Функция y=│x│. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, графическим способом
«Математика – это, посредством чего люди управляют природой и собой».
А. Н. Колмагоров.
Историческая справка
Одним из нерешенных в восемнадцатом веке вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?
Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых восемнадцатого века по поводу того, что следует понимать под функцией, внес французский математик Жанн Батист Жозеф Фурье (1768 – 1830), занимавшийся в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 г. и 1811 г. мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.
В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции:
« У есть функция переменной Х (на отрезке a Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая «функция Дирихле» φ(х): Φ(х) = 1, для всех рациональных значений; 0, для всех иррациональных значений. Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине девятнадцатого века длительной борьбы мнений, понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом общем определении понятия функции делается на идею соответствия. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 г. советский математик и механик Сергей Львович Соболев (в дальнейшем академик) первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта функцию, и применил созданную теорию к решению задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенных функции внесли ученики и последователи Л. Шварца – И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и другие. Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, как никогда не закончится и эволюция математики в целом. Новые открытия и запросы естествознания и других наук приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий. Математика – не завершенная наука, она развивалась на протяжении тысячелетий, развивается в нашу эпоху, и будет развиваться в дальнейшем. Функция y=kx k – данное не равное нулю число, называют прямой пропорциональной зависимостью. Эта функция определена для всех действительных чисел x, т. е. область определения функции есть множество R всех действительных чисел. Если функция задана формулой y=kx, то говорят еще, что переменная y пропорциональна переменной x с коэффициентом пропорциональности k. Графиком функции является множество точек координатной плоскости xOy с координатами ( x;ky ), где x- любое действительное число. Графиком функции y=kx, где k есть некоторое данное число (положительное, отрицательное или нуль), является прямая, проходящая через начало координат и точку В (1;k). Вместо того чтобы говорить «график функции y=kx», часто говорят «прямая y=kx». Число k называют угловым коэффициентом прямой y=kx. Если угловой коэффициент k прямой положителен (k>0), то она образует острый угол с положительным направлением оси x, а если угловой коэффициент k прямой отрицателен (k<0), то она образует тупой угол с положительным направлением оси x – угол отсчитывается против часовой стрелки. Для построения прямой достаточно знать координаты двух точек, лежащих на ней. Функцию вида y=kx+b, где k и b – данные числа, называют линейной функцией. Линейная функция определена на множестве всех действительных чисел, т. е. область определения функции y=kx+b есть множество всех действительных чисел R. Графиком функции является множество точек координатной плоскости xOy с координатами (x;kx+b), где x – любое действительное число. График линейной функции есть прямая, пересекающая ось ординат в точке D (0;b), параллельная прямой y=kx. Коэффициент k в уравнении y=kx+b называют угловым коэффициентом этой прямой. Число b есть ордината точки пересечения прямой с осью y. Две прямые y=kx+b и y=k1x+b1 , имеющие одинаковые и угловые коэффициенты (k=k1 ) и разные числа b и b1 (b≠b1), параллельны. Если k=0 , то мы получим функцию y=b , явно от x не зависящую. Эта функция выражает следующий закон: каждому значению x соответствует одно и тоже число y=b. Функцию y=b называют постоянной. График ее – прямая, параллельная оси x, пересекающая ось y в точке (0;b). Угловой коэффициент ее равен нулю. 1) Определена для всех значений x. 2) Принимает только неотрицательные значения. 3) При x ≥ 0 возрастает, при x ≤ 0 e, убывает. 4) Чётная функция: │-x│= │x│. Решить уравнение: cos x = │x│+1 Это уравнение мы можем решить графическим способом. 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. y = cos x; 2. y = │x│+1. 2) y = │x│+1 1. Начертим функцию у = х. Для этого составим таблицу: х 0 1 -1 у 0 1 -1 2. Превратим ее в функцию у = │х│. 3. Поднимем функцию у = │х│ вверх и получим функцию у = │х│+1. 3) Нанесем чертежи на систему координат. Таким образом у нас получился единственный корень х = 0. Решить уравнение: │sin х│ = 3х 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у =│sin х│; 2. у = 3х. 2) у = 3х Чтобы начертить эту функцию, мы составим таблицу: х 0 1 2 -1 у 0 3 6 -3 3) у = │sin х│ 1. Для начала начертим функцию у = sin х. 2. Затем преобразуем ее в функцию у = │sin х│. 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился единственный корень х = 0. Решить уравнение: │cos х – 0,5│ = - х + 0,5 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = - х + 0,5; 2. у = │cos х – 0,5│. 2) у = - х + 0,5 Для того, чтобы начертить эту функцию, мы составим таблицу: х 0 0,5 у 0,5 0 3) у = │cos х – 0,5│ 1. Для начала построим функцию у = cos х. 2. Затем опустим график вниз и получим у = cos х – 0,5. 3. Теперь превратим его в график функции у = │cos х – 0,5│, отразив наверх его части, находящиеся ниже оси х. 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился единственный корень х = 0. Решить уравнение: sin │х│ - 2 = │2х│ - 2 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = sin │х│ - 2 2. у = │2х│ - 2 2) у = │2х│ - 2 1. Начертим функцию у = 2х. Для этого составим таблицу: х 0 1 -1 у 0 2 -2 2. Превратим ее в функцию у = │2х│. 3. Теперь опустим график вниз и получим функцию у = │2х│ - 2. 3) у = sin │х│ - 2 1. Начертим функцию у = sin х. 2. Преобразуем ее в функцию у = sin │х│, отразив часть графика, находящегося справа от оси у. 3. Теперь опустим у = sin │х│ вниз и получим функцию у = sin │х│ - 2. 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился корень х = 0. Решить уравнение: │х│ - │х + 3│ = - 3 │cos х│ 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = │х│ - │х + 3│; 2. у = - 3 │cos х│. 2) у = │х│ - │х + 3│ 1. │х│ - │х + 3│ = 0 Найдем корни подмодульных выражений: х = -3; х = 0. 2. Отметим их на числовой прямой: х -( -3 0 +( а) если х Є (-∞;-3] у = -х + х + 3 = 3 у = 3 б) если х Є (-3;0] у = -х – х – 3 = -2х – 3 у = -2х – 3 в) если х Є (0;+∞) у = х – х – 3 = -3 у = -3 3. Чтобы начертить функцию у = -2х – 3, мы составим таблицу: у -1,5 0 3) у = - 3 │cos х│ 1. Сначала построим функцию у = cos х. 2. Затем преобразуем ее в функцию у = │cos х│, отразив нижнюю часть графика над осью х. 3. Перевернем получившийся график. И получим у = -│cos х│. 4. Теперь превратим его в у = - 3 │cos х│. 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получились корни х = -π / 2; х = πn. Решить уравнение: │sin х│ = │2х│ - 3 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = │sin х│; 2. у = │2х│ - 3. 2) у = │sin х│ 1. Сначала начертим график функции у = sin х. 2. Теперь отразим нижнюю часть графика над осью х. Получилась функция у = │sin х│. 3) у = │2х│ - 3 1. Начертим функцию у = 2х. Для этого составим график: х 0 1 -1 у 0 2 -2 2. Преобразуем ее в у = │2х│, отражая правую часть графика с левой стороны. 3. Опустим его вниз и получим функцию у = │2х│ - 3. 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получилось 2 корня. Это х = - 2π / 3; х = 2π / 3. Решить уравнение: │х│ + │х + 1,5│ = │х - 6│ 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = │х│ + │х + 1,5│; 2. у = │х - 6│. 2) у = │х│ + │х + 1,5│ 1. │х│ + │х + 1,5│ = 0 Найдем корни подмодульных выражений: х = 0; у = -1,5. 2. Отметим их на числовой прямой: х -( -1,5 0 +( а) если х Є (-∞;-1,5] у = -х – х + 3 = -2х + 3 у = -2х + 3 б) если х Є (-1,5;0] у = х – х + 3 = 3 у = 3 в) если х Є (0;+∞) у = х + х – 3 = 2х – 3 у = 2х – 3 х 0 1,5 х 0 1,5 3. Чтобы построить функции а) и в), мы сделаем таблицы: 3) у = │х - 6│ 1. Чертим функцию у = х. 2. Преобразуем ее в у = │х│. 3. Сдвигаем ее вправо и получаем функцию у = │х - 6│. 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получилось 2 корня. Это х = -3; х = 3. Решить уравнение: │х - 1│ + │х│ = cos х 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = │х - 1│ + │х│; 2. у = cos х. 2) у = │х - 1│ + │х│ 1. │х - 1│ + │х│ = 0 Найдем корни подмодульных выражений: х = 1; у = 0. 2. Отметим их на числовой прямой: х -( 0 1 +( а) если х Є (-∞;0] у = -х + 1 - х = -2х + 1 у = -2х + 1 б) если х Є (0;1] у = -х + 1 + х = 1 у = 1 в) если х Є (1;+∞) у = х - 1 + х = 2х - 1 у = 2х - 1 3. Чтобы построить функции а) и в), мы сделаем таблицы: х 0 0,5 х 0 0,5 3) Нанесем графики функций на систему координат. Таким образом находим корень уравнения х = 0. Решить уравнение: 2 - │1 - х│ = │2х│ + 1 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = 2 - │1 - х│; 2. у = │2х│ + 1. 2) у = 2 - │1 - х│ а) если х Є (-∞;1) у = 2 – 1 + х = 1 + х у = 1 + х б) если х Є (1;+∞) у = 2 - (-1 + х) = 2 + 1 – х = 3 – х у = 3 – х Чтобы начертить функции, мы составим таблицы: 3) у = │2х│ + 1 1. Начертим функцию у = 2х. Для этого составим таблицу: х 0 1 -1 у 0 2 -2 2. Превратим ее в функцию у = │2х│. 3. Теперь поднимем график вверх и получим функцию у = │2х│ + 1. 3) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился корень х = 0. Построить график функции: у = tg x ∙ │cos x│ sin x / cos x ∙ │cos x│ = sin х или - sin х 1. если cos х > 0, то sin x / cos x ∙ │cos x│ = sin х 2. если cos х < 0, то sin x / cos x ∙ │cos x│ = -sin х Найти наименьшее значение функции: у = - 3 cos │х – π / 3│ 1) Сначала чертим график функции у = cos х. 2) Сдвигаем его влево и получаем у = cos (х - π / 3). 3) Преобразовываем у = cos (х - π / 3) и получаем у = 3 cos (х - π / 3). 4) Чтобы получить у = 3 cos │х - π / 3│, мы отражаем правую часть графика у = 3 cos (х - π / 3) слева от оси у. 5) Теперь переворачиваем график функции у = 3 cos │х - π / 3│ и получаем у = - 3 cos │х - π / 3│. Таким образом наименьшее значение функции х = - π / 3 - 2πn. Решить уравнение: │х + 3│ - │1 - х│ = tg х 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = │х + 3│ - │1 - х│; 2. у = tg х. 2) у = │х + 3│ - │1 - х│ 1. │х + 3│ - │1 - х│ = 0 Найдем корни подмодульных выражений: х = -3; х = 1. 2. Отметим их на числовой прямой: х -( -3 1 +( а) если х Є (-∞;-3] у = -х – 3 – 1 + х = -4 у = -4 б) если х Є (-3;1] у = х + 3 – 1 + х = 2х + 2 у = -2х – 3 в) если х Є (1;+∞) у = х + 3 + 1 - х = 4 у = 4 3. Чтобы начертить функцию у = 2х + 2, мы составим таблицу: 3) Нанесем все чертежи на систему координат. х = arctg 4 + πn. Решить уравнение: │tg х│ = - │х – π / 4│ + 1 1) Разделим уравнение на 2 части: 1. у = │tg х│; 2. у = - │х - π / 4│ + 1. 2) у = │tg х│ 1. Для начала начертим функцию у = tg х. 2. Затем преобразуем ее в функцию у = │tg х│, отразив нижнюю часть слева от оси у. 3) у = - │х - π / 4│ + 1 1. Чертим функцию у = х. 2. Превращаем ее в у = │х│. 3. Переворачиваем у = │х│ и получаем у = -│х│. 4. Теперь сдвигаем функцию вправо и получаем у = - │х - π / 4│ + 1. 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получилось 2 корня. Это х = π / 4; х = -π / 24. Решить уравнение: │х + 2│ + │х│ = 2 sin (х + 2π / 3) 1) Разделим уравнение на 2 части: 1. у = │х + 2│ + │х│; 2. у = 2 sin (х + 2π / 3). 2) у = │х + 2│ + │х│ 1. у = │х + 2│ + │х│ = 0 Найдем корни подмодульных выражений: х = -2; х = 0. 2. Отметим их на числовой прямой: х -( -2 0 +( а) если х Є (-∞;-2] у = -х – 2 - х = -2х - 2 у = -2х - 2 б) если х Є (-2;0] у = х + 2 - х = 2 у = 2 в) если х Є (0;+∞) у = х + 2 + х = 2х + 2 у = 2х + 2 3. Чтобы построить функции а) и в), мы сделаем таблицы: 3) у = 2 sin (х + 2π / 3) 1. Сначала строим график функции у = sin х. 2. Сдвигаем у = sin х влево и получаем у = sin (х + 2π / 3). 3. Преобразовываем у = sin (х + 2π / 3) и получаем график функции у = 2 sin (х + 2π / 3). 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился корень х = -π / 6. Решить уравнение: │х + 4│ + │х│ = 4 sin (х + π) 1) Разобьем уравнение на 2 части: 1. у = │х + 4│ + │х│; 2. у = 4 sin (х + π). 2) у = │х + 4│ + │х│ 1. │х + 4│ + │х│ = 0 Найдем корни подмодульных выражений: х = -4; у = 0. 2. Отметим их на числовой прямой: х -( -4 0 +( а) если х Є (-∞;-4] у = -х – 4 - х = -2х - 4 у = -2х - 4 б) если х Є (-4;0] у = х + 4 - х = 4 у = 4 в) если х Є (0;+∞) у = х + 4 + х = 2х + 4 у = 2х + 4 3. Чтобы построить функции а) и в), мы сделаем таблицы: 3) у = 4 sin (х + π) 1. Сначала строим график функции у = sin х. 2. Сдвигаем у = sin х вправо и получаем у = sin (х + π ). 3. Преобразовываем у = sin (х + π) и получаем график функции у = 4 sin (х + π). 4) Нанесем чертежи на систему координат. У нас получился корень х = - π / 2. Я поставила перед собой цель глубже изучить функцию y=│x│ и другие функции, содержащие знак модуля. В результате работы над темой я научилась не просто строить графики этих функций, но и решать уравнения и неравенства графическим способом, также самой составлять такие задачи. В моей работе предложены приемы решения некоторых заданий. Я выбрала эту тему, потому что с развитием новых технологий функции имеют все большую практическую значимость, используются как способы контроля за качеством и применяются во многих видах деятельности. К тому же мне интересно заниматься построением необычных графиков. Я считаю, что достигла поставленной цели, и в дальнейшем надеюсь продолжить более углубленное изучение материала.Функция y=kx
Линейная функция
Основные свойства функции y=│x│
Комментарии