Числа: мифы и реальность

КАК ПОЯВИЛИСЬ ЧИСЛА?

На уроках математики мы много считаем и при этом сталкиваемся с разными числами: это натуральные числа, целые и дробные, положительны и отрицательные, простые и составные. Когда и как появились первые числа?

Число -одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения

У первобытных людей средством счета были пальцы. Русский путешественник и этнограф H. H. Миклухо-Маклай (1846—1888) образно описал пальцевый счет туземцев Новой Гвинеи — папуасов: «Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе, бе, бе,. », пока не доходит до «ибон-али» (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая «бе, бе,. », пока не доходит до «самба - бе» (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого». На чукотском языке слово «считать» означает «пальчить».

Народы разработали разнообразные способы счета не только с помощью пальцев, но и других частей человеческого тела. Таким, например, был счет жестами у австралийского племени аранта.

Известный математик Западной Европы — Беда Достопочтенный довел счет на пальцах до миллиона. Итальянский математик Лука Пачоли (ок. 1445 — ок. 1515) пропагандировал как нововведение использование пальцев правой руки для обозначения сотен.

На определенном этапе развития человечества было подмечено и выделено стойкое, неизменное, присущее множествам объектов свойство — их количественная характеристика — число 1. Это был бурный взрыв фантазии, гениальное открытие.

Число 2 человек освоил легко, так как имел 2 глаза, 2 ноги и т. д. , видел у птиц 2 крыла

Постепенно математика освоила числа 7, 9, 10, 13, 41 и др. Легенды вокруг них множились, обрастали «тайнами», а исследовательская мысль шла вперед. Архимед (287—212 до н. э. ) написал специальный труд, в котором доказывал царю, что ряд натуральных чисел бесконечный. Так завершилось одно из уникальных математических построений: 1, 2, 3. Только значительно позднее, на рубеже XIX и XX вв. , ученые осознали всю гениальную простоту, основательность и неисчерпаемую ценность завещанных нам математических сокровищ.

Широко распространенным было кодирование числовой информации зарубками на палочках, в России они назывались бирками ( см рис. 3). Такой способ записывания чисел долгое время использовали при составлении долговых или податных обязательств. На палочке делали насечки, которые соответствовали сумме долга или податей. Палочку раскалывали пополам, одна часть оставалась у должника, а другую сохранял долгодатель или казначейство (см. рис. 4). При подсчетах обе половинки проверялись сложением. В Англии такой способ записей налогов сохранялся до XIX в.

В давние времена пользовались также счетом с помощью узлов, зерен, палочек, камушков и других однородных предметов. Известный термин «калькуляция» происходит от слова calculatio, что обозначало у древних римлян «камушек для игры или счета».

Об огромном уважении древнего человека к числу свидетельствуют разнообразные остатки его деятельности, в частности рисунки. В них много неразгаданного. Они не только рассказывают о вкусах и идеалах первобытного человека, но и дают нам возможность определить уровень его знаний. Например, найденная в 1928 г. советским ученым М. М. Герасимовым на стоянке Мальта на Ангаре (поздний палеолит) пряжка из бивня мамонта украшена системой ямок. Орнамент лицевого бока состоит из центральной спирали с 7 витками (243 ямки) и малых спиралей, симметрично размещенных слева и справа от центральной спирали (по 122 ямки) (см. рис. 5). Пряжка, очевидно, служила календарем. Если к ямкам большой спирали добавить все ямки левого или правого рисунка, получим число дней в году (243+122 = 365).

Необходимость в счете привела к образованию понятия натурального числа. Позднее необходимость измерения величин вызвала к жизни положительные рациональные числа. Понятие отрицательного числа складывалось при решении линейных уравнений. Отрицательные числа также были встречены с недоверием, их называли абсурдными, фальшивыми. Даже после того как немецкий математик М. Штифель (1487—1567) определил отрицательные числа как «меньше ничего», люди не могли привыкнуть к таким величинам и действиям над ними. Сам Штифель писал, как он с отчаянием видел, что с этими числами все происходит наоборот: сложение вызывает уменьшение, а вычитание — увеличение. Однако же выполненные сообразно с этим алгебраические действия приводят к поистине удивительным изобретениям.

МАГИЧЕСКИЕ ЧИСЛА

Некоторые числа с древних времен считались магическими, им приписывалась мистика и что то сверхестественное.

. Следствием распространения астрологических представлений был счет времени по количеству планет. Астрология навязала 7-дневную неделю, каждый день которой посвящался одной из 7 планет, которая «оптимально действовала» именно в этот день. Отсюда берет начало «священное число» 7, которое встречается в многочисленных мифах и культовых действиях. Во многих языках отдельные дни недели названы в честь этих планет. Так, в латинском языке понедельник — день месяца, вторник — день Марса, среда — день Меркурия, четверг — день Юпитера, пятница — день Венеры, суббота — день Сатурна. Эти названия частично сохранились и в ряде современных языков: испанском, итальянском, английском, немецком.

Другим фактором популярности семерки был месячный календарь и культ Луны, распространенный у многих народов Востока. У некоторых из них Луна называлась измерителем. На протяжении 28 дней ночное светило проходит 4 фазы, которые сменяются через каждые 7 дней. У многих народов 7-й день посвящался богине Луны и считался небезопасным для всякой работы.

В мифах, легендах, приметах, загадках, присказках, пословицах и сказках многих народов мира число 7 выступает как количественная характеристика множества: «Один с сошкой, а семеро с ложкой»; «Семь раз отмерь, а один раз отрежь» и т. д. Сильным оружием в древности считалась семипядная пищаль, имевшая в длину 7 пядей. О чем-то таинственном, неразгаданном говорили как о «книге за 7 печатями». Число 7 так часто употребляется в различных формах духовной и материальной культуры разных народов, что ученые пытаются найти и другие объяснения этого явления. Американский психолог Дж. Миллер высказал предположение, что число 7 сложилось в процессе эволюции как удобный оптимум непосредственного запоминания разных сигналов-символов.

Не менее популярно и число 3. Оно также было в свое время наибольшим числом. В языках некоторых народов кроме единицы и множества сохранились конструкции тройственного числа, остатки троичной системы нумерации. Как и двоичная, троичная система относится к древнейшим. Она и теперь встречается у наиболее отсталых племен Южной Америки. В архаичных культурах широко применялся числовой комплекс триады, трехкратность в ритуальных действиях, а позднее утвердилось композиционное тройное членение произведений в искусстве.

Из 7 планет — богов Древнего Вавилона — Солнце, Луна и Венера выделялись яркостью и считались главными. В Древнем Египте главными также были 3 бога; Гор, Осирис и Изида. Жрица Дельфийского храма Аполлона Пифия перед пророчеством постилась 3 дня. Пифагорейцы считали 3 первым настоящим числом, так как оно имеет начало, середину и конец. 3 считалось числом божественным, святым, символом совершенства предметов и явлений мира. Вот почему у римлян 3 тройки главных богов: Юпитер, Марс, Квирин; 3 богини судьбы; 3 богини красоты. Богиня охоты — Диана имела 3 лица. Даже верховные жрецы Рима делились на 3 категории: понтифики, фламины и весталки.

Числовая мистика отразилась и в художественной литературе. Так, отголосок мистификации числа 3 ярко виден в «Божественной комедия» Данте Алигьери (1265 — 1321). Она состоит из 3 главных частей — «Ад», «Чистилище» и «Рай». Каждая из частей содержит 33 (11. 3) песни, не считая. первой песни. В тексте поэмы часто употребляется число 3. В начале путешествия в подземное царство (песня 1) поэта преследует 3 зверя: пантера, волчица и лев. Позднее (песня 2) 3 женщины беспокоятся о его судьбе. В адском городе (песня 3) поэт видит 3 фурии. В литературе было традицией писать произведения в 3 частях (трилогии).

Легендами были овеяны и другие числа, например 9, 12, 13. Но более всего суеверий связано с числом 13, которое называют еще чертовой дюжиной. В глубокой древности люди вели счет времени по фазам Луны. Месячный календарь был неудобен тем, что 12 месяцев укладывались в год с остатком в 11 дней. Через 3 года остаток составлял больше месяца, и приходилось вставлять 13-й месяц, чтобы не отстать от солнечного цикла. Это вносило путаницу в счет времени, и, кроме того, 13-го месяца боялись простые люди.

Древнерусский ученый Кирик Новгородец в «Учении им же ведати человеку числа всех лет» наставлял: «Да будет известно, что в одном году 12 календарных месяцев, а небесных лунных месяцев 12 и 11 дней 13-й луны. И из этих дней на четвертый год получается 13-я луна; в месяце насчитывается 4 недели, от года до года приходит 13 лунных месяцев и 1 день». Такова история предрассудка о 13-м числе как несчастливом. Этот лишний месяц сбивал с толку наших предков в их исчислении времени, а потому пользовался всеобщей нелюбовью. Есть еще объяснение непопулярности числа 13. Если число 12 имеет много делителей, можно взять его половину, третью часть, четверть, шестую часть, и все они будут целыми числами, что удобно при обмене продуктами труда, то число 13 делится только на себя и на единицу. Был распространен счет дюжинами, что явилось одной из причин того, что год поделили на 12 месяцев, сутки — на две дюжины, час — на 5 дюжин, минуту— на 5 дюжин. Таким образом, число 12 было символом полноты, достатка, завершенности.