Алгебра и начала анализа в черной металлургии

В своей работе показываю практическую значимость математики. Учебный процесс недостаточно отражает связь изучаемых в школе предметов с их жизненной необходимостью для существования человека в технически оснащенном современном мире.

Актуальность темы обуславливается: a) недостаточным содержанием задач практического содержания в учебниках по "Алгебре и началам анализа" для старших классов; b) социальным заказом, сформулированным в концепции Федеральной целевой программы развития образования на 2006-2010гг. и государственного стандарта «Математика. Профильный уровень».

Задачи:

1) Показать связь алгебры и начал анализа с промышленным производством.

2) Подобрать и решить задачи технического содержания, используемые в черной металлургии.

3) Показать применение алгебры и начал анализа при:

─ производстве новых марок стали;

─ контроле качества стальных листов;

─ испытании на твердость сталей 45 и 40Х в черной металлургии:

─ анализе факторов, влияющих на производительность труда металлургического предприятия.

Математика─ теоретическая наука любого производства

Начиная со второй половины ХХ в. количественное измерение явлений, математическое моделирование различных процессов, в том числе производственных, стали непременным условием научного творчества.

Сейчас нет области знания, в которой не использовалось бы математическое моделирование. Применение вероятностно-статистических методов стало традиционным во многих областях деятельности человека. В последнее время теория вероятностей стала использоваться в медицине и биологии, военной науке и космонавтики, психологии и теории обучения. Кроме того, на основе вероятностных методов появился целый ряд новых наук. Это теория информации, теория надёжности, статистический контроль качества, планирование эксперимента и др.

На нынешнем этапе развития народного хозяйства решение многих практических задач в машиностроении, строительстве, экономике, управлении, телефонии, метеорологии, в металлургии и многих других отраслях стало невозможно без использования вероятностных и статистических методов.

Теория вероятностей является математической основой одной из новых наук ХХ в. ─ кибернетики.

Теперь, например, стало возможным, прежде чем строить какую-нибудь промышленную установку, изучить её работу на математической модели, или выбрать наилучшую технологию варки стали, или обосновать рациональное размещение производственных мощностей, рассчитать оптимальный тариф на проезд в такси.

Математика создаёт постоянно развивающиеся теории, пригодные для самых различных запросов практики. Именно это позволяет применять математические методы, разработанные при решении задач одной области науки, к совершенно непохожим на них задачам, относящимся к иным областям знания.

Применение математики в той или иной области знания─ не простое дело. Далеко не всегда удаётся при данном уровне развития как математики, так и науки, стремящейся её использовать. Для того, чтобы математика могла быть использована в данной отрасли знаний, необходимо выработать систему понятий, допускающих математическую обработку.

Математика методов состоит в следующем:

1. Точное предсказание течения событий. Применение математического языка позволяет сформулировать основные законы теории в виде соответствующих уравнений, а значит, прогнозировать течение событий.

2. Предсказание новых явлений.

3. Эвристическая роль математики в создании новых теорий. Математическая форма законов природы часто подготавливает условия для качественно новых обобщений. Разумеется, эти обобщения не могут быть выведены из одной лишь математической формы, основой для них в конечном счёте служит эксперимент.

4. Проверка теорий, выдвигаемых гипотез.

Математические методы в принципе применимы во всякой науке. Это следует хотя бы из того, что все объекты, какой бы наукой они не изучались, имеют количественную определённость, для исследования которой необходимо пользоваться математикой. Однако степень использования математических методов и их значение в разных науках отличаются. В. М. Глушков писал по этому поводу: «О математизации той или иной науки в подлинном смысле можно говорить только тогда, когда математические методы в ней начинают применяться не только для обработки результатов измерения и вычислений, но и для поисков новых закономерностей, построение более глубоких теорий и в особенности для создания специального формализованного языка науки».

Алгебра и начала анализа в черной металлургии

Я живу в городе, в котором главным предприятием является металлургический комбинат ОАО «Уральская сталь». После окончания школы хочу стать инженером и свою дальнейшую судьбу связать с этим предприятием. И, как будущего инженера, меня заинтересовало─ насколько наука математика играет важную роль в чёрной металлургии.

На примере отдельно взятого предприятия (металлургический комбинат ОАО «Уральская сталь»), на котором существует законченный цикл по производству продукции ─ от производства стали до изготовления листового проката для производства труб различного назначения ─ я решил проследить в какой степени алгебра и начала анализа необходимы для жизнедеятельности и стабильной работы металлургического гиганта.

В один из январских дней 1965г в кабинете начальника центральной заводской лаборатории металлургического комбината началось важное совещание. Это совещание имело решающее значение для развития комбината. На севере нашей страны были обнаружены запасы природного газа и чтобы бесперебойно доставлять это дешевое топливо нужно было выстроить мощный тысячекилометровый газотрубопровод. Потребовалось большое количество труб. Перед нашими металлургами и трубопрокатчиками встала задача ─ в короткий срок наладить производство труб большого диаметра, работающих в условиях низких температур.

Чтобы найти пути решения поставленной задачи на комбинат приехала группа научных сотрудников Челябинского научно-исследовательского института черных металлов во главе с доктором технических наук, профессором А. Н. Морозовым.

Тщательно изучив технологию производства стали и её свойства, учёные пришли к выводу, что на нашем комбинате можно получать такой металл, который ждут строители газопроводов Крайнего Севера.

Профессор сам решил варить сталь по своей технологии, и он получил металл, который отвечал всем заданным требованиям. Используя вероятностные методы математики, ученые заглянули в глубь изучаемых явлений при производстве стали.

На ОАО «Уральская сталь» производится очень большой сортамент марок сталей, который пользуется огромным спросом не только на отечественных предприятиях (ОАО «Синарский трубный завод», ОАО «Орский механический завод», ОАО «Первоуральский новотрубный завод» и другие), но и за рубежом.

Инженерами делаются расчеты и математические выкладки, которые используют сталевары выплавляя заданную марку стали.

Рассмотрим несколько задач, с которых начинается теоретическая подготовка к производству каждой марки стали.

Задача № 1:

Надо приготовить сплав, состоящий из никеля, меди и марганца. Масса никеля должна быть 4% массы меди и марганца, а масса меди составлять 6% массы никеля и марганца. Какое количество компонентов надо взять, чтобы получить сплав с таким % отношением масс марганца, никеля и меди?

Решение:

Пусть массы никеля, меди и марганца, соответственно, за x, y и z.

Получим систему, в которой компоненты находятся в зависимости друг от друга.

Массы никеля и меди зависят от количества марганца, входящего в данный сплав, поэтому в зависимости от количества марганца, находящегося в конкретном сплаве (марке стали), будем добавлять частей никеля и частей меди.

Например: в марке 17Г1Су марганца должно быть не более 165 т. , значит мы должны взять для выплавки никеля не более (т), а меди не более(т).

Ответ: Чтобы получить сплав с данным отношением масс, надо взять частей никеля, частей меди и 1 часть марганца.

Данная задача решается перед производством каждого ковша металла. В мартеновскую печь закладывается металлолом с различным химическим составом. Когда он расплавляется до жидкого состояния, сталевары берут пробу полученного сплава и отправляют в химическую лабораторию. Лаборанты определяют химический состав этой пробы и, в зависимости от того какую марку нужно сварить, определяют количество компонентов, нужных для данной марки стали. Сталевары по этим данным производят доводку этого сплава до нужной марки стали.

Задача № 2.

Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 т больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке ─ 10%, во втором ─ 40%. После сплавливания этих двух слитков получился слиток, процентное содержание меди в котором после переплавки ─ 30%. Определить массу полученного слитка.

Решение:

Пусть вес первого слитка ─ х т,

0,1х т. ─ содержание меди в первом слитке; тогда (x+3) т ─ вес второго слитка;

0,4(х+3) т. ─ содержание меди во втором слитке.

Исходя из условия задачи получим уравнение

0,1х+0,4(х+3)=0,3(2х+3).

0,5x+1. 2=0. 6x+0. 9

0,1х=0,3.

Вес полученного слитка равен 3+(3+3)=9 (т).

Ответ: масса полученного слитка 9 т.

Задача №3: Имеется сталь двух сортов с содержания никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30%?

Решение:

Пусть масса стали первого сорта равна x т, тогда стали второго сорта надо взять (140-x) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%, значит, в x т стали первого сорта содержится x·0,05 т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%, значит, в (140-x) т стали второго сорта содержится (140-x)·0,4 т никеля. По условию после объединения взятых двух сортов должно получится 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 140·0,3 т никеля. Но это количество никеля складывается из x·0. 05 т, содержащихся в стали первого сорта, и из (140─x)·0,4 т, содержащихся в стали второго сорта. Составим уравнение:

Стали с 5%-ным содержанием никеля надо взять 40 т, стали с 40%-ным содержанием ─ 100 т.

Ответ: 40 и 100 тонн.

Задача №4: Имеется два сплава массой а т. и b т. с различным процентным содержанием меди. От каждого из сплавов взяли по одинаковому количеству массы, поменяли местами и сплавили с оставшимися первоначальными сплавами. В новых сплавах процентное содержание меди стало одинаковым. Какова масса каждой из взятых частей?

Решение: Пусть x т ─ масса каждого из отрезанных кусков, y% ─ процентное содержание меди в первом сплаве, z% ─ процентное содержание меди во втором сплаве.

После перестановки частей массы x т в полученном первом сплаве меди будет , а процентное содержание меди будет равно

, т. е. равно

В полученном втором сплаве меди будет

, а процентное содержание меди будет равно

, т. е, равно

По условию в полученных сплавах процентное содержание меди одинаково, значит:

По условию , значит,

, откуда находим

Ответ: масса каждого из отрезанных кусков равна т.

Задача №5:

Сплавляя два одинаковых по массе куска чугуна с разным содержанием хрома, получили сплав, в котором содержалось 12 т хрома. Если бы масса первого куска была бы в два раза больше, то в сплаве содержалось бы 16 т хрома. Известно, что содержание хрома в первом куске на 5% меньше, чем во втором. Найдите процентное содержание хрома в каждом куске чугуна.

Решение:

Пусть x ─ процентное содержание хрома в первом куске чугуна, тогда х+5 ─ процентное содержание хрома во втором куске чугуна, а

М ─ масса каждого куска.

Получим систему, в которой компоненты находятся в зависимости:

( ( (

Ответ: Содержание хрома в первом куске чугуна ─ 5%, а во втором ─ 10%.

Математика в планировании производства

Так как наш металлургический комбинат работает уже 50 лет и у него есть постоянные заказчики, то часто заказывают большие партии продукции. Срыв выполнения заказа связан с оплатой неустоек и риском потерять клиентов. В связи с этим возникает необходимость решения еще одного типа задач.

Задача№6: В мартеновском цехе металлургического завода не каждая плавка отвечает требованиям, обусловленным в заказе. Поэтому, как правило, руководство цеха планирует заведомо большее количество плавок. Предположим, что по заказу нужно выплавить 90 плавок, а запланировано 100. Какова вероятность того, что заказ будет полностью выполнен, если вероятность получения каждой назначенной плавки по заказу равна 0,9?

Решение:

Заказ будет выполнен в том случае, когда число плавок, отвечающих требованиям заказа, будет равно 99 или более. Искомую вероятность находим по интегральной теореме Лапласа.

, где ,.

Применяя функцию Лапласа, имеем

Запишем исходные данные задачи p=0,9, k1=90, k2=100. Вычисляем:

Ответ: Вероятность того, что заказ будет будет выполнен равна 0,5.

Мы видим, даже при планировании 10 плавок сверх заказа вероятность того, что заказ полностью будет выполнен составляет 0,5. Отсюда можно сделать практический вывод о том, что нецелесообразно увеличивать количество плавок, а нужно стремиться к тому, чтобы каждая плавка отвечала требованиям заказа.

Контроль качества стали

Повышение качества выпускаемой продукции ─ первостепенная задача любого производства. Для решения этой задачи необходимо использовать все возможные резервы. Наряду с другими методами в последние время одним из важнейших рычагов повышения качества продукции стал вероятностно─ статистический контроль. Наибольшее распространение в производстве получили контрольные диаграммы. Рассмотрим, как ими пользуются.

Задача №7:

После выплавки стали, металл, разлитый в изложницы, перевозят в прокатные цеха и там его прокатывают, то есть придают нужную форму до заданного размера. Понятно, что в силу различных причин операторами постов прокатного управления не удаётся строго выдерживать этот размер. Должны ли контролеры ОТК при измерении готового проката браковать данные заготовки при обнаружении некоторых отклонений?

Решение:

Если отклонения будут лежать в пределах интервала трёх сигм, то данную загатовку, следует считать годной, в противном случае заготовка бракуется. Результаты такого контроля изображаются графически в виде контрольной диаграммы, которая вывешивается в цехе на самом видном месте. Это позволяет следить за изменением замеров готовых заготовок не только контролёру ОТК, но и самим рабочим, которые прокатывают металл. Контрольная диаграмма представляет собой несколько параллельных линий, построенных в определенной системе координат. Средняя линия проведена на уровне нужного значения контролируемого параметра. В обе стороны от средней линии параллельно ей на расстоянии трех сигм проведены еще две прямые (это расстояние называется полем допусков). Если точки, соответствующие фактическим значениям контролируемого параметра, разместятся близко к средней линии (по ту или другую сторону), то технологический процесс следует считать стабильным и качество высоким. Если же замеры окажутся ближе к контрольным линиям, оставаясь в пределах трехсигмового интервала, то это будет указывать на разладку технологического процесса и потребует от руководства цеха и обслуживающего персонала выяснения причин и их устранения. Если замеры выйдут за пределы контрольных линий, то соответствующие заготовки бракуются.

Как мы видим, математические методы в виде диаграмм, имеют важное значение на металлургическом производстве. Хотя контрольные диаграммы довольно просты, но в тоже время их введение на производстве, делает контроль качества более эффективным, а результаты контроля более наглядными.

В связи с возросшими требованиями к качеству выпускаемой продукции, контроль качества имеет большое значение на практике. На металлургическом комбинате, где производство организованно сплошным потоком, невозможно организовать сплошной контроль качества, и тогда прибегают к выборочному контролю, который в значительной степени базируется на применении математической теории вероятности и математической статистике.

Задача №8:

Выведем формулу, которая выражает зависимость того, что партия стальных листов будет забракована: 1) от доли бракованных листов партии;

2) от общего количества партии.

Решение: Выборочный контроль в современном прокатном производстве организован следующим образом: от партии стальных листов берется на контроль так называемая первичная выборка, состоящая из x листов. Если после проведения испытания образцов, вырезанных из этих листов, окажется, что все взятые на контроль листы удовлетворяют предъявляемым требованиям, то вся партия из N листов отправляется заказчику.

Если же хотя бы один лист окажется бракованным, то для проверки берется так называемая вторичная выборка из y листов. Если при испытаниях вторичной выборки хотя бы один лист окажется бракованным, то бракуется вся партия.

Вычислим итоговую вероятность Q при любом методе контроля. Для этого необходимо знать вероятность брака p одного листа.

Если в партии имеются бракованные листы, то только при сплошном контроле их можно обнаружить наверняка. При выборочном же контроле брак можно и не обнаружить. Значит, выборочный контроль нужно организовать таким образом, чтобы вероятность обнаружения брака была ближе к единице, а сам метод контроля был бы не очень громоздким.

Если первичному испытанию подвергаются x листов от партии, то вероятность обнаружения i плохих листов можно вычислить по формуле Бернулли:

Если после первичных испытаний в партии остается N-x листов, из них плохих N·p-i листов, следовательно, вероятность обнаружения плохого листа при единичном испытании составит:

Если повторному контролю подвергаются y листов, тогда вероятность обнаружения хотя бы одного плохого листа при контроле y листов составит

Просуммируем по i произведение вероятностей и получим формулу для оценки вероятности обнаружение брака:

Каким должен быть оптимальный объем выборки? Это основной вопрос, который приходится решать при практическом использовании выборочного метода. Уже отмечалось, что сплошной контроль продукции в производстве, как правило, неприемлем. Чем меньше выборка, тем контроль удобнее, но, с другой стороны, при очень малой выборке контроль не будет достаточно надежным. Возникает необходимость установления оптимального способа контроля, который обеспечивал бы надежность при наименьших затратах. И при решении этого важного вопроса без математики не обойтись.

Анализ формулы (1) позволяет сделать вывод, что увеличивать объем первичной выборки свыше 3 листов не имеет смысла, так как затраты труда на организацию контроля существенно возрастают, а вероятность обнаружения бракованных листов практически не повышается.

Действительно, изучая действующую на металлургическом комбинате ОАО «Уральская сталь» технологическую инструкцию по отбору проб я убедился, что от каждой партии первично отбираются 3 листа.

Сплошной контроль продукции на металлургическом комбинате связан с большими производственными затратами, с разрушением части готовой продукции, в связи с этим, как правило, производят выборочный контроль. Чтобы сделать этот контроль наиболее эффективным используют теорию выборочного метода.

Задача №9:

Оценить надежность существующего метода контроля ударной вязкости стали 17ГС.

Решение:

Для оценки ударной вязкости стали, от каждой партии стали 17ГС, испытываются 6 образцов.

Известно следующее равенство:

Где─ среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности, n─ численность выборки.

По данным, полученным мною на ОАО «Уральская сталь», принимаем , n=6, тогда.

Следовательно, при существующем методе контроля ударной вязкости с надёжностью 95% на 6 образцах мы можем утверждать о надежности 95%.

Производство такого продукта металлургического производства, как листы для изготовления труб, требует очень ответственного подхода. Поэтому Управление технического контроля совместно с центральной лабораторией комбината постоянно решают задачи по недопущению выпуска бракованной продукции и при помощи инженеров-технологов моментально изменяют технологические процессы, просчитывая результат при помощи решения математических задач.

Научные методы математического контроля разработали академик А. Н. Колмогоров и профессор А. М. Длин. В настоящее время статистические методы контроля качества продолжают совершенствоваться. В практике лабораторной и научно исследовательской работы любого промышленного предприятия, в том числе и металлургического, весьма эффективным оказалось использование теории планирования эксперимента. В нашей стране работу в этом направлении возглавляют В. В. Налимов, Е. В. Маркова, Ю. П. Адлер и др. Планирование эксперимента в производственных условиях позволяет наилучшим образом построить эксперимент, уменьшить число необходимых опытов, снизить затраты на проведение исследовательских работ и в то же время получать более достоверные данные.

Оценка недоступных параметров

Очень важно применение математических методов, когда нам нужно оценить параметры, недоступные для измерения или наблюдения в производственных условиях. Из-за масштабности металлургического производства, на ОАО «Уральская сталь» есть множество величин, которые невозможно измерить, но в то же время они связаны с другими параметрами, которые можно измерить. Тогда в лабораторных условиях измеряют оба параметра и находят уравнение взаимной связи между ними. Затем это уравнение используется на практике при прогнозировании значений недоступного для измерения параметра, этот метод лежит в основе одного из способов неразрушающего контроля качества, который нашел широкое применение при контроле сталей, огнеупоров и многих других промышленных изделий.

Задача №10:

Установить и исследовать связь между прочностью и твердостью деталей, изготовленных из сталей 45 и 40Х.

Решение:

Так как существуют формулы, позволяющие найти прочность детали по их твердости, то необходимость разрушение деталей при определении их прочностных свойств исключается. Была произведена статистическая обработка результатов механических испытаний 8 образцов из стали 45 и 8 образцов из стали 40 Х. Образцы были испытаны в нетермообработанном состоянии и по специальным режимам термообработки, принятым на комбинате.

Полученные результаты испытаний поместим на координатную плоскость, на которой по оси Х отложены значения твердости стали, а по оси Y ─ предел прочности испытываемых образцов.

На практике часто приходится сталкиваться с тем, когда одному значению аргумента соответствуют различные значения функции. В силу того, что на величину предела прочности влияют не только твердость но и ряд других факторов (содержание углерода в стали, изменение технологии, погрешности испытания и прочее), одному значению твердости соответствует ряд значений прочности, имеющий определенное распределение.

Такая связь называется корреляционной.

Х 170 170

45 Нетермообработанные y=0. 4x-1

45 Термически обработанные y=2x+50

40Х Нетермообработанные y=0. 25x+30

40Х Термически обработанные y=2x+85

Алгебра и начала анализа в планировании производства

Методы математического анализа нашли широкое применение при исследовании факторов, влияющих на производительность труда. Как известно показатели производительности труда являются наиболее важными при оценке работы предприятия. Чтобы правильно планировать работу комбината, оперативно управлять производством, необходимо не только знать эти факторы, но и определить, какие из них влияют в большей степени и, следовательно, требует к себе более пристального внимания экономических служб. Решить эту задачу можно только методами математического анализа.

Задача №11:

Показать влияние различных факторов на производительность труда.

Решение:

Сложность современного промышленного производства, большое количество факторов и причин, определяющих нормальную работу предприятия, вероятностный характер взаимосвязей между ними создают благоприятные предпосылки для использования метода взаимной связи. В качестве показателя производительности труда берут отношение:

где В ─ валовое производство продукции в денежном выражении (тыс. руб. ) за месяц, n ─ количество работающих на предприятии в данном месяце.

Так как металлургический комбинат «Уральская сталь» работает уже 50 лет, то из опыта работы предприятия такие факторы известны давно. За основу можно взять перечень, приведенной в техпромфинплане.

Выделяю 10 факторов, влияющих на производительность труда, которые нужно было подвергнуть математическому анализу. Составлена таблица, в которой приведены эти факторы, единицы их измерения.

Группы факторов № п/п Факторы, влияющие на производительность труда Условные единицы измерения

Повышение технического уровня 1 Внедрение прогрессивной технологии 100 тыс. нормо-часов производства

2 Механизация и автоматизация производства 100 тыс. нормо-часов

3 Снижение трудоемкости за счет изменения конструкции изделий 100 тыс. нормо-часов

4 Сокращение потерь от брака 1%

Улучшение организации 5 Научная организация труда 0,1%

производства и труда

6 Относительное сокращение производственно-производительного персонала (без 100 человек рабочих) в связи с увеличением объема производства

7 Сокращение потерь рабочего времени 1%

8 Уменьшение числа рабочих, не выполняющих норму выработки 10 человек

Структурные изменения в 9 Изменение удельного веса новой продукции в общем выпуске в результате чего10%

производственной программе изменяется трудоемкость производственной программы

10 Изменение удельного веса покупных полуфабрикатов и кооперированных 10%

поставок

По каждому фактору ежемесячно проводится анализ. Выстраиваются графики и оценивается степень влияния каждого фактора на успешную работу предприятия.

Например: на графике показано, как влияет на производительность труда сокращение потерь от брака. Увеличение брака на 1 % влечет за собой снижение производительности труда одного работника в среднем с 0,45 тыс. рублей до 0,37 тыс. рублей.

После оценки всех факторов анализируется производительность труда по итогам каждого месяца и ведущими инженерами предприятия выдаются рекомендации по уменьшению влияния негативных факторов на выпуск качественной продукции и по планированию работы всего предприятия.

При помощи этого математического метода было найдено уравнение множественного соотношения, выражающее зависимость производительности труда от рассматриваемых факторов. Влияние брака продукции на производительность труда.

Р=0,34+0,01x1+0. 01x2+0. 02x3+0. 05x4+0. 03x5+0. 025x6+0. 005x7─0. 006x8─0. 005x9+0. 05x10

Полученное уравнение используется в практике работы комбината при анализе факторов, влияющих на производительность труда, а также при расчете плановых показателей по производительности труда.

Задача № 12:

Для выполнения производственного задания надо организовать две бригады общей численностью 18 человек для организации непрерывного дежурства по одному человеку. Периодичность работы этих бригад 3 суток. Первые двое суток дежурят члены первой бригады, распределив между собой это время поровну. Известно, что во второй бригаде 3 девушки, а остальные ─ юноши, причем девушки дежурят по 1 часу, а все юноши распределяют между собой остаток дежурства поровну. При подсчете оказалось, что сумма продолжительностей дежурств каждого юноши второй бригады и любого члена первой бригады меньше 9 ч. Сколько человек надо набрать в каждую бригаду?

Решение:

Пусть м ─ число членов в первой бригаде.

Тогда во второй ─ (18─м) человек, причем (15─м) ─ юношей.

Каждый юноша второй бригады отдежурил часов, а каждый член первой бригады ─ часов.

По условию задачи имеем систему:

Ответ: 9 человек.

Задача № 13

Группа программистов получила задание решить последовательно несколько задач. Регистрируя время выполнения задания, заметили, что на решение каждой следующей задачи программисты затрачивали в одно и то же число раз меньше времени, чем на решение предыдущей. Сколько было предложено задач и сколько времени затрачено машиной на решение всех задач, если на решение всех задач, кроме первой затрачено 63,5 мин, на решение всех задач, кроме последней, затрачено 127 мин, а на решение всех задач, кроме двух первых и двух последних, затрачено 30 мин?

Решение:

Если n ─ число задач, b ─ время решения первой задачи, q ─ знаменатель геометрической прогрессии, которую составляет время выполнения задач, то по формуле суммы первых членов геометрической прогрессии находим:

( ( ( =>

Время решения всех задач ─ 64+63,5=127,5.

Ответ: 8 задач; 127,5 мин.

Задача №14

Пять человек должны выполнить некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе, могут выполнить всю работу за 7,5 ч; первый, третий и пятый вместе ─ за 5 ч; первый, третий и четвертый вместе ─ за 6 ч, а второй, четвертый и пятый вместе ─ за 4 ч. За какой промежуток времени выполнят эту работу все 5 человек, работая вместе?

Решение:

Пусть xi ─ производительность i-го рабочего, y ─ объем работы.

Тогда по условию задачи имеем следующую систему:

Умножая последние уравнение на 2 и затем складыва полученные четыре уравнения, находим

Ответ: за 3 часа.

Успешная работа любого предприятия зависит от прибыли, которою приносит выпуск и реализация продукции этого предприятия, эта прибыль уходит на закупку сырья, уплату налогов, выплату зарплаты, модернизацию производства. После планирования производства, предварительно рассчитывается предстоящая прибыль от производства запланированной продукции.

Задача №15:

Определить точку безубыточности производства стали при заданных величинах.

Решение:

Если выпускаемая продукция составляет 200 тыс. тонн в месяц, то получается прибыль при определенных переменных и постоянных затратах.

В основу математической модели расчета безубыточности производства положено деление затрат на переменные и постоянные.

Постоянные затраты ─ расходы, общая сумма которых остается неизменной при изменениях объема производства (амортизация, содержание оборудования, часть расходов на заработную плату).

Переменные затраты ─ расходы, общая сумма которых изменяется пропорционально изменениям объема производства (электроэнергия, пар, тепло, вода и т. д. ).

Точка безубыточности (ТБ) ─ объем производства, при котором нет ни прибыли, ни убытков, т. е. прибыль равна нулю.

Использую данные:

1) Переменные затраты (электроэнергия, пар, вода) ─ 2400 млн. руб.

2) Постоянные затраты (амортизация, содержание оборудования, зарплата) ─ 1940 млн. руб.

3) Цена продажи 1 т. продукции ─ 28 тыс. руб.

4) Количество продукции, выпускаемой за единицу времени (мес. ) ─ 200 тыс. тонн.

Введем обозначения:

Переменные затраты ─ П1, постоянные затраты ─ П2, переменная единица ─ Пе, цена 1 т. продукции ─ Ц, прибыль ─ П, количество продукции (в месяц) ─ К, количество выпускаемой продукции, соответствующее ТБ ─ Ктб.

По формуле: П=Ктб(Ц─Пе)─П2, где Пе=П1/К рассчитаю Ктб: Ктб(Ц─Пе)=П2, Ктб=П2/(Ц─Пе), Пе=2400000000/200000=12000, Ктб=1940000000/(28000─12000)=121250(т).

Следовательно, при данном количестве выпускаемой продукции 200 тыс. тонн предприятие получает прибыль, т. к. 200 тыс. тонн больше 121250 т. , соответствующее ТБ.

Покажу предполагаемую безубыточность и на графике.

Алгоритм построения ТБ и зон убытков и прибыли:

1) Строим линию переменных затрат, проходящую через точки (0;0) и (200;2400).

2) Строим линию постоянных затрат, параллельно линии переменных через точку (0;1940).

3) Находим ТБ ─ точку пересечения линии постоянных затрат и прямой, проходящей через точку (121,25;0) параллельно оси ОС.

4) Строим линию доходов, проходящую через точки (0;0) и ТБ.

5) Отмечаем левее от точки ТБ область, расположенную между линиями постоянных затрат и доходов ─ зону убытков.

6) Отмечаем правее от точки ТБ область, расположенную между линиями дохода и постоянных затрат ─ зону прибыли.

Если производство стали было бы меньше 121,25, то получили бы соответствующую точку в зоне убытков.

По построенным зонам убытков и прибыли получаем, что предполагаемая гипотеза верна.

Данная формула и график позволяет произвести и расчет количества реализации стали для получения заданной прибыли.

Задача 16.

Для желаемой прибыли выполнить расчет необходимого количества продукции.

Решение:

Пусть нужно получить прибыль 4000 млн. руб. Известно, что цена одной тонны ─ 28000 руб, переменные затраты ─ 2400 млн. руб, постоянные затраты ─ 1940 млн. руб.

П=Ктб(Ц─Пе)─П2, П+П2=Ктб(Ц─Пе), Ктб=(П+П2)/(Ц─Пе),

Ктб=(4000000000─1940000000)/(28000─12000)=128750(т).

Для получения запланированной прибыли 4000 млн. руб. требуется произвести 128750 т. стали. Это можно определить и по графику.

Условия и решения этих задач можно использовать при нахождении подсчета ТБ, получения прибыли.

Сегодня для нашего комбината поставлена новая задача. ОАО «Уральская сталь» выиграл тендер на производство труб большого диаметра для газопровода, который пройдет по дну Балтийского моря. Для наших специалистов поставлена цель─ создать такое качество металла, которое отличалось бы повышенным классом прочности и антикоррозийности, чтобы выдержать давление и влияние морской воды.

Рыночная ситуация диктует высокие требования к качеству проката, гибкости в работе по выполнению заказов потребителей. При этом цены должны быть конкурентными, затраты низкими, зарплаты персонала достойными. Модернизация производства, применение современных металлургических и управленческих технологий, которые в наше время невозможны без применения математики─ необходимого условия для решения этих задач.

Итак, математика является теоретической основой на любом этапе технологического цикла современного предприятия при:

─ производстве новых марок стали;

─ контроле качества стальных листов;

─ анализе зависимости одних параметров от других;

─ анализе факторов, влияющих на производительность труда металлургического предприятия.

─ планировании производства.

Знакомясь с применением алгебры и начал анализа, я изучал специальную литературу, консультировался, анализировал данные, пользовался Интернетом, строил графики и диаграммы, таблицы, выполнял необходимые расчеты, составлял и решал задачи, которые можно использовать в работе на практике.

Вывод: Я убедился в необходимости применения знаний по алгебре и началам анализа в реальной действительности, что повышает интерес к математике как к науке.

Технический словарь

Текучесть, свойство сред пластически или вязко деформироваться под действием механических напряжений. Количественно текучесть — величина, обратная вязкости. У газов и жидкостей текучесть проявляется при любых напряжениях, у пластичных твердых тел — лишь при высоких напряжениях, превышающих предел текучести.

Регрессия, в теории вероятностей и математической статистике — зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

Формула Бернулли:.

Теорема Лапласа: Если вероятность появления события А в единичном испытании постоянна и равна р(0

А в серии из n независимых испытаний появится от k1 до раз k2 раз, приближенно равна значению определенного интеграла:

Среднее квадратическое отклонение малой выборки:

Где─ среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности, n─ численность выборки.

Корреляция ─ взаимозависимость.