Флексаготы и флексоры

Основа основ

Геометрию многие считают неинтересным и скучным предметом, состоящим исключительно из фигур и формул, но это не так. Фигуры и формулы – это, конечно, основа геометрии, но скучным этот предмет назвать никак нельзя. Человек с самого раннего детства сталкивается с этой интересной наукой: когда собирает кубики, когда играет в мяч, даже когда просто рисует круглое солнышко и квадратный дом с треугольной крышей. Геометрия окружает нас повсюду, и без нее не обходится ни одна наука.

Есть занимательная геометрия, в которой обычные задачи превращаются в нечто увлекательное и необычное. Французский математик Блез Паскаль писал: «Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным». Один из увлекательных моментов геометрии будет рассмотрен в нашей работе.

Гипотеза: флексагоны и флексоры – это не геометрия, а обычное оригами.

Объектом исследования является математика.

Предмет исследования – геометрия гнущихся многогранников.

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В нашей работе будет рассмотрен один из моментов занимательной геометрии – флексагоны и флексоры. Мы узнаем интересные сведения о треугольнике – основе многоугольника, изучим вопрос об изгибаемости многогранника, о том, как собираются флексагоны и флексоры и где их можно применить помимо уроков математики.

Прежде чем изучить вопрос о геометрических игрушках, мы провели анкетирование, в котором приняли участие 46 пятиклассников. Ответы на вопросы анкеты «Занимательная математика» показали, что школьникам нужна занимательная математика и им интересно узнать о геометрических игрушках. Вопросы были следующие:

Любите ли вы уроки математики?

Интересна ли вам занимательная математика? (Занимательная математика – это интересные, необычные задачи или примеры)

В начальной школе на уроках математики учитель предлагал вам задания из занимательной математики?

Хотели бы вы продолжить решать занимательные задачи?

Хотели бы вы что-нибудь узнать о геометрических игрушках?

Таким образом, данная тема нужна и интересна школьникам, а значит, может быть интересной и другим.

ТРЕУГОЛЬНИК – ОСНОВА МНОГОУГОЛЬНИКА

Простейшая плоская фигура в геометрии и простейший из многоугольников – это треугольник: три стороны и три вершины. Математики его называют двумерным симплексом. «Симплекс» по-латыни означает простейший. Из-за своей простоты треугольник явился основой многих измерений. Землемеры при своих вычислениях площадей земельных участков используют свойства треугольника. Так возникла наука тригонометрия – наука об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы.

Научным языком треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, и отрезков АВ, ВС и АС, их соединяющих. Точки А, В и С называются вершинами треугольника, отрезки АВ, ВС и АС называются сторонами треугольника. По виду треугольники подразделяются на остроугольные (все углы треугольника острые), прямоугольные (один угол треугольника равен 90°) и тупоугольные . По соотношениям между сторонами треугольники подразделяются на: равносторонние или правильные (все стороны равны между собой, все углы равны 60°), равнобедренные (две стороны равны между собой), разносторонние (все стороны различны). Углы между сторонами треугольника называются углами треугольника и обозначаются: ∟ВАС, ∟АВС, ∟АСВ.

Любой многоугольник можно разбить на треугольники. Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника: достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах мы находим в египетских папирусах, которым более четырех тысяч лет. В частности, там упоминается способ нахождения площади равнобедренного треугольника. Через две тысячи лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня. Особенно глубоко свойствами треугольников занимались древнегреческие ученые Пифагор и Герон. Пифагор сформулировал и доказал теорему о сторонах прямоугольного треугольника, у Герона же впервые встречается знак ∆ вместо слова треугольник.

Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV – XVI веках. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника». Например, свойствами треугольников занимался в это время Леонард Эйлер. Даже император Франции Наполеон свободное время посвящал занятиям математикой, в частности, треугольникам. В математике есть понятие «внешний треугольник Наполеона» - это теорема, приписанная ему.

В XV – ХIХ веках ученые математики изучили треугольник буквально со всех сторон, написали о нем массу работ.

Инженеры любят треугольник за его «жёсткость»: даже если стержни, образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, в отличие от четырехугольников и многоугольников с большим количеством сторон, где такое соединение допускает изменение формы многоугольника.

Взгляните на металлические фермы мостов – составляющие их балки образуют треугольники. Устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит плоскость.

МОЖНО ЛИ ИЗГИБАТЬ МНОГОГРАННИК

Как уже было сказано выше, треугольник – это простейшая плоская фигура, следовательно, из соединенных треугольников можно составить любой многоугольник. Например, из двух одинаковых равнобедренных и прямоугольных треугольников можно составить квадрат; из двух одинаковых прямоугольных треугольников составляется прямоугольник; из двух равнобедренных треугольников составляется ромб; если взять два любых одинаковых треугольника, то получится параллелограмм.

С равносторонними треугольниками, у которых равны не только стороны, но и углы (каждый 60°), можно проводить много интересных опытов. Например, два правильных треугольника образуют ромб; три – трапецию, у которой равны три стороны; четыре – параллелограмм, у которого каждая боковая сторона в два раза меньше оснований. Шесть правильных треугольников, имеющих общую вершину, образуют правильный шестиугольник.

Из четырех правильных треугольников можно составить и объемное геометрическое тело – тетраэдр (тетра – «четыре», эдр – «грань» - пирамида, в основании которой лежит треугольник). Наш тетраэдр получится правильным, так все его грани будут равны между собой.

Как треугольник считается жёсткой геометрической фигурой, так и пирамида – жёсткое геометрическое тело, то есть его нельзя изменить, не сломав. Еще в 1766 году математик Эйлер высказал гипотезу: «Замкнутая пространственная фигура не допускает изменений, пока не рвется». В 1813 году французский математик Огюстен Луи Коши доказал, что выпуклый многогранник с данным набором граней и условиями их склейки единственен, то есть выпуклый многогранник изгибаемым не бывает. Н. П. Долбилин в своей статье «Жесткость выпуклых многогранников» писал: «Каждый, кто клеил или просто держал в руках картонную модель многогранника, замечал его жесткость и, возможно, задумывался над этим».

Оказывается, эту версию можно опровергнуть. В статье В. Залгеллера «Непрерывно изгибаемый многогранник» мы нашли примеры изгибания замкнутого многогранника. Одним из таких примеров является построенный в 1977 году американским геометром Р. Коннели изгибаемый многогранник, который и опроверг гипотезу Эйлера.

ФЛЕКСАГОН – ИЗГИБАЕМЫЙ МНОГОГРАННИК

Самый яркий пример того, что многогранник может изгибаться и менять свою форму – это флексагон – бумажная геометрическая игрушка, обладающая поразительной способностью менять форму и цвет.

Флексагоны - это многоугольники, сложенные из полосок бумаги прямоугольной или более сложной, изогнутой формы, которые обладают удивительным свойством: при перегибании флексагонов их наружные поверхности прячутся внутрь, а ранее скрытые поверхности неожиданно выходят наружу.

Слово флексагон произошло от английского to flex – «складываться, гнуться, сгибаться». Название говорит само за себя.

Открытие флексагонов произошло совершенно случайно. В конце 1939 года Артур Х. Стоун, аспирант из Англии, изучавший в Пристоне математику, держал в руках американский блокнот. Формат этого блокнота не совпадал с форматом привычного ему английского, поэтому Стоун решил обрезать листы американского блокнота, подогнав его под привычный формат. Желая немного развлечься, он стал складывать из отрезанных полосок бумаги различные фигуры. Одна из сделанных им фигур - правильный шестиугольник – оказалась особенно интересной: она имела три поверхности, только две из которых были видны. Перегнув же шестиугольник определенным образом, можно было увидеть и третью сторону. Позже его назвали тригексафлексагоном (три – число поверхностей, гекса – «шесть» - число углов).

Напомним, что Стоун был математиком. Простому человеку, сложи он даже случайно флексагон, вряд ли было бы понятно, какое открытие он сделал. И, как настоящий математик, Стоун не оставил свое маленькое открытие. Поразмыслив над этим ночью, наутро Стоун убедился в правильности своих умозаключений. Оказалось, что можно построить и более сложный шестиугольник с шестью поверхностями вместо трех. Эта модель показалась аспиранту настолько интересной, что он решил показать ее своим друзьям по университету. Вскоре был создан «Флексагонный комитет», куда вошли сам Стоун, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и молодой преподаватель математики Джон У. Тьюки. Комитет обнаружил, что можно сделать флексагоны с 9-ю, 12-ю, 15-ю и большим числом поверхностей. Таккерману удалось сделать действующую модель флексагона с 48-ю поверхностями. Он также обнаружил, что из зигзагообразной полоски можно сложить тетрагегсафлексагон (с четырьмя) и пентагексафлексагон (с пятью поверхностями).

Полная математическая теория флексагонов была разработана в 1940 году Тьюки и Фейнсманом. Она указывает точный способ построения флексагонов с любым числом сторон, причем именно той разновидности, которая требуется.

Существует несколько видов флексагонов: тригексафлексагон (шестиугольник с тремя поверхностями), тетрагаксафлексагон (с четырьмя поверхностями), пентагексафлексагон (с пятью поверхностями), гексагексафлексагон (с шестью поверхностями) и другие . Существуют флексагоны, построенные на основе квадрата. В нашей работе рассматриваются только те флексагоны, которые собираются на основе треугольника.

Надо сказать, что тригексафлексагон делается намного проще, чем гексагексафлексагон, в котором имеются не три, а шесть сторон. Перегибая тригексафлексагон, можно увидеть, как стороны появляются друг за другом: красная, фиолетовая, желтая, красная, фиолетовая, желтая. Гексагексафлексагон удивителен еще и тем, что при выворачивании можно заметить странную вещь. Стороны показываются не по порядку. Причем стороны с цифрами 1, 2 и 3 показываются намного чаще (практически в 3 раза), чем стороны с цифрами 4, 5 и 6. Можно помногу раз выворачивать флексагон и совсем не увидеть 4, 5, или 6-ю стороны.

Один из друзей изобретателя флексагона Таккерман нашел очень простой способ выявления всех поверхностей любого флексагона. Держа флексагон за какой-нибудь угол, следует открывать фигуру до тех пор, пока она «открывается», а затем переходить к следующему углу. Этот метод, известный как «путь Таккермана», позволяет увидеть все шесть разворотов гексагексафлексагонов за один цикл из двенадцати перегибаний. Поверхности с цифрами 1, 2 и 3 будут показываться в три раза чаще, чем поверхности с цифрами 4, 5, 6.

ФЛЕКСОР – КОЛЬЦО ИЗ ТЕТРАЭДРОВ

Флексагоны – это шестиугольники, лежащие на плоскости. В основе любого флексагона лежит правильный треугольник. Но есть еще один необычный предмет – флексор. Из названия понятно, что эта фигура также может ломаться и гнуться. Но флексоры, в отличие от флексагонов, объемны. Основой также может послужить правильный треугольник. Но треугольники в данном случае складываются не в плоский шестиугольник, а в объемные тетраэдры. Флексор еще называют кольцом из тетраэдров. Это кольцо (или цепочка) при правильном склеивании обладает удивительной способностью изгибаться и выворачиваться до бесконечности, все время меняя свою форму. Кольцо из тетраэдров – это первый пример флексора – изгибаемого многогранника.

У. У. Роуз Болл и Г. С. Макдональд Коксетер в своей книге «Математические эссе и развлечения» говорят о том, что «Дж. М. Андреас и Р. М. Сталкер независимо друг от друга открыли семейство изгибаемых конечных многогранников». Гранями служат грани определенного количества тетраэдров, соединенных между собой в циклическом порядке по определенным парам так, что получается фигура наподобие кольца. Но при 6 тетраэдрах эта фигура еще достаточно жестка, а при 8 уже может изгибаться и выворачиваться до бесконечности. Когда количество тетраэдров четно, фигура стремится принять симметричную форму. Когда нечетно, из-за полного отсутствия симметрии кольцо получается интереснее. При количестве тетраэдров больше 22 кольцо может заузливаться.

Математик Ройал В. Хит на флексоре из шести тетраэдров расположил определенным образом числа от 1 до 32. Это кольцо получилось «магическим». Во-первых, четыре грани каждого тетраэдра дают в сумме 66; во-вторых, «соответствующие» грани, взятые по одной из каждого тетраэдра, дают в сумме 132 (например, 9+7+17+31+10+8+18+32=132).

Интересно, что в книге «Математические эссе и развлечения» не упоминается понятие «флексоры», а называются они вращающимися кольцами тетраэдров. Слово «флексоры» скорее надуманное, появилось оно в связи с похожестью вращающимся кольцом тетраэдров и флексагонами.

А. А. Панов в своей статье «Флексагоны, флексоры, флексманы» писал: «Кольцо из тетраэдров как изгибаемый многогранник вызывает ряд возражений. Во-первых, в нем есть дырка. Во-вторых, имеются ребра, к которым подходят по четыре грани. Так что непонятно, стоит ли называть это кольцо многогранником»[4]. С этим утверждением можно согласиться, а можно не согласиться, но по нашему мнению флексор вполне можно назвать изгибаемым многогранником.

В Приложении 12 показано изготовление флексоров из шести, восьми и десяти тетраэдров.

А. А. Панов в своей статье «Флексагоны, Флексоры, флексманы» обращает внимание необычное существо, живущее в мире флексагонов и флексоров, - флексмана. Это существо, выдуманное, скорей всего, самим автором статьи, но от этого оно не менее интересно .

ПРИМЕНЕНИЕ ФЛЕКСАГОНОВ И ФЛЕКСОРОВ

Флексагоны и флексоры могут быть основой творчества. Например, известно, что когда изобретатель флексагонов Артур Х. Стоун и его друзья создали и исследовали игрушку, они попутно придумали историю об одном джентельмене, у которого в флексагон попал кончик галстука. Порвать любовно сделанную игрушку было жаль, и он продолжал играть, напрасно надеясь, что при очередном перегибании удастся освободиться. Эта сочиненная история легла в сюжет любительского фильма «Осторожно, математика!»

Изучив флексагоны и флексоры, мы смогли убедиться, что их можно использовать не только как интересные геометрические головоломки, но и найти им много других применений.

Применение флексагонов:

Если каждый треугольник гексафлексагона раскрасить в свой цвет, то можно применять его для изучения цветов у детей дошкольного возраста. На каждом треугольнике можно поместить не только цвета, но и геометрические фигуры, рисунки животных, деревьев, цветов и др. На одном тригексафлексагоне разместятся 18 предметов одного вида, а на гексагексафлексагоне – 36. Таким образом, флексагон станет для ребенка не только забавной игрушкой, которую можно выворачивать, но и наглядным обучающим материалом.

Флексагоны и флексоры можно применять на уроках математики, если на их сторонах написать числа и знаки «+», «-»,«×», «:». Выворачивая флексагон, можно числа складывать, вычитать, умножать и делить. Правда, при вычитании может получиться отрицательное число, а при делении – не всегда получится целое.

Необычно применение флексагона в качестве шпаргалки. Написав на его сторонах формулы или правила, можно вывернуть флексагон обычными раскрашенными сторонами наружу. Такой полезный флексагон вешается на шею, как кулон, а в нужный момент разворачивается. Есть только опасность, что до нужной подсказки придется очень долго добираться, ведь известно, что 1, 2 и 3 стороны открываются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6.

Флексор можно использовать в качестве фоторамки. На все треугольники приклеиваются фотографии (например, учеников класса). Такой фоторамке не требуется специальная подставка.

Флексагоны и флексоры можно подарить друзьям в качестве сувенира или во время проведения праздника научить их делать эти геометрические игрушки.

Флексоры и простейшие флексагоны, раскрашенные в разные цвета или сделанные из фольги, можно использовать в качестве елочных украшений или обычного оформления праздника.

Наша работа посвящена изучению свойств гнущихся многогранников, называемых флексагонами и флексорами, истории их возникновения и применению в обычной жизни.

Прочитав специальную литературу, изучив природу флексагонов и флексоров, изготовив их, можно сделать вывод: в их основе лежит чистая геометрия. Нельзя флексагоны и флексоры воспринимать как обычное оригами. Это выходит далеко за рамки привычного нам «бумаголомания» и является геометрией. Этим вопросом занимались несколько известных математиков, поэтому флексагоны и флексоры – это, с одной стороны, занимательная математика, а с другой, доказательство того, что существуют многогранники, обладающие способностью изгибаться и ломаться.

Нам было интересно заниматься этой работой, потому что, научившись практически изготавливать флексагоны и флексоры, мы через геометрию занимательную погрузились в мир геометрии научной. Мы познакомились с трудами известных математиков, изучили свойства треугольника и шестигранника, методику построения равностороннего треугольника и тетраэдра, изучили вопрос жесткости многогранников.

В работе изучен интерес к данной теме путем анкетирования пятиклассников, даны несколько советов практического применения флексагонов и флексоров, разработана брошюра «Геометрические игрушки: практическое пособие по изготовлению флексагонов и флексоров». В приложении перечислены термины и персоналии, встречающиеся в работе (Приложение 15 и 16).

Наша работа предназначена тем, кто любит необычную и занимательную математику. Также работа может быть использована на уроках математики при изучении свойств треугольников, шестиугольников, тетраэдров.

«Несведущим в геометрии вход воспрещен», - гласила надпись над входом в помещение, где учил Платон. Для нашей работы эту надпись можно перефразировать: «Несведущим в геометрии вход разрешен».