Числа правят миром!

Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительности. Ф. Энгельс.

Первым о числах начал рассуждать Пифагор. Он решил, что всё на свете можно выразить с помощью чисел.

Пифагор придумал замечательный способ доказывать общие утверждения о числах: он стал изображать числа точками. К примеру число 5 выглядит вот так:

. , 8-. Картинки получались двух видов – у одних была средняя точка (число 5), а у других такой точки не было (как у числа 8). Первые числа были нечётными, а вторые чётными.

Потом Пифагор стал строить треугольники из точек.

Числа, которые показывают, сколько точек содержится в треугольниках, называют треугольными.

Можно строить из точек квадраты.

Эти рисунки имеют 1, 4, 9, 16, 25 и т. д. точек. Такие числа называют квадратные.

Можно построить и пятиугольные числа.

Разрушая и складывая фигуры, которыми Пифагор изображал числа, он устанавливал свойства этих чисел.

Например, всякое квадратное число является суммой двух соседних треугольных чисел.

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА.

Делителем числа а называется натуральное число, на которое а делится без остатка.

Например: 4 — делитель 20

Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Делители 13: 1, 13.

Простое число имеет только два делителя (13 простое число)

Составное число имеет больше двух делителей (12 составное число)

Число 1 – ни простое, ни – ни составное.

Решето Эратосфена.

Так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться получить список всех простых чисел столь же безнадёжное занятие, как составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить список всех простых чисел, не превосходящих, например, миллиона или десяти миллионов. Над тем, как составлять такие списки, задумался живший в III веке до нашей эры александрийский учёный Эратосфен.

Метод этот очень прост. Пусть надо найти все простые числа, меньше чем 100. Напишем подряд числа от 2 до 100 и, оставив число 2, выбросим все остальные чётные числа. Для этого достаточно, начав с числа 3 командовать <<раз, два!>> и выбрасывать числа на которые попадает команда <<два!>>. Первым уцелевшим числом (кроме, конечно самого числа 2) будет 3. Теперь, начиная со следующего за ним числа 4, будем командовать <<раз, два, три!>> и выбрасывать числа, на которые придётся команда <<три!>>. Это будут числа 6, 9, 12 и т. д. , то есть числа, делящиеся на 3 (само-то число 3 уцелеет). Теперь примемся за следующее уцелевшее число, а именно число 5. По командам <<один, два, три, четыре, пять!>> будем выбрасывать числа 10, 15, 20, то есть делящиеся на 5. В конце- концов все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. При некотором терпении можно таким же образом составить список и трёхзначных простых чисел.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ.

Для проверки того, является данное число составным или нет, требуется выполнить достаточно большое количество делений его на меньшие числа. Для некоторых делителей существуют признаки, позволяющие устанавливать делимость на них без выполнения самого деления. Такие признаки называются признаками делимости.

Число делится

На: Если: Пример

2 Оно оканчивается четной цифрой: 0, 2, 4, 6, 8. 26 оканчивается чётной цифрой; оно делится на 2.

5 Оно оканчивается цифрой 0 или 5. 95 оканчивается цифрой 5; оно делится на

10 Оно оканчивается цифрой 0. 2500 оканчивается цифрой 0; оно делится на

3 Сумма цифр этого числа делится на 3. 285 (2+8+5=15, 15 делится на 3); число 285

делится на 3.

9 Сумма цифр этого числа делится на 9. 351 (3+5+1=9, 9 делится на 9); число 351

делится на 9

4 Две последние цифры этого числа образуют число, делящееся на 4. 3164; две последние цифры составляют число

64, оно делится на 4; число 3164 делится на 4.

25 Оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75. 7325 оканчивается на 25; оно делится на

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ.

Возьмём какое-нибудь число, больше чем 10, например 5647. Переставим произвольным способом цифры этого числа. Например, так: 7456. Вычтем меньшее число из большего 7456 – 5647 = 1809. В получившемся числе зачеркнём какую-нибудь ненулевую цифру, а остальные цифры сложим. Так, если зачеркнуть цифру 1, то сумма оставшихся цифр равна 17. Не зная исходного числа и числа с переставленными цифрами, по этой сумме легко определить зачёркнутую цифру. Для этого достаточно сумму не зачёркнутых цифр разделить на 9 и остаток вычесть из 9. Разность всегда равна зачёркнутой цифре. В рассматриваемом примере остаток от деления 17 на 9 равен 8 и разность 9 – 8 = 1, т. е. равна зачёркнутой цифре. Если зачеркнуть цифру 9, то сумма цифр 1 + 8 + 0 имеет нулевой остаток при делении на 9 и разность 9 – 0 опять равна зачёркнутой цифре.

Какое бы число ни выбрать сначала, это свойство всегда выполняется. Если вы попросите своего товарища, не знающего этот секрет, написать на листке бумаги тайно от вас какое-нибудь число, проделать с ним указанные выше операции и сообщить сумму не зачёркнутых цифр, то вы сможете немало удивить его, указав зачёркнутую цифру.

Объясним теперь этот фокус. Разность любого числа и числа с переставленными цифрами делится на 9. Действительно, оба эти числа имеют одинаковую сумму цифр, и, значит, по свойству делимости на 9, они имеют одинаковые остатки при делении на 9.

Рассмотрим разность двух чисел, отличающихся друг от друга перестановкой цифр. Как мы установили, эта разность делится на 9 и по признаку делимости сумма её цифр также должна делиться на 9. Если от этой суммы отнять какую-нибудь нулевую цифру, то получившиеся число при делении на 9 будет, очевидно, иметь остаток, равный 9 – а. В разобранном выше примере сумма всех цифр разности равна 1 + 8 + 9 = 18. Отнимая от 18 цифры 9, 8, 1, получим числа 9, 10, 17, имеющие при делении на 9 остатки 0, 1, 8. Эти остатки дополняют до 9 отнятые цифры.

2. Напишите какое-нибудь целое число. Сосчитайте сумму его цифр и напишите её. Затем сосчитайте сумму цифр получившегося числа и действуйте так же до тех пор, пока не получится однозначное число. Это однозначное число всегда равно остатку от деления первоначального числа на 9.

Возьмём, например, число 123454321. Сумма его цифр равна 25. Сумма цифр числа 25 равна 7. Делением числа 123454321 на 9 легко убедиться, что его остаток также равен 7.

Это правило нахождения остатка числа при делении на 9 легко понять, если заметить, что по свойству делимости на 9 все числа в последовательности сумм цифр (в разобранном примере это 123454321, 25, 7) имеют одинаковые остатки при делении на 9.

3. (Старинный способ проверки арифметических действий. ) Перемножим какие-нибудь два числа, например 257 и 362. Имеем 257 · 362 = 93034. Найдём остатки при делении на 9 обоих множителей и произведения. Особенно легко это сделать с помощью правила из задачи 2. Число 257 имеет остаток 5, второй множитель имеет остаток 2, а остаток произведения равен 1. В средние века был принят такой способ записи. Нарисуем две пересекающиеся черты. Слева и справа от получившегося креста запишем остатки множителей, а вверху — остаток произведения.

Перемножим числа, стоящие слева и справа от креста, и запишем под крестом остаток от деления этого произведения на 9. В нашем случае записать нужно 1, так как 5 · 2 = 10 = 9 + 1.

Совпадение чисел над и под крестом не случайно. Так будет всегда, если произведение исходных чисел вычислено правильно. Если же выше и ниже креста записаны различные числа, то в вычисления вкралась ошибка.