Учеба  ->  Учебные материалы  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Функция y=│x│. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, графическим способом

«Математика – это, посредством чего люди управляют природой и собой».

А. Н. Колмагоров.

Историческая справка

Одним из нерешенных в восемнадцатом веке вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых восемнадцатого века по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жанн Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 г. и 1811 г. мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции:

« У есть функция переменной Х (на отрезке a

Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая «функция Дирихле» φ(х):

Φ(х) = 1, для всех рациональных значений;

0, для всех иррациональных значений.

Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине девятнадцатого века длительной борьбы мнений, понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем.

В 1936 г. советский математик и механик Сергей Львович Соболев (в дальнейшем академик) первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта функцию, и применил созданную теорию к решению задач математической физики.

Важный вклад в развитие теории обобщенных функции внесли ученики и последователи Л. Шварца – И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика – не завершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху, и будет развиваться в дальнейшем.

Функция y=kx

Функция y=kx k – данное не равное нулю число, называют прямой пропорциональной зависимостью. Эта функция определена для всех действительных чисел x, т. е. область определения функции есть множество R всех действительных чисел.

Если функция задана формулой y=kx, то говорят еще, что переменная y пропорциональна переменной x с коэффициентом пропорциональности k.

Графиком функции является множество точек координатной плоскости xOy с координатами ( x;ky ), где x- любое действительное число.

Графиком функции y=kx, где k есть некоторое данное число (положительное, отрицательное или нуль), является прямая, проходящая через начало координат и точку В (1;k). Вместо того чтобы говорить «график функции y=kx», часто говорят «прямая y=kx».

Число k называют угловым коэффициентом прямой y=kx.

Если угловой коэффициент k прямой положителен (k>0), то она образует острый угол с положительным направлением оси x, а если угловой коэффициент k прямой отрицателен (k<0), то она образует тупой угол с положительным направлением оси x – угол отсчитывается против часовой стрелки.

Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, лежащих на ней.

Линейная функция

Функцию вида y=kx+b, где k и b – данные числа, называют линейной функцией.

Линейная функция определена на множестве всех действительных чисел, т. е. область определения функции y=kx+b есть множество всех действительных чисел R.

Графиком функции является множество точек координатной плоскости xOy с координатами (x;kx+b), где x – любое действительное число.

График линейной функции есть прямая, пересекающая ось ординат в точке D (0;b), параллельная прямой y=kx.

Коэффициент k в уравнении y=kx+b называют угловым коэффициентом этой прямой. Число b есть ордината точки пересечения прямой с осью y.

Две прямые y=kx+b и y=k1x+b1 , имеющие одинаковые и угловые коэффициенты (k=k1 ) и разные числа b и b1 (b≠b1), параллельны.

Если k=0 , то мы получим функцию y=b , явно от x не зависящую. Эта функция выражает следующий закон: каждому значению x соответствует одно и тоже число y=b.

Функцию y=b называют постоянной. График ее – прямая, параллельная оси x, пересекающая ось y в точке (0;b). Угловой коэффициент ее равен нулю.

Основные свойства функции y=│x│

1) Определена для всех значений x.

2) Принимает только неотрицательные значения.

3) При x ≥ 0 возрастает, при x ≤ 0 e, убывает.

4) Чётная функция: │-x│= │x│.

Решить уравнение: cos x = │x│+1

Это уравнение мы можем решить графическим способом.

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. y = cos x;

2. y = │x│+1.

2) y = │x│+1

1. Начертим функцию у = х. Для этого составим таблицу:

х 0 1 -1

у 0 1 -1

2. Превратим ее в функцию у = │х│.

3. Поднимем функцию у = │х│ вверх и получим функцию у = │х│+1.

3) Нанесем чертежи на систему координат. Таким образом у нас получился единственный корень х = 0.

Решить уравнение:

│sin х│ = 3х

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у =│sin х│;

2. у = 3х.

2) у = 3х

Чтобы начертить эту функцию, мы составим таблицу:

х 0 1 2 -1

у 0 3 6 -3

3) у = │sin х│

1. Для начала начертим функцию у = sin х.

2. Затем преобразуем ее в функцию у = │sin х│.

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился единственный корень х = 0.

Решить уравнение:

│cos х – 0,5│ = - х + 0,5

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = - х + 0,5;

2. у = │cos х – 0,5│.

2) у = - х + 0,5

Для того, чтобы начертить эту функцию, мы составим таблицу:

х 0 0,5

у 0,5 0

3) у = │cos х – 0,5│

1. Для начала построим функцию у = cos х.

2. Затем опустим график вниз и получим у = cos х – 0,5.

3. Теперь превратим его в график функции у = │cos х – 0,5│, отразив наверх его части, находящиеся ниже оси х.

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился единственный корень х = 0.

Решить уравнение: sin │х│ - 2 = │2х│ - 2

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = sin │х│ - 2

2. у = │2х│ - 2

2) у = │2х│ - 2

1. Начертим функцию у = 2х. Для этого составим таблицу:

х 0 1 -1

у 0 2 -2

2. Превратим ее в функцию у = │2х│.

3. Теперь опустим график вниз и получим функцию у = │2х│ - 2.

3) у = sin │х│ - 2

1. Начертим функцию у = sin х.

2. Преобразуем ее в функцию у = sin │х│, отразив часть графика, находящегося справа от оси у.

3. Теперь опустим у = sin │х│ вниз и получим функцию у = sin │х│ - 2.

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился корень х = 0.

Решить уравнение:

│х│ - │х + 3│ = - 3 │cos х│

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = │х│ - │х + 3│;

2. у = - 3 │cos х│.

2) у = │х│ - │х + 3│

1. │х│ - │х + 3│ = 0

Найдем корни подмодульных выражений: х = -3; х = 0.

2. Отметим их на числовой прямой: х

-( -3 0 +( а) если х Є (-∞;-3] у = -х + х + 3 = 3 у = 3 б) если х Є (-3;0] у = -х – х – 3 = -2х – 3 у = -2х – 3 в) если х Є (0;+∞) у = х – х – 3 = -3 у = -3

3. Чтобы начертить функцию у = -2х – 3, мы составим таблицу:

у -1,5 0

3) у = - 3 │cos х│

1. Сначала построим функцию у = cos х.

2. Затем преобразуем ее в функцию у = │cos х│, отразив нижнюю часть графика над осью х.

3. Перевернем получившийся график. И получим у = -│cos х│.

4. Теперь превратим его в у = - 3 │cos х│.

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получились корни х = -π / 2; х = πn.

Решить уравнение:

│sin х│ = │2х│ - 3

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = │sin х│;

2. у = │2х│ - 3.

2) у = │sin х│

1. Сначала начертим график функции у = sin х.

2. Теперь отразим нижнюю часть графика над осью х. Получилась функция у = │sin х│.

3) у = │2х│ - 3

1. Начертим функцию у = 2х. Для этого составим график:

х 0 1 -1

у 0 2 -2

2. Преобразуем ее в у = │2х│, отражая правую часть графика с левой стороны.

3. Опустим его вниз и получим функцию у = │2х│ - 3.

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получилось 2 корня. Это х = - 2π / 3; х = 2π / 3.

Решить уравнение:

│х│ + │х + 1,5│ = │х - 6│

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = │х│ + │х + 1,5│;

2. у = │х - 6│.

2) у = │х│ + │х + 1,5│

1. │х│ + │х + 1,5│ = 0

Найдем корни подмодульных выражений: х = 0; у = -1,5.

2. Отметим их на числовой прямой: х

-( -1,5 0 +( а) если х Є (-∞;-1,5] у = -х – х + 3 = -2х + 3 у = -2х + 3 б) если х Є (-1,5;0] у = х – х + 3 = 3 у = 3 в) если х Є (0;+∞) у = х + х – 3 = 2х – 3 у = 2х – 3

х 0 1,5

х 0 1,5

3. Чтобы построить функции а) и в), мы сделаем таблицы:

3) у = │х - 6│

1. Чертим функцию у = х.

2. Преобразуем ее в у = │х│.

3. Сдвигаем ее вправо и получаем функцию у = │х - 6│.

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получилось 2 корня. Это х = -3; х = 3.

Решить уравнение:

│х - 1│ + │х│ = cos х

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = │х - 1│ + │х│;

2. у = cos х.

2) у = │х - 1│ + │х│

1. │х - 1│ + │х│ = 0

Найдем корни подмодульных выражений: х = 1; у = 0.

2. Отметим их на числовой прямой: х

-( 0 1 +( а) если х Є (-∞;0] у = -х + 1 - х = -2х + 1 у = -2х + 1 б) если х Є (0;1] у = -х + 1 + х = 1 у = 1 в) если х Є (1;+∞) у = х - 1 + х = 2х - 1 у = 2х - 1

3. Чтобы построить функции а) и в), мы сделаем таблицы:

х 0 0,5

х 0 0,5

3) Нанесем графики функций на систему координат. Таким образом находим корень уравнения х = 0.

Решить уравнение:

2 - │1 - х│ = │2х│ + 1

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = 2 - │1 - х│;

2. у = │2х│ + 1.

2) у = 2 - │1 - х│ а) если х Є (-∞;1) у = 2 – 1 + х = 1 + х у = 1 + х б) если х Є (1;+∞) у = 2 - (-1 + х) = 2 + 1 – х = 3 – х у = 3 – х

Чтобы начертить функции, мы составим таблицы:

3) у = │2х│ + 1

1. Начертим функцию у = 2х. Для этого составим таблицу:

х 0 1 -1

у 0 2 -2

2. Превратим ее в функцию у = │2х│.

3. Теперь поднимем график вверх и получим функцию у = │2х│ + 1.

3) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился корень х = 0.

Построить график функции: у = tg x ∙ │cos x│ sin x / cos x ∙ │cos x│ = sin х или - sin х

1. если cos х > 0, то sin x / cos x ∙ │cos x│ = sin х

2. если cos х < 0, то sin x / cos x ∙ │cos x│ = -sin х

Найти наименьшее значение функции: у = - 3 cos │х – π / 3│

1) Сначала чертим график функции у = cos х.

2) Сдвигаем его влево и получаем у = cos (х - π / 3).

3) Преобразовываем у = cos (х - π / 3) и получаем у = 3 cos (х - π / 3).

4) Чтобы получить у = 3 cos │х - π / 3│, мы отражаем правую часть графика у = 3 cos (х - π / 3) слева от оси у.

5) Теперь переворачиваем график функции у = 3 cos │х - π / 3│ и получаем у = - 3 cos │х - π / 3│.

Таким образом наименьшее значение функции х = - π / 3 - 2πn.

Решить уравнение:

│х + 3│ - │1 - х│ = tg х

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = │х + 3│ - │1 - х│;

2. у = tg х.

2) у = │х + 3│ - │1 - х│

1. │х + 3│ - │1 - х│ = 0

Найдем корни подмодульных выражений: х = -3; х = 1.

2. Отметим их на числовой прямой: х

-( -3 1 +( а) если х Є (-∞;-3] у = -х – 3 – 1 + х = -4 у = -4 б) если х Є (-3;1] у = х + 3 – 1 + х = 2х + 2 у = -2х – 3 в) если х Є (1;+∞) у = х + 3 + 1 - х = 4 у = 4

3. Чтобы начертить функцию у = 2х + 2, мы составим таблицу:

3) Нанесем все чертежи на систему координат. х = arctg 4 + πn.

Решить уравнение:

│tg х│ = - │х – π / 4│ + 1

1) Разделим уравнение на 2 части:

1. у = │tg х│;

2. у = - │х - π / 4│ + 1.

2) у = │tg х│

1. Для начала начертим функцию у = tg х.

2. Затем преобразуем ее в функцию у = │tg х│, отразив нижнюю часть слева от оси у.

3) у = - │х - π / 4│ + 1

1. Чертим функцию у = х.

2. Превращаем ее в у = │х│.

3. Переворачиваем у = │х│ и получаем у = -│х│.

4. Теперь сдвигаем функцию вправо и получаем у = - │х - π / 4│ + 1.

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получилось 2 корня. Это х = π / 4; х = -π / 24.

Решить уравнение:

│х + 2│ + │х│ = 2 sin (х + 2π / 3)

1) Разделим уравнение на 2 части:

1. у = │х + 2│ + │х│;

2. у = 2 sin (х + 2π / 3).

2) у = │х + 2│ + │х│

1. у = │х + 2│ + │х│ = 0

Найдем корни подмодульных выражений: х = -2; х = 0.

2. Отметим их на числовой прямой: х

-( -2 0 +( а) если х Є (-∞;-2] у = -х – 2 - х = -2х - 2 у = -2х - 2 б) если х Є (-2;0] у = х + 2 - х = 2 у = 2 в) если х Є (0;+∞) у = х + 2 + х = 2х + 2 у = 2х + 2

3. Чтобы построить функции а) и в), мы сделаем таблицы:

3) у = 2 sin (х + 2π / 3)

1. Сначала строим график функции у = sin х.

2. Сдвигаем у = sin х влево и получаем у = sin (х + 2π / 3).

3. Преобразовываем у = sin (х + 2π / 3) и получаем график функции у = 2 sin (х + 2π / 3).

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился корень х = -π / 6.

Решить уравнение:

│х + 4│ + │х│ = 4 sin (х + π)

1) Разобьем уравнение на 2 части:

1. у = │х + 4│ + │х│;

2. у = 4 sin (х + π).

2) у = │х + 4│ + │х│

1. │х + 4│ + │х│ = 0

Найдем корни подмодульных выражений: х = -4; у = 0.

2. Отметим их на числовой прямой: х

-( -4 0 +( а) если х Є (-∞;-4] у = -х – 4 - х = -2х - 4 у = -2х - 4 б) если х Є (-4;0] у = х + 4 - х = 4 у = 4 в) если х Є (0;+∞) у = х + 4 + х = 2х + 4 у = 2х + 4

3. Чтобы построить функции а) и в), мы сделаем таблицы:

3) у = 4 sin (х + π)

1. Сначала строим график функции у = sin х.

2. Сдвигаем у = sin х вправо и получаем у = sin (х + π ).

3. Преобразовываем у = sin (х + π) и получаем график функции у = 4 sin (х + π).

4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился корень х = - π / 2.

Я поставила перед собой цель глубже изучить функцию y=│x│ и другие функции, содержащие знак модуля. В результате работы над темой я научилась не просто строить графики этих функций, но и решать уравнения и неравенства графическим способом, также самой составлять такие задачи.

В моей работе предложены приемы решения некоторых заданий. Я выбрала эту тему, потому что с развитием новых технологий функции имеют все большую практическую значимость, используются как способы контроля за качеством и применяются во многих видах деятельности. К тому же мне интересно заниматься построением необычных графиков.

Я считаю, что достигла поставленной цели, и в дальнейшем надеюсь продолжить более углубленное изучение материала.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)