Делимость чисел

Чтоб водить корабли,

Чтобы в небо взлетать,

Надо много уметь

Надо многое знать

И при этом и при этом

Вы заметьте-ка

Очень важная наука

А-риф-ме-ти-ка.

В арифметике много разделов и один из них- делимость чисел. В шестом классе мы изучали признаки делимости чисел на 5, на 10, на 2, на3, на 9. Вот, например как объясняли нам, почему число делится на 9. Возьмем число 846. В числе 846 содержится 8 сотен, 4 десятка, 6 единиц. Если раскладывать поровну на 9 групп одну сотню, то в каждую группу можно положить 11 и останется 1. От 8 сотен останется 8 единиц. Если раскладывать на 9 групп 1 десяток, то в каждую группу надо положить 1 единицу и 1 останется в остатке. В 4 десятках останется 4 единицы. Не разложенными в группы останется 8 единиц от сотен, 4 единицы от десятков и 6 единиц: 8+4+6=18. Число 18 является суммой цифр числа 846. Так как 18 единиц можно разложить поровну на 9 групп (по 2 единицы в каждую), то все 846 единиц можно разложить поровну на девять групп. Значит 846 делится на 9 без остатка. Вывод: если сумма цифр числа делится на 9,то и число делится на 9; если сумма цифр не делится на 9, то и число не делится на 9.

Что произойдет, если этот метод проверки делимости перенести на другие числа? Вот что получилось.

Признак делимости на 4

При делении на 4 надо посмотреть на последние две цифры, если они делятся на 4, то и все число делится на 4. Потому что 100 делится на 4 без остатка, то есть сколько бы сотен не было, они все делятся на 4 без остатка. 1000 тоже делится на 4 без остатка и т. д. А десятки не делятся на 4 без остатка. Значит, только десятки и единицы могут делиться или не делиться на 4. Если 10 разделить на 4, то в остатке останется 2. Значит, число десятков надо умножить на 2 и прибавить число единиц. Если полученная сумма делится на 4, то и число делится на 4. Если полученная сумма не делится на 4, то и число не делится на 4.

Например : число 846 4(2+6=14 14 не делится на 4, значит и число 846 не делится на 4.

Число 84636 3(2+6=12 12 делится на 4, значит и число 84636 делится на 4

Но есть и более простой способ проверки делимости двузначного числа на 4. Для этого надо в нем выделить наибольшее четное число десятков, (ведь любое число кратное 20, кратно 4) в результате чего остается число меньше 20, для которого проверка делимости на 4 уже не представляет труда.

846. 46-40=6 не делится на 4

84636 36-20=16 делится на 4

Признак делимости на 8

Чтобы узнать, делится ли число на 8, надо посмотреть на три последние цифры, потому что разряд тысяч, десятков тысяч и т. д. делится на 8 без остатка. Как проверить делимость на 8 класса единиц? 100 разделим на 8. У каждой сотни остаток от деления на 8 будет 4. То есть, чтобы найти остаток от деления сотен на 8, надо число сотен умножить на 4. У каждого десятка остаток от деления на 8 равен 2. Чтобы найти весь остаток от деления десятков на 8, надо число десятков умножить на 2. Сложим полученные произведения и прибавим число единиц. Делим эту сумму на 8. Если полученное число поделилось на 8 нацело, то и все число поделится на 8 без остатка.

Например: Число 84636 6(4+3(2+6=36 36 не делится на 8, значит и число 84636 не делится на 8.

Число 56978456 4(4+5(2+6=32 32 делится на 8 , значит, число 56978456 делится на 8 без остатка.

Я начал искать признаки делимости на другие числа в научной литературе. В журнале «Математика в школе» в №5 за 1999год на странице 40 в статье «Советы старого учителя» прочитал признак делимости на 11.

Признак делимости на 11

Выберем какое-нибудь, допустим 23456. Как узнать, делится ли это число на 11. Поступаем следующим образом. Над цифрами этого числа поочередно записывать знаки «+» и «(» начиная с цифры, крайней справа 2+3(4+5(6+. Те знаки, которые находятся над цифрами, ставим слева от цифры, получим пример: +2(3+4(5+6=4. Теперь посмотрим на ответ примера. Если он равен 0 или кратен 11, то число делится на 11. Значит, число 23456 не делится на 11. Почему же так происходит? При делении десятка на 11 недостаток равен 1, то есть (1, при делении сотни на 11 остаток равен 1,то есть+1 и т. д. Сложив все цифры с присвоенными им знаками + и (, мы узнаем, делится число на 11 или нет.

В книге «За страницами учебника математики» есть такой признак делимости на 11. Чтобы узнать, делится ли число на 11, надо сложить все цифры, стоящие на четных местах, а потом все цифры, стоящие на нечетных местах, считая с разряда единиц. Потом от большей суммы отнять меньшую сумму. Если разность делится на 11, то и все число делится на 11. Например:

23456 2+4+6=12 3+5=8 12(8=4

Этот признак объясним предыдущим способом, т. е. числа стоящие на четных местах, взяты со знаком +, а на нечетных- со знаком (.

В книге « Внеклассная работа по математике в восьмилетней школе» есть еще один признак делимости на 11.

Чтобы узнать, делится ли число на 11, надо от числа десятков отнять число единиц и посмотреть, делится ли эта разность на11.

Например: 825 82(5=77 77 делится на 11, значит и 825 делится на11.

Если сразу непонятно, то эту процедуру повторяют до тех пор, пока не будет видно, делится ли число на 11.

Например:27874 27874

22 делится на 11, значит и 27874 делится на 11.

Это объясняется так: в общем виде каждое число М может быть представлено так: М=10а+в или М=10а+в+а(а=11а((а(в). Из этого равенства мы заключаем, что для делимости числа М на 11 необходимо и достаточно, чтобы разность (а(в) делится на 11.

Признак делимости на 7

Как узнать делится ли число 2076158362 на7. Если 10 разделить на 7, то остаток равен 3, 100 при делении на 7 дает остаток 2, 1000-получаем остаток 6, но мы можем сказать, что у нас недостаток 1,т. е. -1. При делении 10000 на 7 недостаток равен 3, т. е. -3. 100000 –недостаток -2. Дальше все повторяется сначала – остатки 1,3,2 и недостатки -1,-3,-2. Расставим эти числа над разрядами, перемножим их на цифры в своих разрядах и сложим полученные произведения

2 -30 -17 26 31 15 -28 -33 -16 20 321

2((-3)+0((-1)+7(2+6(3+1(1+5((-2)+8((-3)+3((-1)+6(2+0(3+2(1=4

Если алгебраическая сумма равна 0 или кратна 7,то все число делится на 7. Значит, число 20761583602 не делится на 7, поскольку алгебраическая сумма не равна 0 и не кратна 7.

Конечно, сейчас достаточно нажать на клавиши вычислительной техники и узнать, делится ли число на другое число, но сам факт существования этих признаков показался мне интересным.