Учеба  ->  Науки  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Теория вероятностей в последние десятилетия превратилась в одну из самых быстро развивающихся математических наук. Широко известна исключительно большая роль математики в изучении закономерностей реального мира.

В периодической печати и программах телевидения мне неоднократно приходилось слышать о том, что показатель рождаемости за последние годы гораздо ниже, чем за предыдущие, что в нашей стране женщин больше, чем мужчин. У меня возник вопрос – случайные эти события или закономерные и от чего это зависит?

Оказывается, есть целая наука, которая даёт ответы на все эти вопросы – это наука, изучающая закономерности в случайных событиях – теория вероятностей.

Возникновение теории вероятностей связано с именами П. Ферма, Б. Паскаля, Х. Гюйгенса. В России теорией вероятностей занимался академик П. Л. Чебышев и его ученики: А. А. Марков и А. М. Ляпунов.

Знаменитый ученый Блез Паскаль писал о теории вероятностей: «Это учение, объединяющее точность математических доказательств с неопределенностью случая, с полным правом может претендовать на титул «математики случайного».

Задачи по теории вероятностей закладывают основы построения простейших вероятностных моделей, развивают вероятностную интуицию. Решение задач по теории вероятностей затрагивает круг вопросов, помогающих становлению и развитию личности.

Цель:

Изучение типов вероятностных задач, приводящих к различным видам комбинаций.

Актуальность:

1. Данная тема помогает решать вероятностные ситуации повседневной жизни.

2. Накопление опыта решения задач логического характера расширяет кругозор и показывает использование элементов теории вероятностей в смежных дисциплинах.

Рассмотренные в работе вопросы сводятся к изучению классического и геометрического определений вероятности, основных видов комбинаций и формул для их подсчёта.

Случайные, достоверные и невозможные события

В нашей повседневной жизни мы очень часто встречаем такие ситуации, когда невозможно предсказать исход проводимого нами испытания. Например, невозможно сказать, останется ли исправной электролампа после 1000 часов работы, будет ли выигрышным билет лотереи «Золотой ключ» №00185327, и т. д. Во всех подобных ситуациях мы вынуждены считать результат зависящим от случая, рассматривать его как случайное событие.

В книге А. С. Солодовникова «Теория вероятностей» я встретил такое определение случайного события: «Некоторое событие называется случайным по отношению к данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может наступить, а может и нет».

В определенных ситуациях можно точно сказать, что возможен только один вариант (например, снег идет только зимой). Если событие в результате данного опыта обязательно наступает, то такое событие называется достоверным. К невозможным событиям относятся те события, которые никогда не наступают при осуществлении данного опыта.

А вот несколько задач:

В коробке 10 красных, 1 зеленая и 2 синих ручки. Вынимают 2 предмета. Определить, какие из событий случайные, какие достоверные, а какие невозможные:

А «Вынуты 2 красных ручки»;

В «Вынуты 2 зеленых ручки»;

С «Вынута 1 красная и 1 синяя ручка»;

D «Вынута ручка»;

Е «Вынут карандаш».

Проанализировав данные, получаем, что событие D достоверное, события В и Е невозможные, а события А и С случайные.

Сравнение шансов также можно проводить на вероятностной шкале. Рассмотрим такой пример:

Лежит 18 синих, 1 белый и 5 желтых шаров. Наугад вынимается один предмет. Определить, какие события более, а какие менее вероятные:

А «Вынут синий шар»;

В «Вынут желтый шар»;

С «Вынут белый шар»;

D «Вынут красный кубик»;

Е «Вынут шар».

Из рисунка видно, какие события более вероятны, а какие – менее.

Частота и вероятность

А что же такое вероятность события?

Впервые термин «вероятность» введен в науку французским математиком П. Лапласом в книге «Аналитическая теория вероятностей». Вероятность была определена Лапласом так: Р(А)=m/n, где n – число равновозможных исходов события, а m – число тех исходов, когда произошел нужный исход («благоприятное событие»). Я взял два игральных кубика и поставил задачу, чтобы при бросании кубиков выпало 7 очков. Таких вариантов шесть, следовательно, вероятность равна Р(А)=6/36=1/6.

Я провёл опыт с бросанием пятирублёвой монеты. Результаты опытов поместил в таблицу:

Номер серии 1 2 3

Количество лампочек в коробке 96 96 96 96 96 96 96 96 96 Количество бракованных лампочек 13 11 15 6 8 10 6 2 7 Вероятность события Р(А)

Из таблицы видно – у потребителя высока вероятность приобрести неисправную лампочку. Можно также заметить, что чем больше мощность лампочки, тем больше в коробке встречается бракованных лампочек.

Также вероятность можно находить с помощью комбинаторики.

Задача №1

Команда равных по силе шахматистов состоит из 8 спортсменов с номерами от 1 до 8. Тренер команды наугад выбирает стартовую шестёрку. Какова вероятность события А «стартовую шестёрку составят шахматисты с номерами от 1 до 6»

В этой задаче общее число исходов равно С8 = 28, а число благоприятных исходов равно 1. Следовательно, вероятность Р(А) = 1/28.

Ответ: 1/28

Задача №2

Группа лиц, состоящая из восьми человек, занимает места за круглым столом в случайном порядке. Какова вероятность, что два некоторых лица А и В окажутся рядом?

Найдём число вариантов: n = 8!

Найдём число благоприятных исходов. К двум лицам А и В нужно подсадить 6 человек из восьми – таких вариантов 6! Так как это круг, то А может быть первым, а может быть последним. Получается ещё восемь вариантов. Также 6!∙8 нужно умножить на 2, т. к. А и В можно пересадить между собой 2! способами.

Р(А) = 2/7

Ответ: 2/7

Задача №3

Буквы слова «спаниель» написаны на карточках и перемешаны. Одна за другой извлекаются карточки. Какова вероятность того, что извлечённые буквы образуют слово «апельсин»?

Всего возможных вариантов Р8 = 40320, но слово «апельсин» можно образовать лишь один раз.

Р(А) = 1/40320≈2,5∙10-5

Ответ: 2,5∙10-5

Мои задачи.

Задача №1

Из 28 контрольных работ по алгебре в 9 классе четыре оказались выполненными не полностью. Какова вероятность того, что две наугад выбранных работы будут выполнены полностью?

Всего исходов С28. Благоприятных исходов С24

Р(А) = С28/С24 = 0,73

Ответ: 0,73

Задача №2

В моей коллекции, состоящей из 54 марок, имеются 9 марок, посвящённых Дню Защитника Отечества. Я решил подарить все марки трём своим друзьям. Какова вероятность, что у них окажется поровну праздничных марок?

Всего С54 исходов. Для благоприятного исхода мы должны выбрать 3 марки из 9, а затем из 45 обычных марок ещё 15. По правилу произведения всего благоприятных исходов получится С45∙С9

Р(А) = С45∙С9/С54 ≈ 0,3.

Ответ: 0,3

Задача №3

На уроке истории на вопрос: «В каком году началась русско-японская война?», мой друг забыл последнюю цифру года. Какова вероятность, что он назовёт дату верно с двух попыток?

Из 10 цифр он может назвать любую (А10). А9 – число неблагоприятных исходов. По правилу вычитания (для любого события число благоприятных исходов равно разности между числом всех исходов опыта и числом неблагоприятных исходов) найдём число благоприятных исходов опыта: А10-А9

Р(А) = А10-А9/А10 = 0,2.

Ответ: 0,2

Задача №4

В игре на внеклассном мероприятии по математике «Твой шанс» четверть билетов была такой, что, взяв этот билет, участник получал два дополнительных балла. Сколько билетов нужно взять, чтобы вероятность того, что он возьмёт «счастливый» билет была больше 0,98?

Пусть таких «счастливых» билетов будет m. Тогда

1-0,98>1/4m;

0,02>1/4m;

4m>50; m =3

Ответ: нужно взять хотя бы 3 билета.

Если в школьном курсе физики, математики решаются задачи с однозначным результатом действия, то я научился решать задачи, играющие всё большее и большее значение в самых разных науках, в которых результат действия не определён однозначно. При проведении опытов, убедился, что теория вероятностей даёт рекомендации, касающиеся необходимого числа опытов для получения достаточно надёжных выводов из эксперимента. Решение таких задач потребовало от меня большой теоретической подготовки: изучить вероятность события, определённую П. Лапласом, основные понятия комбинаторики и применять элементы комбинаторики к подсчёту вероятностей.

В ходе работы над данной темой я весьма расширил свой математический кругозор, научился работать с различными источниками, познакомился с уровнем конкурсных задач при поступлении в вузы. Я убедился, что выбранный мною дальнейший путь – это более глубокое и осмысленное изучение интересных и нужных тем по математике, имеющих выход в сферы других наук.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)