Формула Кардано. История и применение

1512 год. Французская армия, перейдя через Альпы, проникла в Северную Италию и захватила её. Завоеватели занялись нещадным грабежом населения. Нападению подвергся и город Бресчиа, находящийся недалеко от Милана. После упорного сопротивления он был взят французскими войсками. Жители несчастного города искали убежища в соборе, думая, что святость этого места спасёт их от потерявших человеческий облик французских солдат. Здесь собрались женщины, дети, раненые войны. Среди них вместе с отцом был шестилетний мальчик Никколо. Ничто не могло остановить французских солдат, они ворвались в собор и в ярости изрубили спасавшихся там жителей. Мать Никколо нашла маленького полуживого мальчика рядом с трупом своего мужа. У Никколо была разрублена челюсть и рассечён язык. С изуродованным ребёнком мать вернулась в свой дом, и только её любовь и заботы вернули Никколо к жизни. Но он уже никогда не мог говорить свободно и получил прозвище tartaglia - заика. Кто мог бы думать, что этот израненный ребёнок будет гордостью Италии, одним из крупнейших учёных-математиков!

Трудно пришлось матери Никколо после смерти мужа. Она была так бедна, что не имела возможности уплатить за Никколо в школу, и вынуждена была взять мальчика из неё, когда он едва выучил азбуку только до буквы К. Казалось, что мальчик затеряется среди массы таких же бедных детей. Но исключительно упорный и талантливый, он не только овладел остальными буквами алфавита, но и языками латинским и греческим, а также и математикой, которую он очень любил.

Если не было бумаги для вычислений, Никколо шёл на ближайшее кладбище и там, на надгробных плитах писал свои математические выкладки. Упорно работа мальчика, а потом и юноши дала свои результаты - двадцати трёх лет он уже добывает свой хлеб тем, что учит других математике, и помогает своей матери. Молва о молодом учёном выходит за пределы его родного города Бресчиа, достигает Верони, Пьяченицы и, наконец, Венеции. Его приглашают читать лекции по геометрии, механике, алгебре. Но это не делает его богаче - плата за эти публичные лекции такова, что едва хватает на жизнь.

Только в 1535 г. Тарталья может свободно вздохнуть - он получает кафедру математики в Вероне. В этом же году он одерживает блестящую победу на публичном математическом состязании с неким Фиори. Слава о Тарталье из Вероны распространяется по всей Италии.

Повод к состязанию послужил вопрос об общем решении уравнения третьей степени, вопрос, который не смогли решить ни арабы, ни индийцы, ни древние греки. Фиори знал решение уравнения вида x3 + px = q от своего учителя Спициона Феррео, который опытным путём дошёл до этого решения. Но Тарталья ещё раньше, в 1530 г. , добился решения для одного частного случая такого уравнения. Решение досталось ему с большим трудом, и поэтому он не очень доверял заявлению Фиори о том, что ему известно решение, и считала это только хвастовством. Оба математика держали в тайне свои способы решений. И вот Тарталья, уверенный в победе, вызывает Фиори на публичный математический поединок. Поединок назначают на 22 февраля 1535 г. В этот день оба математика должны были явиться к нотариусу. Каждый должен был принести 30 задач и обменяться ими друг с другом в присутствии нотариуса. На решение задач давалось 50 дней. Кто к концу этого срока решит наибольшее число задач из 30, предложенных соперником, тот и будет считаться победителем и, сверх того, получит по 5сольди за каждую задачу.

Между тем незадолго до этого дня до Тартальи доходят слухи, что Фиори действительно знает способ решения уравнений вида x3 + px = q.

Тарталья чувствует, что если это так, Фиори обязательно предложит ему именно такие уравнения и, следовательно, останется победителем, так как сам Тарталья знал решение подобных уравнений для нескольких частных случаев. Тогда, как пишет он в одном из своих сочинений, <<я приложил всё своё рвение, прилежание и искусство, чтобы найти правило этих уравнений, и мне удалось это сделать за 10 дней до срока, т. е. 12 февраля, благодаря счастливой судьбе>>. Мы бы сказали, благодаря его исключительному таланту.

Предположение Тартальи подтвердилось. В назначенный срок Фиори передал своему сопернику 30 задач, которые все приводились к уравнениям вида x3 + px = q.

Каково же было удивление всех, когда Тарталья все их решил за 2 часа; Фиори же не справился и в 50 дней ни с одной из задач, которые Тарталья взял из разных отделов геометрии и алгебры.

Молва о победе Тартальи быстро распространилась по всей Италии. Многие учёные просили Тарталью сообщить употребляемый им метод решения, но он упорно хранил тайну своего открытия, обещая обнародовать её в большом трактате по алгебре, подготовляемом к печати.

Весть о победе Тартальи дошла и до Болоньи, где жил и работал исключительно талантливый учёный Джероламо Кардано, интересующийся многими областями науки. Но Кардано был совершенно иным человеком, чем скромный Тарталья. В нём уживались вместе и отчаянный игрок, и страстный поклонник наук. То он увлечён математикой, то его интересует астрология, наука, предсказывающая судьба человека по звёздам. Его увлечение астрологией дошло до того, что он составил гороскоп Христа, за что его заключают в тюрьму по обвинению ереси. После выхода из тюрьмы ряд новых выходок и свежая ещё память о старых вызвали такое негодование его сограждан, что он был вынужден отказаться от кафедры и бежать из Болоньи. Кардано находит убежище при дворе папы. Говорят, что, предсказавши свою смерть на известный день, он совершил самоубийство, чтобы поддержать свою славу астролога. Вот с таким - то человеком и познакомился Никколо Тарталья.

Кардано в это время писал свой, знаменитый потом, трактат <<Великое искусство, или о правилах алгебры>>, в связи с чем у него появляется страстное желание овладеть тайной решения кубического уравнения, известной Тарталье, и поместить его в свою работу.

Он едет в Венецию и просит Тарталью открыть ему тайну, обещая не печатать её в своей работе. Тарталья отказывается ему в этом. От лести и просьб Кардано переходит к яростным оскорблениям и решает хитростью выманить у Тартальи его тайну. Тарталья получает из Милана письмо: <<Знатный синьор, наслышавшийся о славе знаменитого математика, приглашает его на свидание с тем, чтобы научиться у него>>. Тарталья, польщённый таким вниманием, отправляется в Милан. <<Знатный синьор>> оказывается уехавшим, и, вместо того чтобы встретиться с ним, Тарталья попадает в руки Кардано. Опять потоки лести и просьб со стороны Кардано, и, наконец, ему удаётся вырвать у обманутого, доверчивого Тартальи тайну его открытия. <<Клянусь святым Евангелием и словом благородного человека, - убеждал Кардано, - что я никому и никогда не открою тайну правил, сообщённых мне по дружбе>>. - <<Если бы я не поверил таким клятвам, - отвечает Тарталья, - то сам сделался бы человеком, недостойным доверия>>,- и он сообщает Кардано способ решения кубического уравнения.

Проходит 10 лет. В 1545 г. Выходит в свет замечательный труд Кардано <<Великое искусство>>, и в нём, нарушая все свои клятвы, он подробно излагает теорию решения кубических уравнений. Этот поступок делает двух знаменитых математиков смертельными врагами>>. У меня вероломно похищено лучшее украшение моего собственного труда по алгебре>>, - говорит Тарталья, Но он, как благородный человек, не нашёл другого выхода, как вызвать Кардано и его ученика Феррари на математическое состязание. Тарталья предлагает Кардано обменяться с ним 31 задачей и решить их в пятнадцатидневный срок. Его противники свои решения прислали через пять месяцев. По мнению Тартальи они были неверные. Тарталья решил положить конец спору, приехав в Милан. Публичный диспут должен был состояться в церкви святой Марии в определённый день и в назначенное время, но на встречу пришёл только один Феррари с толпой друзей. Тарталья вдвоём с братом оказались среди враждебно настроенной толпы чужого города. Тарталья смог доказать неправильность решения лишь одной задачи, сделанной Кардано, так как толпа передала слово для Феррари, который так долго рассуждал, что к обеду церковь опустела. Диспут должен был быть продолжен на другой день, но Тарталья сделал вывод, что можно погибнуть от кинжала наёмного убийцы. Ночью Тарталья и его брат покинули Милан. Кардано и Феррари через несправедливость сочли себя победителями. Поэтому долгие годы способ решения кубического уравнения был известен в математике под названием <<формулы Кардано>> Таков рассказ о том, как два великих итальянских математика стали смертельными врагами.