Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Геометрические задачи древних в современном мире

Практическое решение задач заинтересовало меня в работе над исследовательским проектом «Экономия средств, выделенных на ремонт школы и коммунальные услуги». Тогда пришлось рассмотреть различные способы применения геометрии на практике: определение ширины, высоты, длины, площади и объема школьных помещений и ознакомиться с методом древних геометров по определению высоты (в частности для нахождения высоты актового зала и здания школы).

Продолжив работу по применению геометрии на практике в повседневной жизни, хотелось более подробно изучить решение геометрических задач древними, а также выяснить, где и как можно применить эти решения сейчас.

История возникновения геометрии как науки

Геометрия очень древняя наука, ей несколько тысяч лет. Ее возникновение вызвано потребностью человека измерять землю. Геометрия сочетает в себе наглядность и точность в рассуждениях. Изучая ее, мы видим красоту геометрического рисунка, учимся логически рассуждать, проявлять сообразительность, применять теоретические знания на практике.

На заре своего развития в Египте и Вавилоне, Китае и Греции были накоплены обширные знания, связанные с решением задачи измерения земельных участков. Греки назвали науку об измерении земель геометрией, а египтян, занимающихся землемерием, - гарпедонаптами или «веревковязателями», так как те в своих построениях пользовались веревками и узлами. Гарпедонапты были самыми искусными в определении размеров участков земли, расстояний до недоступных объектов, нахождении площади, объемов в древности.

Как измеряли в древности

Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла пользовались следующим приемом. Бечевку узлами делили на 12 равных частей и концы связывали. Затем бечевку растягивали на земле так, что получался треугольник со сторонами 3, 4 и 5 делений. Угол треугольника, противолежащий стороне в 5 делений, был прямой. Если ремесленники пользовались верёвкой всегда одной и той же строго определённой длины, то площадь такого прямоугольного треугольника принималась за эталон. В настоящее время такой треугольник называется «египетский» в честь страны, в которой был «открыт».

В древние времена египтяне, приступая к постройке пирамиды, дворца или обыкновенного дома, сначала отмечали направление сторон горизонта. Это очень важно, так как освещённость в строении зависит от положения его окон и дверей по отношению к Солнцу. Действовали они следующим образом. Втыкали в землю отвесный шест. В полдень тень от шеста становилась короче всего и показывала направление на север. Египетские строители намечали линию север – юг. Для проведения линии восток – запад брали веревку с двумя колышками и проводили на земле дуги так, как это показано на рисунке. Через точки пересечения дуг натягивали веревку. Это и есть направление с востока на запад.

Египтяне также умели находить длину окружности. В глубокой древности считалось, что для этого достаточно взять самую широкую часть серединного сечения бочки и умножить ее на 3. Это было не строго точно, но вполне достаточно для обиходных измерений.

Однажды гарпедонапты предложили греческому ученому Фалесу найти высоту громадной пирамиды. Он воткнул длинную палку вертикально в землю и сказал: «Когда тень от этой палки будет той же длины, что и сама палка, тень от пирамиды будет иметь ту же длину, что и высота пирамиды».

Фалес умел находить расстояние до недоступных точек, применяя признаки равенства и подобия треугольников. Он доказал, что диаметр делит круг пополам, то есть что при перегибании круга по диаметру одна половина в точности ляжет на другую. Он также знал, что образованные при пересечении двух прямых вертикальные углы равны.

Жителями стран Древнего Мира широко использовались знания по геометрии. Об этом свидетельствуют папирусы, найденные в тайниках этих стран. Судя по сохранившимся задачам, математикам Вавилона было уже известно свойство средней линии трапеции. В книгах древнеиндийской геометрии встречаются описания вычисления площадей, построения квадрата по данной его стороне, деление отрезка пополам, есть примеры практического применения подобия треугольников и теоремы Пифагора, которая имела следующую формулировку: «Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его большей и меньшей сторон» или «Квадрат на диагонали квадрата в два раза больше самого квадрата». Китайским ученым было известно правило для определении площади круга: «Умножь диаметр сам на себя, раздели на 4, возьми три раза».

Уже в наше время задачи по геометрии по-прежнему находят широкое применение в строительстве, искусстве и архитектуре, а также во многих других отраслях промышленности. Теперь ученые, используя накопившиеся материалы в области геометрии, совершенствуют их, ищут что-то новое, создают свои гипотезы. А без практики не может существовать и теория.

Исследовательская часть

Ход работы

В ходе работы изучила много литературы по истории развития науки геометрия. Узнала, что великие геометры – Фалес, Пифагор, Архимед, Платон, Евклид внесли огромный вклад в ее развитие. Выяснила, что уже в древнем мире люди занимались решением практических задач. Исходя из практики, возникла и теория.

Решение практических задач древними геометрами позволяет:

• находить на местности расстояние между двумя точками, которое невозможно пройти по прямой;

• находить на местности расстояние между двумя точками, одна из которых недоступна;

• определять высоту высоких предметов;

• строить прямые углы на местности;

• находить длину большой окружности;

• определять без компаса стороны горизонта;

• строить окружность при помощи веревки и т. д.

Для ответа на вопрос, какие из них применяются сейчас и нужна ли геометрия в современном мире, был проведен опрос учащихся 7-8 классов и их родителей. Участие приняли: 27 учащихся и 49 родителей. Результат опроса показал, что геометрию на практике применяют:

Применение родители учащиеся

Основной вид деятельности (работа, учеба) 27 чел. 27 чел.

В повседневной жизни 38 чел. 13 чел.

На вопрос где вы используете геометрию в жизни, родители ответили:

Использование геометрии Чел. %

строительство 19 чел. 38,8%

Ремонт квартиры, дома 43 чел. 87,8%

Приусадебный участок 38 чел. 77,6%

Из предложенных задач наиболее часто применяемыми оказались:

• определять высоту высоких предметов – 13 чел. - 26,5%;

• определять без компаса стороны горизонта – 11 чел. - 22,4%;

• строить прямые углы на местности – 8 чел. - 16,3%.

На вопрос о важности использования на уроках практических задач были получены следующие ответы:

Мнение родителей Мнение учащихся

Да 100% 20 чел.

Нет - 2 чел.

Не знаю - 5 чел.

Данный вопрос в настоящее время уже нашел свое применение. В контрольно-измерительных материалах ЕГЭ – 2009 выпускникам были предложены в первой части задачи практического содержания:

По результатам данного опроса стало понятно, что геометрия встречается и широко применяется в повседневной жизни, а это настолько актуально, что уже нашло применение не только в ЕГЭ. В предыдущей исследовательской работе было составлено более 15 задач практического содержания для учащихся 5 – 6 классов, которые успешно решаются. Поэтому следующим этапом в данной работе стало изучение и применение способов решения задач на практике.

Изучая литературу, проводя исследование и, решая практические задания, узнала, что существует множество способов и методов нахождения высоты высоких предметов:

✓ способ Фалеса;

✓ способ Жюля Верна;

✓ метод подобных треугольников с использованием тени;

✓ способ измерения при помощи высотомера.

Использование «египетского треугольника» из веревки позволяет решить задачи:

✓ построение прямых углов на местности;

✓ определение сторон горизонта.

Чаще всего прямые углы нужны при строительстве дома, для нанесения разметки под фундамент или сруб. Уже работая над проектом, я узнала от своего дедушки способ проверки сруба на вертикальность стен и прямоугольность углов. Задача строителя получить прямые углы. Разметка будущего дома выполняется с помощью малорастягивающегося шнура, из которого создают веревочный «египетский» треугольник, и колышков. После того, как колышки установят по углам будущего дома, проверяются рулеткой или веревкой все искомые расстояния и равенство диагоналей разметки с точностью ~3 см. При укладке бревен следует вести постоянную проверку отвесом вертикальности стен.

Оказалось, недостаточно измерять длину бревен, необходимо проверить длину диагоналей сруба, т. к. у прямоугольника все углы прямые, а диагонали равны. Дедушка также рассказал, что при строительстве нашего дома такой способ не применили, поэтому углы в нашем доме не прямые, а комнаты не прямоугольной формы (хотя это мало заметно).

Задачи, связанные с окружностью также часто встречаются в жизни. Например, построить большую окружность и найти её длину. Такую задачу решить совсем не сложно, используя веревку с колышками на концах. Один колышек втыкают в землю, а другим колышком, натягивая веревку, прочерчивают линию – окружность. А для определения длины окружности достаточно измерить рулеткой самую широкую линию пересечения окружности и умножить ее на 3. Результат получается приближенным, но позволяет иметь представление об искомой длине окружности.

Задачи нахождения расстояний до недоступных точек в древности решал Фалес. В наше время решение таких задач также находит применение. Используя признаки подобия треугольников, можно находить на местности расстояние между двумя точками, которое невозможно пройти по прямой линии и расстояние между двумя точками, одна из которых недоступна. Обе задачи встречаются в учебнике А. В. Погорелова. Я изучила эти способы решения и составила практические работы по геометрии.

Древние греки занимались геометрией, не только измеряя земельные участки и расстояния до кораблей в море. Они любили геометрические игры. Одна из них игра «танграм». Эта игра представляет собой набор из семи геометрических фигур частей квадрата. Квадрат разрезается, строго следуя определенным правилам на семь частей. При этом получается 5 прямоугольных треугольников разных размеров: 2 больших, 1 средний, 2 маленьких, 1 квадрат, 1 параллелограмм.

Похожей игрой развлекались и древние китайцы. Только они называли свою игру «чи-чао-тю» (что означает «хитроумный узор из семи частей»).

Узнав о такой игре, учащиеся нашего класса стали собирать фигурки «танграма», выбирая с каждым разом самые сложные.

Многие люди не знают того, что удалось узнать мне в процессе работы по применению практических задач древности в современном мире. Поэтому у меня возникла идея создания брошюры для любознательных людей «Практические советы от древних геометров» (приложение 12). В ней собраны, подробно описаны и красочно оформлены задачи древних для применения их в нашей повседневной жизни.

Таким образом, работа исследует практические задачи и применение их решения в современном мире, а также позволяет подтвердить теоретические навыки древних геометров. Знания по геометрии нужны при строительстве зданий и дорог, ремонте квартиры, в астрономии, в технике, в военном деле, на огороде. Знания по геометрии успешно применяют в работе люди таких профессий как продавец, инженер, плотник, швея, столяр, лесник агроном, дизайнер, врач, землеустроитель. Знания по геометрии пригодятся и мне в будущей профессии архитектора.

В ходе написания статьи выполнено следующее:

➢ изучена и проанализирована литература по истории геометрии;

➢ проведено анкетирование учащихся 7-8 классов и их родителей по поводу применения, использования и важности решения практических задач в повседневной жизни;

➢ исследованы различные способы и методы решения практических задач;

➢ составлены памятки для выполнения практических работ на местности;

➢ выпущена брошюра для любознательных людей «Практические советы от древних геометров».

В исследовательской работе рассмотрены наиболее актуальные задачи, связанные с геометрическими построениями на местности – измерением высоты предмета, построением прямого угла, окружности, нахождением расстояний до недоступных точек. Приведено большое количество задач и даны их решения. Эти задачи имеют значительный практический интерес, закрепляют полученные знания по геометрии, а также используются для практических работ.

Работа подтвердила тот факт, что обучаться геометрии возможно не только у классной доски, но и замечать знакомые геометрические отношения в окружающем нас мире вещей и явлений, пользоваться приобретенными геометрическими знаниями на практике, в затруднительных случаях жизни, в походе.

При проведении такой интересной и познавательной работы я получила огромное удовольствие, мне удалось заинтересовать своих одноклассников геометрической игрой «танграм». Многих из них увлекло занятие геометрией в ходе выполнения практических работ. Предложенные памятки и задачи с практическим содержанием позволят оптимизировать учебный процесс, разнообразить уроки, активизировать работу учащихся по изучению геометрии.

В дальнейшем я планирую продолжить работу по решению практических задач, по применению их в повседневной жизни. Хочу исследовать все школьные предметы и доказать, что каждый из них связан с геометрией. Считаю, что знания и умения, полученные в процессе создания работы, обязательно пригодятся в жизни.

План исследований

В современном мире люди постоянно сталкиваются с решением геометрических задач. Мало кто из них догадывается, что решением их занимались еще древние геометры.

Гипотеза: Изучение способов решения задач древними геометрами, позволит узнать, какие из этих навыков актуальны в настоящее время и, как их можно самостоятельно использовать в повседневной жизни.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)