологическое устройство. Но для многогранников, содержащих «сквозные отверстия» это не верно, приходится вводить определение многогранника некоторого рода.

Род многогранника определяется по числу “отверстий” в нём.

Многогранником k-го рода называется многогранник, допускающий последовательно k разрезов (т. е. замкнутых ломанных без самопересечения, составленных из рёбер), после чего поверхность не рассыпается (остаётся в виде одного цельного куска), но не допускает затем (k +1)-го такого разреза.

Таким образом, топологические свойства многогранников – это такие их свойства, которые сохраняются при непрерывных взаимно однозначных преобразованиях. При изучении данных свойств внутренняя область многогранника не рассматривается, поэтому необходимо употреблять те определения, которые не используют такие элементы топологии, как окрестность, геометрическое тело, внутренние точки, граничные точки и др.

Теорема Эйлера и следствия из неё

Леонардом Эйлером была доказана удивительная теорема.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника

В + Г – Р = 2 , (1) где В – число вершин, Г – число граней, Р – число рёбер данного многогранника.

Данная теорема справедлива не только для выпуклых многогранников, но и для таких многогранников, которые могут быть получены из выпуклых с помощью непрерывной деформации «без разрывов и склеиваний». При этом ясно, что поскольку в теореме Эйлера речь идёт лишь об элементах поверхности многогранника, то в её условии, говоря «многогранник», можно иметь в виду многогранную поверхность, а не многогранное тело, и эта теорема относится именно к поверхностям, а не к телам.

Более того, в формуле Эйлера величина [В + Г - Р] определяется лишь сетью вершин и рёбер на поверхности выпуклого многогранника. Эта величина не изменится, если мы деформируем рассматриваемую многогранную поверхность, например, в сферу, а сеть вершин и рёбер многогранника в некоторую сеть точек и кривых на сфере. Тогда можно считать В числом вершин такой сети, Р числом её «рёбер» , а Г числом областей, на которые сеть разбивает сферу: эти области на сфере получаются в результате деформации из граней многогранника. Хорошее представление о такой сети даёт, например, покрышка футбольного мяча.

Итак, в формуле Эйлера речь идёт о топологических свойствах фигур.

Воспользуемся возможностью таких деформаций, не изменяющих чисел В, Р, Г , при доказательстве теоремы Эйлера. Поступим так. Пусть R - выпуклый многогранник, а В, Г, Р – числа его вершин, граней и рёбер. Удалим из R любую его грань Q, оставив её стороны и вершины.

Оставшуюся многогранную поверхность обозначим R1. Число вершин у R и R1 одно и то же – В. Точно так же число рёбер – Р. А число Г1 граней у R1 на единицу меньше, чем у R, то есть Г1 = Г – 1. Поэтому равенство Эйлера (1) равносильно равенству

В + Г1 – Р = 1, (2) а его можно доказать с помощью следующей леммы.

Лемма: Пусть простой многоугольник Q разбит некоторой сетью, состоящей из точек (вершин сети) и соединяющих их отрезков (рёбер сети), на Г1 простых многоугольников Т1 , , ТГ1. Если В – число вершин в этой сети, а Р – число её рёбер (считая вершины и стороны самого многоугольника Q), то

В + Г1 – Р = 1.

Доказательство.

Среди простых многоугольников, на которые разбит многоугольник Q, всегда найдётся такой многоугольник Т1, что, удалив Т1 из Q, мы снова получим один простой многоугольник Q1 (рис. 2). Вообще говоря, не каждый из многоугольников разбиения, выходящих на границу многоугольника Q, обладает таким свойством. Например, им не обладает многоугольник Т2.

Удалив многоугольник Т1 из Q, удалим все его внутренние точки и только те его вершины (и рёбра), которые не являются вершинами (и рёбрами) других многоугольников, входящих в разбиение Q. Поэтому если, удаляя многоугольник Т1 , удалим часть границы многоугольника Q, которая является ломанной, состоящей из m рёбер, то при этом удалим (m-1) вершину. Итак, для разбиения многоугольника Q1 число его вершин

В1 = В – (m-1), число его рёбер

Р1 = Р - m, а число многоугольников

Г2 = Г1 – 1.

Следовательно,

В1 – Р1 + Г2 = (В – m + 1) – (Р - m) + (Г1 – 1) = В – Р + Г1.

Таким образом, число [В – Р + Г1] не изменяется при описанном удалении многоугольника Т1. Продолжив такие операции n = Г1 – 1 раз, придём к одному простому многоугольнику, для которого число его вершин Вn равно числу его рёбер Рn , а Гn = 1. Поскольку, очевидно, Вn - Рn + Гn = 1, а В – Р + Г1 = Вn - -Рn + Гn , то равенство (2) справедливо.

Теперь, чтобы завершить доказательство теоремы Эйлера, достаточно «растянуть» многогранную поверхность R1 вместе с сетью её вершин и рёбер на плоскость в плоский многоугольник и воспользоваться доказанной леммой.

Одним из главных моментов проведённого доказательства является возможность «распрямить и положить на плоскость» поверхность многогранника после того. Как у него удалена одна грань, которая является простым многоугольником. Этого нельзя сделать, например, для многогранника. Для него уже В + Г – Р ≠ 2.

Но для многогранников любого строения и вообще для тел выполняется обобщённая теорема Эйлера. Для всех сетей, которые могут быть «нарисованы» на поверхности данного тела или любого получаемого из него деформацией без разрывов и склеиваний, число [В – Р + Г] одно и то же при условии, что каждую «грань» (область) можно деформировать в простой многоугольник (с тем же числом сторон).

Вообще же с теоремой Эйлера связаны имена многих геометров. Ещё Рене Декарт установил, что число плоских углов замкнутого выпуклого многогранника равно 2Г + 2В – 4 и что это же число равно 2Р. Но он не видел необходимости соединить эти два утверждения. Зависимость В – Р + Г = 2 впервые заметил Эйлер в 1750 г. , когда он попытался дать классификацию многогранников. Он проверил формулу на многих многогранниках, а затем в 1751 г. , предложил её доказательство.

С тех пор много раз уточнялось как само утверждение, так и его доказательство, Сам Эйлер полагал, что оно верно для всех многогранников. Но в 1812 г. С. А. Ж. Люилье (1750-1840) указал контр пример: куб, из внутренности которого удалён меньший куб. В самом деле, для такого многогранника В– Р + Г = 4. Приводились и другие контр примеры.

Для «спасения» теоремы потребовалось заняться уточнением понятия «многогранник». Эйлер понимал под многогранником тело, поверхность которого состоит из многоугольников.

Контр пример Люилье был отвергнут таким соображением: в многограннике точка должна непрерывно двигаться по всей его поверхности. Но для многогранника, изображённого на рисунке 3. Это выполняется, однако для него В + Г – Р = 0.

В дальнейших уточнениях понятия многогранника и теоремы Эйлера принимали участие многие знаменитые геометры: А. Ф. Мёбиус (1790-1868), Л. Пуансо (1777-1859), К. Жордан (1838-1922), А. Пуанкаре (1854-1912). И когда в конце 19 века из геометрии выделилась новая математическая наука – топология, то стало ясно, что теорема Эйлера имеет топологический характер и является одним из фундаментальных результатов топологии.

Итак, как уже отмечалось ранее, соотношение Эйлера верно для всех выпуклых, но не для всех невыпуклых многогранников. Так число (, называемое эйлеровой характеристикой многогранника, может принимать значения 2,0,-2,-4,-6,. Эйлерова характеристика показывает, сколько сквозных «дыр» (замкнутых «колец») имеет многогранник. Число таких сквозных «дыр» называется родом многогранника.

Многогранником k-го рода называется многогранник, допускающий последовательно k разрезов (то есть замкнутых ломанных без самопересечений, составленных из рёбер), после чего поверхность не распадается (остаётся в виде одного цельного куска), но не допускает затем (k + 1)-го такого разреза.

Многогранник рода 1 можно получить из двух многогранников рода 0, приставив их друг к другу двумя несмежными гранями, многогранник рода 2 можно получить из многогранника рода 1, приставив к нему таким же образом многогранник рода 0.

Вообще, многогранник рода k можно получить из многогранника рода k-1, приставив к нему двумя несмежными гранями многогранник нулевого рода. Пусть при этом m – угольная грань (1 объекта М1 совмещается с гранью (1 фигуры М2, а n – угольная грань (2 объекта М1 с гранью (2 фигуры М2.

Тогда в полученном объекте М число граней будет

Г = Г1 + Г1 – 4

(гранями многогранника М будут все грани многогранников М1 и М2, кроме граней (1, (2, (1 и (2). Число вершин в нём будет равно сумме вершин М1 и М2, за исключением m вершин (1 и n вершин (2 многогранника М2, т. е.

В = В1+В2 - (m + n).

Точно также число рёбер фигуры М равно

Р = Р1 + Р2 – (m + n).

Из равенств для чисел В, Г, Р, Я многогранника М получаем, что

В + Г – Р = (В1 + Г1 - Р1 ) + (В2 + Г2 - Р2 ) – 4.

Так как М2 есть многогранник нулевого рода , то по теореме Эйлера получаем В + Г – Р = (В1 + Г1 - Р1 ) - 2.

Таким образом, увеличение рода многогранника на 1 влечёт уменьшение эйлеровой характеристики на 2. Учитывая, что для многогранников рода 0 число (=2, приходим к следующему общему выводу.

Обобщённая теорема Эйлера: Для любого многогранника k-го рода справедливо соотношение

В + Г – Р = 2(1 – k). (3)

Данную теорему сумел доказать в 1890 году Анри Пуанкаре.

Выводы по главе I:

1. Топологические свойства многогранников – это такие их свойства, которые сохраняются при непрерывных взаимно однозначных преобразованиях.

2. К основным топологическим свойствам относятся: теорема Эйлера и следствия из неё.

3. Для изучения данных свойств в школе необходимо использовать соответствующие определения, не учитывающие внутреннюю область фигур.

Обобщения теоремы Эйлера для ячеистых многогранников

В данной главе будут рассмотрены многогранники, внутренность которых каким-либо способом разделена на ячейки (подобно делению шкафа или подводной лодки на отсеки, здания - на комнаты). Такие объекты мы назвали ячеистыми многогранниками. К сожалению, литературу, где встречалось бы упоминание о ячеистых многогранниках, найти не удалось, поэтому материал этой главы излагается самостоятельно.

В первом параграфе главы II мы перечислим основные понятия и дадим основные определения ячеистых многогранниках. Во втором параграфе мы выявим закономерности в связях между числами соответствующих элементов ячеистых многогранников. В третьем параграфе данной главы мы приведём доказательство выявленных соотношений в предыдущем параграфе.

Основные понятия и определения ячеистых многогранников

Как уже отмечалось ранее, под ячеистым многогранником понимается такой многогранник, внутренность которого составлена из конечного числа многогранников – ячеек, неделимых частей пространства. С чисто геометрической точки зрения, ячеистый многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми внешними гранями, и разбитая также плоскими многоугольниками, внутренними гранями, на конечное число ячеек, которые представляют собой многогранники. Стороны и вершины внешних и внутренних граней есть ребра и вершины самого ячеистого многогранника. Внешние грани образуют так называемую многогранную поверхность, т. е. внешние грани ячеистого многогранника – это то, что называют гранями многогранника. Вершины и ребра внешних граней назовем внешними. Внешние и внутренние ребра, вершины, грани ячеистого многогранника будем в общем случае называть ребрами, вершинами, гранями этого ячеистого многогранника. Внутренние грани – это перегородки внутри ячеистого многогранника, при помощи которых образованы ячейки. Вершинами и ребрами таких граней служат как внешние вершины и ребра, так и внутренние вершины и ребра. Основываясь на вышесказанном, можно ввести следующее определение ячеистого многогранника.

Ячеистый многогранник – это многогранник, внутренность которого составлена из конечного числа ячеек, неделимых частей пространства, ограниченных внутренними и внешними гранями.

Чтобы исключить из рассмотрения многогранные фигуры типа изображённых объектов на рисунке 5, которые не принято называть многогранниками, а, следовательно, и ячеистыми многогранниками, на многогранную поверхность накладывают следующие ограничения:

1) каждое внешнее ребро должно являться общей стороной двух и только двух внешних граней, называемых смежными;

2) каждые две внешние грани можно соединить цепочкой последовательно смежных внешних граней;

3) для каждой внешней вершины углы прилежащих к этой вершине внешних граней должны ограничивать некоторый многогранный угол.

Ячеистый многогранник будем называть выпуклым, если он расположен в одном полупространстве по отношению к любой плоскости, проведенной через любую его внешнюю грань. В противном случае ячеистый многогранник будем называть невыпуклым. Примером такого ячеистого многогранника может служить ячеистый многогранник.

Ячеистые многогранники такого типа будем относить к ячеистым многогранникам первого рода. Это свойство можно определить, введя понятие «разрез», как замкнутую ломанную без пересечений, проведённую вдоль внешних рёбер.

Ячеистый многогранник относят к первому роду, если найдется один разрез, не разбивающий поверхность этого многогранника на части, но затем не найдётся второго такого разреза. На рисунке 7 изображён многогранник второго рода. Можно выполнить два разреза, после чего поверхность данного многогранника останется в виде одного цельного объекта, но любой последующий, третий разрез, приведёт к распаду данного ячеистого многогранника.

Таким образом, легко заметить, сколько дырок или отверстий в ячеистом многограннике, такого он и рода. Ячеистым многогранником (-го рода будем называть такой ячеистый многогранник, для которого последовательно найдется ( разрезов, не разбивающих поверхность ячеистого многогранника на части, но затем не найдется (( + 1)-го такого разреза.

Так как ячейка представляет собой многогранник, то на нее накладываются все определения данной фигуры. В частности, под «родом ячейки» мы будем понимать род соответствующего ей многогранника.

Итак, мы перечислили основные понятия и определения ячеистого многогранника.

Вывод соотношений между числами соответственных элементов различных конструкций ячеистых многогранников

В этом параграфе мы попытаемся выяснить закономерности в связях между числами вершин, граней, рёбер и ячеек ячеистых многогранников.

Рассмотрим сначала ячеистые многогранники нулевого рода с ячейками рода 0. Постараемся определить соотношения между числами вершин, граней, ребер и ячеек таких фигур.

Например, для объекта, изображённого на рисунке 8, число вершин, граней, рёбер соответственно равно В=4, Г=4, Р=6.

Данный ячеистый многогранник содержит одну ячейку (Я=1), которая имеет форму данной фигуры, т. е. внутреннее пространство этого многогранника заключает в себе одну ячейку. Вычислим эйлерову характеристику для данного многогранника:

( = В + Г – Р = 4 + 4 – 6 = 2.

Этот случай не противоречит теореме Эйлера о связи между числами вершин, рёбер, граней выпуклого многогранника. Рассмотрим теперь ячеистый многогранник, изображённый на рисунке 9.

Для него число В = 6, Р = 12, Г = 9 (8 внешних и одна внутренняя грани, последняя на рисунке 9 заштрихована), Я = 2 (ячейки представляют из себя две пирамиды с общим основанием, которым служит внутренняя грань). Для этого ячеистого многогранника эйлерова характеристика имеет значение

( = В + Г – Р = 6 + 9 – 12 = 3, что противоречит выше обозначенной теореме Леонарда Эйлера. Столкнувшись с проблемой невыполнимости теоремы Эйлера для ячеистых многогранников 0-го рода с ячейками рода 0 и рассмотрев достаточное количество таких фигур, на основании вычисленных эйлеровых характеристик для каждого из рассмотренных ячеистых многогранников, был сделан следующий вывод.

Вывод 1: Для ячеистого многогранника нулевого рода с ячейками рода 0 эйлерова характеристика на 1 превышает число ячеек, т. е. имеет значение

В + Г – Р = 1 + Я или

В + Г – Р – Я = 1.

В последствии была сформулирована и доказана по этому поводу теорема (см. Глава II , 3-ий параграф данной работы).

Далее были рассмотрены ячеистые многогранники (-го рода с ячейками рода 0. Для каждого из таких объектов вычислялась характеристика

( = В + Г – Р – Я, и была обнаружена закономерность в изменении числа ( для каждого из них в отдельности в зависимости от рода.

Так для ячеистого многогранника, изображенного на рисунке 10, число вершин В = 16, граней Г = 14, рёбер Р = 28, ячеек Я = 2, поэтому характеристика для такого ячеистого многогранника будет равна числу

( = 16 + 14 – 28 – 2 = 0.

Род данного объекта равен числу ( = 1. Для ячеистого многогранника второго рода (( = 2), изображенного на рисунке 11, число вершин В = 28, рёбер Р = 52, граней Г = 27, ячеек Я = 4, тогда характеристика

( = 28 + 27 – 52 – 4 = -1.

Далее вычисляя характеристику ( для ячеистых многогранников некоторого рода (, где ( принимает значения большие либо равные нулю.

( 0 1 2 3 4 5

0 6 12 9 2 1 (1=0

1 16 14 28 2 1 (i =0

2 28 26 52 3 1 (i =0

3 40 39 76 5 1 (i =0

1 16 12 28 1 0 (1=1

2 28 23 52 2 -1 (i =1

2 28 22 52 1 -1 (1=2

2 28 25 52 3 0 (1=(2=0, (3=1

3 40 33 76 2 -2 (1=1,(1=2

3 40 34 76 3 -2 (i =1

3 40 32 76 1 -2 (1=3

3 40 37 76 4 0 (1=(2=(3=0, (4=1

На основании проведенных исследований было сделано следующее заключение.

Вывод 3: Для ячеистого многогранника (-го рода, имеющего n ячеек, сумма родов которых равна числу , где (i – род i – той ячейки, выполняется соотношение

В + Г – Р – Я + ( = или

В + Г – Р – Я + ( = 1 – (( + S).

Таким образом, для трёх возможных конструкций ячеистых многогранников гипотетически предположили выполнение предъявленных соотношений, которые являлись справедливыми на рассмотренных примерах.

Обобщения теоремы Эйлера для ячеистых многогранников

В этом параграфе будут доказаны выявленные в последнем параграфе соотношения между числами вершин, граней, рёбер и ячеек ячеистых многогранников. Как уже отмечалось, в литературе излагаемый материал не встречается, поэтому теоремы 1, 2 и 3 на совести автора.

П. 1. Обобщение теоремы Эйлера для ячеистых многогранников нулевого рода с ячейками нулевого рода.

Рассмотрим проблему связи вершин, граней, рёбер и ячеек ячеистого многогранника нулевого рода с ячейками рода 0.

Теорема 1. Для любого ячеистого многогранника нулевого рода с ячейками рода 0, имеющего В вершин, Г граней, Р рёбер, Я ячеек, справедлива формула

В + Г – Р – Я = 1. (()

Доказательство.

Рассмотрим произвольный ячеистый многогранник нулевого рода с ячейками рода 0. Разобьём исходный объект на ячейки, т. е. получим некоторое конечное число многогранников нулевого рода. Если число ячеек было равно числу n (Я = n), то данный ячеистый многогранник распадется на n многогранников.

Доказательство поведем методом математической индукции по числу ячеек в собираемой шаг за шагом конструкции исходной фигуры из полученных разбиением многогранников. Для сборки будем брать очередную ячейку ту, которая соседствовала в исходной конструкции, т. е. ячейку, которая имеет с недостроенным ячеистым многогранником, по крайней мере, одну общую грань. Будем считать, что разбиение исходной фигуры было таким, что на каждом шаге сборки будет получаться конструкция недостроенного ячеистого многогранника нулевого рода. На каждом шаге сборки будем проверять справедливость (().

1) Для одной ячейки (Я = 1), имеющей В1 вершин, Г1 граней, Р1 ребер, Я1 ячеек (Я1 = Я = 1) выполнение равенства (() очевидно. Действительно, каждая ячейка, полученная разбиением, является многогранником нулевого рода, поэтому для каждой из них верна теорема Эйлера:

В1 + Г1 – Р1 = 2 или

В1 + Г1 – Р1 = 1 + 1 = 1 + Я1, откуда следует, что для одной ячейки нулевого рода теорема 1 справедлива.

2) Для двух ячеек (Я = 2) F1 и F2 приставленными друг к другу несколькими гранями, получаем ячеистый многогранник нулевого рода, в котором число вершин

В = В1 + В2 - В2(, число граней

Г = Г1 + Г2 - Г2(, число рёбер

Р = Р1 + Р2 - Р2(, где В1, Г1, Р1 и В2, Г2, Р2 – число вершин, граней, рёбер первой и второй ячеек соответственно, а В2(, Г2(, Р2( - число вершин, граней, рёбер тех граней ячейки F2, которыми велось приставление ячейки F1 к F2. Т. к. ячейки F1 и F2 суть многогранники рода 0, то по теореме Эйлера для каждой из них

В1 + Г1 – Р1 = 2 и В2 + Г2 – Р2 = 2. (1)

Тогда эйлерова характеристика полученного ячеистого многогранника

В + Г – Р = (В1 + Г1 – Р1) + (В2 + Г2 – Р2) – (В2( + Г2( - Р2(), откуда с учётом равенств (1)

В + Г – Р = 2 + 2 – 1 = 2 + 1.

Последнее равенство также удовлетворяет теореме 1, ведь число ячеек полученного ячеистого многогранника равно числу Я = 2, поэтому

В + Г – Р – Я = 1.

Таким образом, для ячеистого многогранника нулевого рода с ячейками рода ноль, полученного приставлением двух ячеек несколькими гранями, равенство (() справедливо.

3) Предположим, что приставление (n – 1)-ой ячейки к недостроенной конструкции ячеистого многогранника, состоящей из (n – 2)-ух ячеек не изменяет справедливость равенства (() для получаемого таким образом ячеистого многогранника нулевого рода, содержащего (n – 1) ячеек.

4) Докажем, что справедливость равенства (() не нарушиться при приставлении n-ой ячейки к недостроенной конструкции фигуры рода ноль, состоящей из (n – 1)-ой ячейки. По индукционному предположению последний ячеистый многогранник F1 нулевого рода удовлетворяет теореме 1, т. е.

В1 + Г1 – Р1 – Я1 = 1, (2) где В1, Г1, Р1, Я1 – числа его вершин, граней, рёбер и ячеек (Я1 = n–1) соответственно. Из пункта 1) доказательства данной теоремы следует, что для ячейки F2 как многогранника нулевого рода, имеющий В2 вершин, Г2 граней, Я2 ячеек, Р2 рёбер, также справедлива теорема 1

В2 + Г2 – Р2 – Я2 = 1, (3) где Я2 = 1. При выше рассмотренной сборке фигур F1 и F2 получим ячеистый многогранник F нулевого рода, содержащий n ячеек рода 0. Число вершин объекта F будет равно

В = В1 + В2 - В2(, (4)

(вершинами F будут все вершины F1 и F2, за исключением В2( вершин ячейки F2 – это вершины тех граней, которыми приставляем F2 к F1). Точно также число рёбер ячеистого многогранника F будет равно

Р = Р1 + Р2 - Р2(. (5)

Число граней в фигуре F будет равно

Г = Г1 + Г2 - Г2( (6)

(гранями ячеистого многогранника F будут все грани ячеистых многогранников F1 и F2, кроме Г2( граней объекта F2 – это те грани, которыми приставляем ячейку F2 к фигуре F1).

Очевидно, что число ячеек в ячеистом многограннике F будет равно

Я = Я1 + Я2 = n. (7)

Тогда с учетом равенств (4) – (7) для ячеистого многогранника F справедливо

В + Г – Р – Я = (В1 + Г1 – Р1 – Я1) + (В2 + Г2 – Р2 – Я2) – (В2( + Г2( - Р2(), откуда с учётом соотношений (2) и (3) получаем

В + Г – Р – Я = 1 + 1 - (В2( + Г2( - Р2() или

В + Г – Р – Я = 2 - (В2( + Г2( - Р2(). (8)

Но (В2( + Г2( - Р2() – это характеристика тех граней которыми ведётся приставление ячеистого многогранника F1 к ячейке F2, поэтому

В2( + Г2( - Р2( = 1.

С учётом последнего равенства из соотношения (8) получим

В + Г – Р – Я = 2 – 1 = 1.

Таким образом, при приставлении ячейки рода ноль к объекту, содержащему (n - 1)-у ячейку, получается ячеистый многогранник рода 0 с n ячейками нулевого рода, для которого справедливость теоремы 1 не нарушается. Теорема полностью доказана.

Итак, мы доказали теорему 1 о связи вершин, граней, рёбер и ячеек в ячеистом многограннике нулевого рода с ячейками рода 0 методом математической индукции, разбив произвольный объект, удовлетворяющий условию теоремы, на его ячейки, а затем собирая из них исходную фигуру в обратном порядке. При этом на каждом шаге сборки проверяли справедливость равенства (() для получаемой конструкции.

П. 2. Обобщение теоремы Эйлера для ячеистых многогранников k-го рода с ячейками нулевого рода.

В этом пункте мы рассмотрим проблему соотношения чисел вершин, граней, рёбер, ячеек ячеистого многогранника с ячейками нулевого рода в зависимости от рода исходного объекта. А именно докажем следующую теорему.

Теорема 2. Для любого ячеистого многогранника (-го рода с ячейками рода 0, имеющего В вершин, Г граней, Р рёбер и Я ячеек справедлива формула

В + Г – Р – Я = 1 - (. ((()

Доказательство.

Для доказательства воспользуемся методом математической индукции по числу (, где ( - род ячеистого многогранника с ячейками нулевого рода.

1) Если ( = 0, то имеем ячеистый многогранник нулевого рода с ячейками рода 0. В этом случае нам нужно показать, что для такого объекта справедливо

В + Г – Р – Я = 1 - ( = 1 – 0=1, где В, Г, Р, Я – числа его вершин, граней, рёбер, ячеек соответственно. Последнее равенство справедливо в силу теоремы 1 (глава II, параграф 2. 3. , П. 1), поэтому для случая, когда ( = 0 теорема 2 верна.

2) Если ( = 1, то имеем ячеистый многогранник первого рода с ячейками рода 0. Для таких фигур должно выполняться равенство

В + Г – Р – Я = 1 – 1 = 0.

Для доказательства этого соотношения воспользуемся тем, что многогранник (-го рода можно получить из многогранника рода (( - 1), приставив к нему двумя несмежными гранями многогранник рода 0. [26, C. 391. ] Итак, ячеистый многогранник F рода ( = 1 получим из двух ячеистых многогранников F1 и F2 нулевого рода, которые имеют В1, Г1, Р1, Я1 и В2, Г2, Р2, Я2 – число вершин, граней, рёбер, ячеек соответственно, приставив их друг к другу двумя несмежными гранями. Пусть m – угольная грань (1 объекта F1 совмещается с гранью (1 фигуры F2, а n – угольная грань (2 объекта F1 с гранью (2 фигуры F2 (см. рис. 13).

Тогда в полученном ячеистом многограннике F первого рода с ячейками рода 0 число граней

Г = Г1 + Г1 – 2

(гранями F будут все грани F1 и F2, кроме граней (1 и (2). Число вершин в нём будет равно сумме вершин F1 и F2, за исключением m вершин (1 и n вершин (2 ячеистого многогранника F2, т. е.

В = В1+В2 - (m + n).

Точно также число рёбер фигуры F равно

Р = Р1 + Р2 – (m + n).

А число ячеек этого объекта будет равно сумме ячеек объектов F1 и F2, т. е.

Я = Я1 + Я2.

Из равенств для чисел В, Г, Р, Я ячеистого многогранника F получаем, что

В + Г – Р – Я = (В1 + Г1 - Р1 - Я1) + (В2 + Г2 - Р2 - Я2) – 2.

Т. к. F1 и F2 есть ячеистые многогранники нулевого рода с ячейками рода 0, то по теореме 1 (см. П. 1. ) получаем, что

В1 + Г1 - Р1 - Я1 = 1 и В2 + Г2 - Р2 - Я2 = 1.

С учетом последних равенств

В + Г – Р – Я = 1 + 1 – 2 = 0.

Тем самым доказали, что при ( = 1 формула ((() справедлива.

3) Предположим, что для ячеистого многогранника (( - 1)-го рода с ячейками рода 0 выполняется формула

В + Г – Р – Я = 1 – (( - 1), где В, Г, Р, Я – числа вершин, граней, рёбер и ячеек этого объекта соответственно.

4) Докажем, что теорема 2, равенство (((), справедлива и для ячеистого многогранника (-го рода. Тем самым полностью докажем данную теорему методом математической индукции. Для доказательства к ячеистому многограннику Ф1 рода (( - 1), имеющему Г1 граней, Р1 рёбер, В1 вершин, Я1 ячеек нулевого рода приставим ячеистый многогранник Ф2 нулевого рода, имеющий Г2 граней, Р2 рёбер, В2 вершин, Я2 ячеек. Пусть при этом m – угольная грань (1 объекта Ф1 совмещается с гранью (1 фигуры Ф2, а n – угольная грань (2 объекта Ф1 с гранью (2 фигуры Ф2. Таким образом, мы получим из ячеистого многогранника Ф1 ((-1)-го рода с ячейками рода 0, для которого по индукционному предположению верно

В1 + Г1 - Р1 - Я1 = 1 – (( - 1), (9) ячеистый многогранник Ф рода (, путем присоединения к первому двумя несмежными гранями ячеистый многогранник Ф2 нулевого рода с ячейками рода 0, для которого по теореме 1 справедливо соотношение

В2 + Г2 - Р2 - Я2 = 1. (10)

Тогда в полученном объекте Ф число граней

Г = Г1 + Г1 – 2, число вершин

В = В1+В2 - (m + n), число рёбер

Р = Р1 + Р2 – (m + n), число ячеек

Я = Я1 + Я2, откуда получаем

В + Г – Р – Я = (В1 + Г1 - Р1 - Я1) + (В2 + Г2 - Р2 - Я2) – 2.

С учетом равенств (9) и (10) из последнего равенства вытекает, что

В + Г – Р – Я = 1 – (( - 1) + 1 – 2 = 1 - (.

Таким образом, нам удалось доказать, что для ячеистого многогранника Ф рода ( с ячейками нулевого рода справедлива формула (((), т. е. верна теорема 2.

Теорема полностью доказана.

Итак, при помощи метода математической индукции мы доказали, что для любого ячеистого многогранника рода ( с ячейками нулевого рода справедлива формула ((().

П. 3. Обобщение теоремы Эйлера для ячеистых многогранников рода k с ячейками различных родов.

Рассмотрим ячеистые многогранники рода k с ячейками различных родов и докажем для таких фигур справедливость ранее выявленного соотношения.

Теорема 3. Для любого ячеистого многогранника k-го рода, имеющего В вершин, Г граней, Р рёбер и Я ячеек, с суммой родов ячеек s = i ,где n = Я, справедлива формула

В + Г – Р – Я = 1 – (k + s). (((()

Доказательство.

Разобьём произвольный ячеистый многогранник, удовлетворяющий условиям теоремы, на многогранники некоторых родов – его ячейки. Доказательство поведём методом математической индукции по числу ячеек в собираемой шаг за шагом конструкции исходного объекта. Для сборки будем брать очередную ячейку ту, которая соседствовала в начальном строении ячеистого многогранника.

1) Пусть Я=1, тогда мы можем иметь дело либо с ячейкой нулевого рода, либо с ячейкой рода ki.

Если ячейка является многогранником нулевого рода, то для неё по теореме 1 будет верно равенство (():

В + Г – Р – Я = 1, а следовательно справедлива теорема 3 (k = 0, s = 0).

Если же имеем дело с многогранником ki –го рода, то разобьём его на (ki+1) осколок, каждый из которых будет представлять собой многогранник нулевого рода. Проведём сборку этой ячейки (в обратном порядке) из полученных осколков, на каждом шаге сборки проверяя выполнимость равенства (((().

Для одного осколка из выше приведённых рассуждений для многогранника 0-го рода соотношение (((() справедливо.

Предположим, что для незавершённой конструкции исходной ячейки из ki осколков

В1 + Г1 - Р1 - Я1 = 1 – (k1 + s1), (11) где s1 = k1.

Докажем, что формула (((() справедлива и для исходной ячейки из (ki+1)-го осколка. Приставляя (ki+1)-вый осколок двумя несмежными областями граней получим исходную ячейку с числами вершин

В = В1 + В2 – 2(В2* + В2**), рёбер

Р = Р1 + Р2 – 2(Р2* + Р2**), граней

Г = Г1 + Г2 – 2(Г2* + Г2**), ячеек

Я = Я1 + Я2 – 1.

Род ячейки будет равен числу ki = (k1+1), а число s = (s1+1). Таким образом,

В + Г– Р –Я= (В1+Г1–Р1–Я1) + (В2+Г2–Р2–Я2)-2(В2*+Г2*-Р2*)-2(В2**+Г2**-Р2**)+1.

С учётом того, что В2*+Г2*-Р2* = В2**+Г2**-Р2** = 1 (так как эти величины суть характеристики двух связных областей граней), а так же равенства (11) и теоремы 1 для (ki+1)-го осколка (В2+Г2–Р2–Я2=1) для ячейки ki-го рода получаем

В + Г– Р – Я = 1- k1 - s1 +1 – 2 – 2 + 1.

Тем самым нам удалось доказать, что для одной ячейки теорема 3 верна.

2) Сделаем индукционное предположение: пусть равенство (((() верно для ячеистого многогранника Q1 ,число ячеек которого Я = n – 1, то есть

В1+Г1–Р1–Я1= 1 – (k1 + s1), где s1=i.

3) Докажем справедливость теоремы 3 для ячеистого многогранника Q, содержащего n ячеек. Для этого к фигуре Q1 из индукционного предположения приставим ячейку Q2 некоторого рода k2 , для которой из выше приведённых рассуждений для многогранника ki-го рода

В2+Г2–Р2 –Я2 = 1 – (k2 + s2), где s2 = k2. Таким образом, приставлением объектов Q1 и Q2 мы получим фигуру Q, род которой может быть равен следующим числам: а) k = k1 + k2 ; б) k > k1 + k2 ; в) k < k1 + k2.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Получаем фигуру Q с числами соответствующих характеристик

В = В1 + В2 – В2* ,

Р = Р1 + Р2 – Р2* ,

Г = Г1 + Г2 – Г2* ,

Я = Я1 + Я2 , тогда

В + Г– Р – Я = 1- (k1 + s1) + 1 – (k2 + s2) – (В2*+Г2*-Р2*).

Учитывая то, что характеристика связной области граней, которой ведётся приставление Q2 к Q1, имеет вид

В2* + Г2* - Р2* = 1, а также то, что k1 + k2 = k, s1 + s2 = s, получаем

В + Г– Р – Я = 1- (k + s) + 1 – 1= 1- (k + s).

б) В этом случае получим фигуру Q, имеющую числа вершин, граней, рёбер, ячеек соответственно

В = В1 + В2 – (В1+В2++Вm),

Р = Р1 + Р2 – (Р1+Р2++Рm),

Г = Г1 + Г2 – (Г1+Г2++Гm),

Я = Я1 + Я2 , где m – число связных областей граней. Очевидно, что

Вi + Гi - Рi = 1, где i =. Тогда

В + Г– Р – Я = 1- (k1 + s1) + 1 – (k2 + s2) – m, но k1 + k2 = k – m + 1, s1 + s2 = s, поэтому

В + Г– Р – Я = 1- (k – m +1 + s) + 1– m = 1 - (k + s).

в) Теперь получаем фигуру Q, имеющую число вершин

В = В1 + В2 – В2*, рёбер

Р = Р1 + Р2 – Р2*, граней

Г = Г1 + Г2 – Г2* + t, ячеек

Я = Я1 + Я2 , где t – число «дырок» (сквозных отверстий), закрывающихся при такой сборке, тогда k1 + k2 = k + t, a s1 + s2 = s. Учитывая также, что

В2* + Г2* - Р2* = 1, ведь приставляемые грани образуют связную область, получаем

В + Г– Р – Я = 1- (k1 + s1) + 1– (k2 + s2) + t -1 = 1 - (k + t + s) + t, или

В + Г– Р – Я = 1- (k + s)

Таким образом, доказали выполнимость теоремы 3 для фигуры Q из n ячеек.

Теорема полностью доказана методом математической индукции по числу ячеек.

Очевидно, что теорема 3 является обобщением теоремы 1, когда k = 0, s = 0, и теоремы 2, когда s = 0 (k – род рассматриваемой фигуры, s- сумма родов её ячеек).

Выводы по главе II: 1. Ячеистый многогранник – это многогранник, внутренность которого составлена из конечного числа ячеек, неделимых частей пространства, ограниченных внутренними и внешними гранями.

2. Для ячеистых многогранников были выявлены следующие соотношения между числами вершин (В), граней (Г), рёбер (Р) и ячеек (Я):

2. 1. Для ячеистых многогранников нулевого рода с ячейками рода 0 выполняется равенство

В + Г – Р – Я = 1.

2. 2. Для ячеистых многогранников k-го рода с ячейками рода 0 выполняется равенство

В + Г – Р – Я = 1 - k.

2. 3. Для ячеистых многогранников k-го рода с числом ячеек равным n и суммой их родов s (s=i, где ki – род i–той ячейки) выполняется равенство

В + Г – Р – Я = 1 – (k + s).

Топологические свойства многогранников, доступные школьникам

В топологии рассматриваются поверхности и их свойства, с простейшими из которых можно познакомить учащихся классов с углубленным изучением математики. Например, со свойством поверхности выпуклых (некоторых невыпуклых) многогранников, которое известно как теорема Эйлера, а также со свойством поверхности любого многогранника – обобщенная теорема Эйлера для многогранников k-го рода. Теорема Леонарда Эйлера – сам по себе необычный, неожиданный, красивый математический факт, кроме того имеющий несколько изящных доказательств, вполне доступных учащимся (и не только математических классов). Так, например, в одном доказательстве прибегают к такому характерному для топологии приёму: поверхность многогранника представляют сделанной из тонкого эластичного материала, вырезают одну грань и оставшуюся поверхность растягивают на плоскости. При этом грани и рёбра, конечно, деформируются, но их число, а следовательно и соотношение Эйлера, не изменяется. При другом доказательстве используется метод разбиения исходного многогранника на треугольные пирамиды. После чего проводится “сборка” начального объекта из полученных “осколков” в обратном порядке с одновременной проверкой справедливости условия Эйлера на каждом шаге. Таким образом, доказательство теоремы Эйлера последним способом является удачным примером, иллюстрирующим доказательство методом математической индукции, который изучается в математических классах. Рассмотрим данное доказательство.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника

В + Г – Р = 2.

Внутри произвольного многогранника, удовлетворяющего условию теоремы, возьмём некоторую точку О, которую соединим отрезками со всеми вершинами исходной фигуры. Многогранник разобьётся на некоторую совокупность пирамид с общей вершиной О, основаниями которых являются грани многогранника. Число всех пирамид будет равно числу граней Г. Для удобства разобьём каждую грань на треугольники. Тогда исходный объект распадётся на треугольные пирамиды с общей вершиной О.

Для проверки условия теоремы будем склеивать многогранник из полученных “осколков”. На каждом шаге сборки будем проверять справедливость теоремы, т. е. доказательство поведём методом математической индукции по числу треугольных пирамид в собираемом шаг за шагом начальном объекте.

1) Для одной треугольной пирамиды утверждение теоремы верно.

В = 4, Г = 4, Р=6 ;

4 + 4 – 6 = 2.

2) Для многогранника из двух треугольных пирамид, приставленных общей гранью друг к другу теорема также справедлива.

В = 5, Г = 6, Р = 9;

5 + 6 – 9 = 2.

3) Сделаем индукционное предположение: пусть для недостроенного многогранника, полученного из m треугольных пирамид, теорема Эйлера верна.

4) Докажем, что приставление (m+1)-го “осколка” не изменит справедливости утверждаемого равенства. Такое приставление может соответствовать одному из следующих трёх случаев: одной, двумя, тремя гранями. Рассмотрим каждый из возможных способов приставления и проверим поочерёдно для каждого из них выполнимость теоремы: рисунки 16а), 16б), 16в) соответственно.

В ( +1 )

Г ( +2 ) В+1+Г+2-Р-3=2

Р ( +3 ) а)

В ( +0 )

Г ( +0 ) В+Г-Р = 2.

Р ( +0 ) б)

В ( -1 )

Г ( -2 ) В-1+Г-2-Р+3 = 2.

Р ( -3 ) в)

Итак, приставление (m+1)-ой треугольной пирамиды к недостроенному многограннику из индукционного предположения не нарушает справедливости теоремы для получаемого многогранника. Таким образом, доказательство теоремы Эйлера методом математической индукции по числу треугольных пирамид в собираемой шаг за шагом конструкции исходного многогранника завершено. [26, C. 386-388. ]

Как было сказано выше, являясь топологическим свойством многогранников, теорема Эйлера справедлива не только для выпуклых, но и для некоторых невыпуклых многогранников, названных эйлеровыми.

Такие многогранники должны иметь поверхность гомеоморфную сфере. Для многогранников любого строения выполняется обобщённая теорема Эйлера. Полное доказательство данной теоремы сложно, однако школьникам вполне понятен вывод устанавливаемого в ней соотношения.

Интересны также результаты, которые получаются при рассмотрении с точки зрения топологии понятия правильного многогранника. Напомним, что многогранник называется правильным, если его гранями являются правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Число сторон, граней, вершин многогранника является топологически устойчивым, т. е. их количество не меняется при непрерывных деформациях, растяжениях и сжатиях многогранников. Но вот свойство «правильности» многоугольников – граней многогранника – не является топологически устойчивым, поскольку его не возможно сохранить при растяжениях и сжатиях. В связи с этим выделяются топологически правильные многогранники, а именно такие выпуклые многогранники, гранями которых являются многоугольники с одним и тем же числом сторон, а в каждой вершине которых сходится одинаковое число граней. Примерами таких многогранников могут служить все параллелепипеды. Как известно, правильных многогранников существует только пять видов: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Оказывается, что топологически правильных многогранников тоже пять видов – это всё те же правильные многогранники, перечисленные выше, и многогранники, им эквивалентные.

Доказательство этого факта проводится с помощью теоремы Эйлера.

Запишем формулу Эйлера: В+Г-Р=2. По определению топологически правильного многогранника: все его грани – m-угольники, все многогранные углы – n-гранные. Подсчитаем число рёбер – Р.

1) В каждой грани – m рёбер; число граней – Г; общее число рёбер – mГ. Но каждое ребро мы при этом засчитали дважды. Следовательно, 2Р = mГ.

2) В каждой вершине n рёбер. Аналогично получаем, что 2Р = nВ.

3) Г = , В =. Формула Эйлера приобретает вид: + - Р = 2, откуда 2Р( + - ) = 2.

Следовательно, + >. Но известно, что m 3, n 3 (нет грани “меньше” треугольной и угла “меньше”, чем трёхгранный).

Решаем неравенство: m=3, для n – возможности: n=3, n=4, n=5.

m=4, n=3; m=5, n=3.

А m=6 уже не возможно.

Итак, получаем следующие схемы (m,n): (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3).

То, что многогранников есть дейстивительно пять, в особом доказательстве не нуждается; их можно просто изобразить или описать построение, не заботясь о форме.

Пара чисел (m,n) полностью определяет топологически правильный многогранник. Р, В и Г находим из соотношений:

Р( + - ) =1, В = , Г =.

Таким образом, при вычислении В, Г,Р для каждой пары (m,n) непосредственно убеждаемся в том, что топологически правильные многогранники – это всё те же правильные многогранники и эквивалентные им многогранники.

Итак, к топологическим свойствам многогранников, доступных школьнику, по нашему мнению, относятся теорема Эйлера, обобщённая теорема Эйлера, теорема о существовании пяти типов топологически правильных многогранников. Очевидно, что рассмотрение топологических свойств многогранников позволяет сформировать у учащихся новый взгляд на геометрию, оторвав его от узко метрических вопросов, что позволяет показать школьникам, что геометрия гораздо шире задач на вычисление расстояний, площадей и объёмов.

В соответствии с поставленными задачами данного исследования были получены следующие результаты:

1. На основе проведённого анализа научной, учебной, педагогической и методической литературы выявлены основные проблемы изучения топологических свойств многогранников, изложены факты школьного и вузовского изучения данных свойств.

2. Выявлены некоторые топологические свойства ячеистых многогранников, представляющие ценность с точки зрения использования их как материал для факультативных занятий.

3. Разработан некоторый учебный материал для введения темы «Топологические свойства многогранников» во время урочных занятий и темы «Топологические свойства ячеистых многогранников» во время факультативных занятий.

4. По итогам исследовательской деятельности написана данная работа.

В конечном итоге исследование показало актуальность данной работы, реальную практическую значимость, значимость методического материала. Полученные в ходе работы результаты можно использовать в практике преподавания курса геометрии в классе с углубленным изучением математики на уроках и на факультативах.