Физический смысл производной и первообразной и их практическое применение

В ходе одного, из уроков физики, к задаче о нахождении пути при известном уравнении скорости было найдено простое и оригинальное решение с использованием первообразной. Решение получилось коротким и уложилось в пару строк. Это послужило поводом к началу исследования.

Понятие производной

Пусть функция y=f(x) определена в точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение ∆х такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции ∆у (при переходе от точки х к точке х+∆х) и составим отношение. Если существует предел этого отношения при ∆х→0, то указанный предел называют производной функции y=f(x) в точке х и обозначают f ’(x).

Физический смысл производной

Если s(t) – закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t: v = s’(t).

или если некоторый процесс протекает по закону s = s(t), то производная s’(t) выражает скорость протекания процесса в момент времени t.

Рассматривая производную скорости по времени t, получим скорость изменения скорости, т. е. ускорение: a=v’=(s’)’=s’’(t)

Понятие первообразной

Функцию у=f(x) называют первообразной для функции у=f(x) на заданном промежутке Х, если для любого х € Х выполняется равенство F '(x)=f (x).

Физический смысл первообразной

Если уравнение мгновенной скорости в момент времени t при прямолинейном движении v=v(t), то первообразная для v будет являться уравнением движения.

Нахождение максимума и минимума уравнения

Для того, чтобы найти точки максимума или минимума, нужно найти производную от заданного уравнения. Затем следует определить, на каких промежутках производная равна нулю. Для этого приравниваем производную к нулю и находим корни получившегося уравнения. Если в точке функция меняет свой знак на противоположный, значит эта точка является экстремумом функции. От того, как меняется знак производной, зависит то, точка это минимума или же максимума.

Применение производной в физике

С понятием производной в физике мы впервые встречаемся в 10 классе при изучении понятия скорости и ускорения, далее в 11 классе в разделе механические и электромагнитные колебания, при изучении явления электромагнитной индукции, а при решении задач без знания понятий производной и первообразной и умения их вычислять, просто не обойтись:

- нахождение скорости/ускорения при заданном уравнении движения от времени (обратные преобразования делаются при помощи интеграла);

- решение уравнения колебаний;

- графические задачи на первый закон термодинамики;

- графические задачи в электродинамике.

Практическая часть.

Задача 1

Координата точки меняется со временем по закону х = 11 + 35t + 35t3 Определить ускорение точки через 1 с.

Дано: x = 11 + 35t + 35t3 t = 1с.

Решение:

При решении этой задачи без понятия производной не обойтись. Мы знаем, что v = x’; a = v’ = x’’

Таким образом, получаем: a = (11 + 35t + 35t3)’’ = (35 + 105t2)’ = 210t = 210м/с2

Ответ: 210м/с2

Задача 2

Скорость движения автомобиля от времени задана уравнением v=3 + 2t. Какой путь пройдет автомобиль за 6 секунд?

Дано: v = 3 + 2t м/с t=6 c

Решение:

При традиционном решении данной задачи строится график зависимости v(t) и путь находится как площадь фигуры, ограниченной графиком и осями координат. Приведем это решение:

Роль оснований играет v0 и v, высота – t

Тогда S =. Определим v0 и v.

v = 3 + 2tv = v0 + at v0 = 3 м/сv = 3 + 2∙6 = 15 м/с

S = 2*(15+3)/2 = 54 м

Мы же хотим предложить, на наш взгляд, более простой и рациональный способ решения задачи. В принципе, получившаяся фигура является частным случаем криволинейной трапеции и её площадь можно найти с помощью интеграла:

. Подставляем t и получаем:

S = 54 м.

Ответ: 54 м.

Мы попробовали применить данный способ к решению любых задач данного типа и столкнулись с проблемой:

Задача 3

Прямолинейное движение точки заданно уравнением x = -2 + 3t – 0,5t2 Найти путь за 8 секунд.

Дано: x = -2 + 3t – 0,5t2 t = 8 c.

Решение:

Решим данную задачу графически. Найдем уравнение зависимости v(t) и построим его график.

vx = v0x + axt

Найдем v0x и ax из уравнения:

v0x = 3 м/с ax = -1 м/с2 vx =3 – t.

Построим график

Попробуем применить понятие первообразной.

v(t) = 3 – t.

S = 24 – 32 = -8 м

Путь не может быть отрицательным, следовательно, в данном случае этот способ решения не может быть применен.

Ответ: 17,5 м.

Таким образом, наша гипотеза о применении первообразной при решении задач на нахождение пути при равноускоренном движении подтверждается лишь частично, в случае, когда график v(t) и фигура, ограниченная этим графиком находятся в первой четверти, выше оси t.

Теперь рассмотрим задачи из раздела «Колебания»:

Задача 4 (задачник УГНТУ)

Дано: x = 0,05 cos(2πt/3) t = 3 с a - ?

Решение:

Необходимо вспомнить, что: a = x’’.

Поступим тем же образом и применим первообразную: a = - 0,05 cos (2πt/3).

a = -2 м/с

Ответ: -2 м/с

Задача 5 (задачник УГНТУ)

Дано: q = 0,006 sin (100πt) Кл t = 1/300 c i - ?

Решение:

Поскольку i = q', то подходим к решению аналогично, как и в разделе механики: i = (0,006 sin (100πt))’ = 0,006 cos(100πt)*100π = 0,6π× ×cos(100πt) = 0,6π cos = 0,3π A.

Ответ: 0,3π А.

Задача 6 (задачник УГНТУ)

Какую максимальную мощность во внешней цепи сопротивлением 15 Ом может выделить источник с ЭДС 15 В.

В этой задаче используется понятие производной при исследовании функции на максимум.

ε = 15 В

R = 15 Ом

P max - ?

Решение:

. , U = IR

P = I2R.

Чтобы найти P max , найдем Р' и приравняем к 0. Функция сложная!

⇨ R + r = 2R, R = r – условие P max.

Ответ: 3,75 Вт

Задача 7 (учебник «Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. Теория» 11класс, А. Мордкович)

Тело движется прямолинейно по закону s = 10t2 + 3t – 1. Доказать, что это движение происходит под действием постоянной силы.

Решение: s’ = (10t2 + 3t – 1)’ = 20t + 3; s’’ = (20t + 3)’ = 20. Значит, ускорение постоянно и равно 20м/с2. Так как по закону Ньютона действующая сила пропорциональна ускорению, то она постоянна

Задача 8 (учебник «Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. Теория» 11класс, А. Мордкович)

Плот подтягивают к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 3 м/мин. Определить скорость движения плота в тот момент, когда его расстояние до берега равно 25 м, если известно, что ворот расположен выше поверхности воды на 4 м.

Решение: Пусть s = PW – длина каната между воротом W и плотом P, x = PB – расстояние плота от берега, WB = 4 м, следовательно,. Здесь х есть функция от времени t, т. е. х = х(t). нам нужно найти скорость движения плота, т. е. Имеем:. Значит , откуда. По условию , и, следовательно,

Тогда. Итак, искомая скорость примерно равна 3,04 м/мин.

Задача 9 (учебник «Алгебра и начала анализа. Профильный уровень. Теория» 11класс, А. Мордкович)

В степи, на расстоянии 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей на шоссе к поисковой партии точке расположен райцентр. Поисковая партия отправляет курьера-велосипедиста в райцентр. Каков должен быть маршрут курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по шоссе – со скоростью 10 км/ч?

Решение: Сделаем чертеж. На рисунке точка Р означает местонахождение поисковой партии, прямая l – шоссе, В – райцентр, РА = 9 км, АВ = 15 км, РВМ – маршрут курьера, причем положение точки М неизвестно.

1) оптимизируемая величина – время движения курьера Р в В; надо найти tнаим.

2) Пусть АМ = х. По смыслу задачи точка М моет занять любое положение между А и В, не исключая самих точек А и В. Значит реальные границы изменения х таковы: 0≤х≤15.

3) Выразим t через х. Имеем:. Этот путь велосипедист едет со скоростью 8 км/ч, значит, время t, затраченное на этот путь, выражается формулой Далее, МВ=15 – х. Этот путь велосипедист едет со скоростью 10 км/ч, значит, время t2, затраченное на этот путь, выражается формулой. Найдем суммарное время t, затраченное на весь путь:

Итак, ,

4) Для функции найдем наименьшее значение на отрезке [0;15].

Находим t':

Производная t' существует при всех точках x. Найдем точки, в которых t' = 0. Имеем:

Значение х=12 принадлежит отрезку [0;15].

Составим таблицу значений функции, куда включим значения функции на концах отрезка и в найденной стационарной точке:

x 0 12 15

Следовательно, tнаим = (поскольку 87 <).

Ответ: Так как tнаим достигается при х=12, то велосипедисту надо ехать по такому маршруту РВМ, чтобы расстояние между точками А и М на шоссе было равно 12 км.

В данной работе мы попытались показать, что такие математические понятия как производная и первообразная находят весьма широкое применение в разных разделах физики: и при введении некоторых физических понятий, и при решении физических задач. Решение задач с применением понятий производной и первообразной значительно упрощается и конкретизируется, однако, наша гипотеза о возможности применения первообразной к решению любых задач на нахождение площади фигуры подтвердилась только частично (см. исследовательскую часть работы).

Думаем, что наша работа может быть интересна и полезна старшеклассникам серьёзно занимающимся физикой и математикой, участникам олимпиад и готовящимся к ЕГЭ по данным предметам.