Геометрическое построение эскизов куполов, виды куполов

Еще не выбрана окончательно будущая профессия, но многих учащихся интересует практическая польза приложения геометрии к разным областям практической деятельности человека, к науке и к искусству, в частности к архитектуре, к строительству. Как связана геометрия, с искусством, с архитектурой? Почему некоторые строения привлекают нас какой-то особой красотой, радуют, восхищают, завораживают, как говорят, «невозможно оторвать глаз». Например, храмы, церкви, их золотые купола. Проблема красоты давно волнует, привлекает к себе внимание ученых, выдающихся мастеров, различных специалистов искусства. Красота многогранна и многолика. «Математика – это уникальное средство познания красоты», - написано в книге Азевича А. И. « Двадцать уроков гармонии», с которой я познакомился при написании работы «Геометрия клумб и цветников».

В наше время трудно поверить, что искусство может свободно уживаться с точной наукой. Однако мастера былых эпох постоянно стремились проверить математикой гармонию, ни один шаг в их работе не обходился без опоры на геометрию. непостижимый по интеллектуальной мощи прорыв в осмыслении красоты сделал древнегреческий математик и философ Пифагор (ок. 570 – ок. 500 гг. до н. э. ). «Все прекрасное благодаря числу», - гласит знаменитый пифагорейский тезис. Его теория чисел - первое философское обобщение, это загадка, которая до сих пор не разгадана. В книге А. В. Волошинова «Математика и искусство» раскрывается сущность прекрасного, даются различные взгляды на понятие красоты, на проблему взаимодействия математики и искусства. Французский математик Анри Пуанкаре отмечал, что «математиков содержание не волнует, они интересуются формой». Платон говорил о том, как трудно объяснить прекрасное. Попытки отыскать математические закономерности в прекрасном, законы красоты, предпринимались Пифагором, Поликлетом, Леонардо да Винчи, Дюрером, Кеплером. «Окружающий нас мир – это мир геометрии. Все вокруг – геометрия. Никогда мы не видим так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, гипар, выполненных с такой тщательностью и так уверенно». Эти восторженные слова о геометрии принадлежат Ле Корбюзье. Для него геометрия – это лучшее средство установления отношения порядка в искусстве архитектуры. Исследования по этой теме актуальны и сегодня. В сентябре 1997г. в очаровательном старинном русском городе Суздале, «когда золото осени смешивается с золотом куполов», впервые в России была проведена Международная междисциплинарная конференция «Математика и искусство», было отмечено, что ХХ1 век будет веком союза математики и искусства. Математика в архитектуре – это очень объемная большая тема. За долгую историю мировой культуры накоплена необъятная литература об искусстве и огромная – о математике: «Что такое искусство?» Льва Толстого и «Что такое математика?» Р. Куранта и Г. Роббинса, А. Волошинов «Математика и искусство». В настоящее время проблема сохранения и восстановления культовых памятников, храмов, церквей очень важна. Однако о построениях эскизов куполов литературы не много.

Купола сооружений исторически изменялись, для их строительства были необходимы знания, в том числе и геометрии, и они могут служить объектом исследования с точки зрения геометрии. Из окон школы видна наша церковь, а точнее – её купола. Купола русских храмов необычны по своей форме. Интересно, как построить эскиз такого купола, одинаковые ли все купола различных храмов? Почему купола имеют такую форму? В литературе есть несколько объяснений, форма купола напоминает свечу, полусферу, шлем, «диковинную» ягоду. Предмет исследования – геометрическая форма, геометрические построения эскизов куполов.

68% из опрошенных жителей поселка, учащихся назвали самым красивым сооружением п. Салым - церковь, что именно привлекает внимание – 60% ответили - купола.

Геометрия («землемерие») возникла на основе практической деятельности людей, а в дальнейшем сформировалась как отдельная наука. Геометрия - одна из самых древних наук, занимающаяся изучением геометрических фигур. Геометрия – раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы.

Геометрические сведения из планиметрии.

Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром, отрезок, соединяющий центр с какой – либо точкой окружности, - радиусом окружности. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

В геометрии специально выделяют те задачи на построение, которые решаются с помощью только циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно построить равные отрезки, провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Основные задачи на построение: построение угла, равного данному углу; прямой перпендикулярной к данной прямой, деление отрезка пополам и другие.

Задача№1. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой.

Решение:

Задача на построение прямой, перпендикулярной данной прямой а , и проходящей через точку М, лежащую на прямой а, рассмотрена в учебнике .

Пусть дана прямая, а и точка М, не принадлежащая этой прямой. Построим окружность с центром в точке М произвольного радиуса, пересекающую прямую а в двух точках А и В. Построим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ. Они пересекаются в двух точках Р и Q. Проведем прямую через точку М и одну из этих точек, например прямую МР.

Докажем, что эта прямая искомая, т. е. что она перпендикулярна к данной прямой а. Из равенства треугольников АМР и ВМР (по трем сторонам) следует, что угол АМР равен углу ВМР. Отрезок МО – биссектриса треугольника АМВ. В равнобедренном треугольнике АМВ биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Значит, отрезок МО – высота, и прямая МР перпендикулярна прямой АВ. На прямой МР лежат точки, равноудаленные от концов отрезка АВ. Прямая МР называется серединным перпендикуляром отрезка АВ.

Задача №2. Построить середину данного отрезка.

Решение: Пусть АВ – данный отрезок. Построим две окружности с центрами А и В радиуса АВ. Они пересекаются в точках Р и Q. Проведем прямую РО. Точка О пересечения этой прямой с отрезком АВ и есть искомая середина отрезка АВ. Так как треугольники APQ и BPQ равны по трем сторонам , поэтому угол APQ равен углу BPQ. Следовательно отрезок РО – биссектриса равнобедренного треугольника АРВ, а значит, и медиана, т. е. точка О - середина отрезка АВ.

Задача №3. Построить прямую, параллельную данной прямой.

Решение:

На странице учебника есть утверждение, что две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются. Так как эти прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, они параллельны. В п. 28 «Аксиома параллельных прямых» дается способ построения параллельных прямых: Пусть дана прямая а и точка М, не лежащая на ней. Проведем через точку М две прямые, сначала проведем прямую с перпендикулярно к прямой а, а затем прямую в перпендикулярно к прямой с. Так как прямые а и в перпендикулярны к прямой с, то они параллельны. Через точку М проходит прямая в, параллельная прямой а. Аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой проходит только одна прямая, параллельная данной (пятый постулат Евклида).

Движение плоскости - это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние.

Теорема. При движении отрезок отображается на отрезок.

Доказательство:

Пусть при заданном движении плоскости концы M и N отрезка MN отображаются в точке M1 и N1. Докажем, что весь отрезок MN отображается на отрезок M1N1. Пусть Р – произвольная точка отрезка

MN, Р1 – точка, в которую отображается точка Р. Тогда

MР+ РN = MN . Так как при движении расстояния сохраняются, то MN = M1N1, МР = М1Р1, NР = N1Р1.

Из равенства получаем, что M1Р1+ Р1N1 = M1N1, и значит, точка Р1 лежит на отрезке M1N1. Если предположить, что это не так, то будет выполняться неравенство треугольника

M1Р1+ Р1N1 > M1N1. Итак, точки отрезка MN отображаются в точки отрезка M1N1.

Докажем, что в каждую точку Р1 отрезка M1N1 отображается какая – нибудь точка Р отрезка MN. Из соотношений и равенства

M1Р1+ Р1N1 = M1N1 следует, что MР+ РN = MN, и значит, точка Р лежит на отрезке MN. Теорема доказана.

Следствие: При движении треугольник отображается на равный ему треугольник, угол на равный ему угол; параллельные прямые отображаются на параллельные прямые; прямая, перпендикулярная оси симметрии, отображается на себя, окружность отображается на равную окружность.

Начальные сведения из стереометрии, геометрические тела.

В учебнике «Геометрия », даны начальные сведения из стереометрии, которые были изучены самостоятельно.

Геометрическое тело – это часть пространства, отделенная от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела.

Так, например граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов – оснований цилиндра и боковой поверхности.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тела, называется секущей плоскостью этого тела. Определения основных геометрических тел, которые встречаются в работе, даны в словаре понятий. Материал изучен на уровне узнавания, более углублено, изучена тема «Тела и поверхности вращения».

Телом вращения в простейшем случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами на этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар являются примерами тел вращения. Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью вращения, дает в сечении окружность.

Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается от вращения какой – нибудь линии (МN), называемой образующей, вокруг неподвижной прямой (АВ), называемой осью, при этом предполагается, что образующая (МN) при своем вращении неизменно связана с осью (АВ).

Если преобразование симметрии относительно плоскости α переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости α, а плоскость α называется плоскостью симметрии этой фигуры.

Понятие «золотого сечения».

Что такое "золотое сечение"? Золотое сечение возникает как результат решения следующей геометрической задачи: "На отрезке АВ требуется найти такую точку С, чтобы АВ:СВ=СВ:АС".

АВ : СВ = СВ : АС = 1. 618 Итак, "золотое сечение" – это такое деление целого на две неравные части, при котором отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей к меньшей. А если найти, наоборот, отношение меньшей части к большей, то оно равно 0,618.

В геометрии "золотым сечением" называется также деление отрезка в среднем и крайнем отношениях.

Обозначим это отношение через Х, то есть

АВ : СВ = СВ : АС = Х.

Так как АВ = АС + СВ, то (АС + СВ) : СВ = АС : СВ + СВ : СВ = 1 : Х + 1 = Х, откуда вытекает следующее уравнение для нахождения искомого отношения:

Х2 = Х + 1 .

Это уравнение имеет два корня: ф1 = (1 +)/2 и ф2 = (1 – )/2

Положительный корень этого уравнения ф = (1 + ) : 2 и называется "золотой пропорцией", а деление отрезка АВ в отношении – "золотым сечением".

Число ф можно приближенно вычислить с помощью чисел Фибоначчи: 1,1,2,3,5, 8,13,21, Первое и второе числа этой последовательности равны 1, а каждое следующее число получается путем сложения двух предыдущих:

1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13 и т. д. Отношение двух последовательных чисел Фибоначчи дает хорошее приближение к величине «золотого сечения»: 5/3 = 1,666. , 8/5=1,6 и т. д. , что используется в работе при построении эскизов куполов.

Геометрические фигуры в различных видах куполов

Полусферические (полуциркульные).

В V1 в. варвары – готы, завоевав земли Римской империи, были восхищены архитектурой поверженной державы. Они попытались воспроизвести постройки римлян с высоким куполом, однако секрет конструкции купола был утрачен. Строители памятника – мавзолея королю Теодориху нашли поистине «варварское» решение - они более не пытались построить купол, а просто вытесали его из колоссальной цельной глыбы: толщина – один метр, окружность – тридцать три метра, а вес – около трехсот тонн

Изучив литературу по теме, выяснено, что форма куполов изменялась от полусферической до «луковичной» и восьмигранной формы. Не случайно первые купола были полусферические, в древности идея вечности передавалась формой круга, сферы. Полусферическими насыпями покрыты многие этрусские гробницы, в том числе знаменитая Гробница Флабелли в Популонии, Италия (около пяти метров в диаметре). Встречались насыпи в виде конуса. «Возвышенное чудо мира!». Так восторженно писал об архитектурном облике собора св. Петра в Риме Вильгельм Генрих Ваккенродер Это одно из лучших мировых купольных сооружений. Строительство каменного купола собора диаметром 42 м представляло собой сложнейшую техническую задачу. За всю историю человечества построено только 4 сооружения, имеющие каменные купола диаметром более 40 м! Самым большим каменным сводом, видимо, навсегда останется купол Пантеона в Риме (123),диаметр 43 м. Пантеон – вершина научных и технических достижений древнеримских строителей, шедевр архитектурного искусства. В интерьере Пантеона достигнута гармония между высотой и диаметром сооружения, которая имеет простое математическое выражение: высота стен Пантеона равна радиусу полусферы его купола. Римские арки, своды и купола были неизменно полуциркульными. Здесь, видимо, сказывалось влияние пифагорейской философии, считавшей круг и сферу идеальными фигурами, а также, безусловно, простота построения (полуциркульный купол строится одним движением циркуля). С появлением арочно-сводчатой конструкции в архитектуру прямых линий и плоскостей пришли окружности, сферы и круговые цилиндры, что сделало геометрический язык архитектуры значительно богаче..

Однако полусферический купол давал сильный боковой распор, усилия приходилось гасить толщиной стен (толщина стен Пантеона достигала 7 метров!), А это влекло огромный расход строительных материалов.

В Энциклопедии для детей «Искусство» есть сведения о самом выдающемся произведении византийского зодчества - храм Святой Софии в Константинополе. Главный собор столицы империи строили мастера Анфимий из Тралл и Исидор из Милета. Основная сложность, которую им пришлось преодолеть при строительстве храма Святой Софии, заключалась в грандиозных размерах постройки, заказанной императором Юстинианом. Возвести сооружение почти стометровой длины, да еще перекрыть его куполом было почти неразрешимой задачей, ведь чем больше тяжелый кирпичный купол, тем больше сила его распора, стремящаяся как бы раздвинуть, развалить несущие купол стены. В отличие от римских зодчих византийцы не имели под рукой сырья для производства бетона – вулканического песка, который позволял создавать монолитные купола, практически не дающих распора. Гигантская полусфера главного купола Софии – шедевр архитектурной мысли Исидора и Анфимия. Она поддерживается пространственным «скелетом» хитросплетённых многочисленных арок и сводов, несущим основную нагрузку. К центральному куполу примыкают с двух сторон два больших полукупола, а к ним в свою очередь – меньшие полукупола. Сила распора растекается, дробиться до тех пор, пока её не принимают на себя специальные колонные пилоны, завершающие опорный «скелет» постройки. «Вошедшим в храм казалось, что его огромный купол не имеет реальной опоры, а подвешен на золотой цепи, спущенной с неба» Итак, выше дан ответ на вопрос, почему куполов бывает несколько, и они разные по размерам и положению.

Русское искусство, начиная с Х в. и вплоть до конца ХV11 столетия неразрывно связано с Церковью и христианской верой. Первым городом на Руси, принявшим крещение, стал Киев. Богослужение в великом православном храме Византии – храме Святой Софии города Константинополя повлияло на послов князя Киевского Владимира. « Не знаем, на небе ли были мы или на земле, ибо нет на земле такого вида и такой красоты» . Именно это переживание красоты как святости было положено в основу нового искусства на русской земле. Византийскими мастерами было возведено много храмов в традициях византийского зодчества. Самый древний из дошедших до наших дней в своем былом облике храмов Киевской Руси находится в Чернигове. Это Спасо-Преображенский собор. В своей основе это был пятиглавый храм типа вписанного креста с развитой алтарной частью (Х1в. ).

В Энциклопедии для детей «Искусство» нет подробного описания его куполов, но по рисунку храма можно видеть, что купала' имели форму полусферы и конуса. И только позже научились сооружения завершать куполами другой формы.

Шлемообразные купола.

Византийская империя подарила Руси умение строить храмы. Но молодая христианская Русь отнюдь не чувствовала себя робкой ученицей. Русское зодчество, созданное русскими мастерами, привносило в строительную практику собственные находки, оригинальные идеи и стало новым воплощением христианского искусства. Проанализировав рисунки храмов, можно заметить, что меняется и форма купола. Уже в Х11 в. купола напоминают воинский шлем. Спасо-Преображенский собор в Переславле – Залесском (1152 -1157гг. ) поражает простотой и суровостью облика, его могучий шлем главы напоминает заказчика храма – неутомимого воителя Юрия Долгорукова.

Луковичная форма купола.

Позже церкви уже не напоминали крепости, а скорее походили на дворец. Символом древнерусской архитектуры считают знаменитую церковь Покрова на Нерли (1165 г. ). Церковь невелика и удивительно гармонична. В её внешнем облике много полукругов: полукруглые очертания закомар, круглые завершения изящно вытянутых окон, порталов, арочек. И, наконец, церковь венчает полукружье главы, которая раньше была шлемовидной, а сейчас напоминает луковицу. Здесь впервые встречается луковичная форма купола. В начале ХV в. была построена церковь Петра и Павла в Кожевниках, отличающаяся удивительной завершенностью и зрелостью архитектурных геометрических форм. Если обратить внимание на купол храма, то он выполнен тоже в виде луковицы.

Православный храм, символизирующий землю, с куполом- символом неба, осмысляется как модель мироздания, которое, согласно религиозным воззрениям, творения Боже. К небу, Богу верующие устремляет свои мысли. Поэтому «луковичная» форма купола выбрана не случайно. Она напоминает заостряющееся кверху пламя, горящую свечу, которую зажигают во время обращенной к Богу молитвы. Такая форма купола символизирует духовный подъём и стремление к совершенству. В учебном пособии А. В. Бородина «Основы православной культуры» написано, что главки храмов имеют форму свечи или шлема. Это тоже не случайно, такая форма как бы соединяет значения: горение православных сердец и воинская защита. Конечно, люди нерелигиозные могут не согласиться с описанной трактовкой формы куполов.

Шатровые церкви.

Новая страница в истории средневековой русской архитектуры - храм Вознесения в селе Коломенское (1532 г. ) На крутом живописном берегу Москвы – реки вознёсся огромный, устремленный ввысь белокаменный столп. Его мощное основание вырастает из хитросплетения словно парящих над землей галерей. Многогранное стрельчатое основание храма завершается тройными заостренными кокошниками, напоминающими языки замершего пламени. А над ними на стройном восьмигранном основании возвышается шатер, венчающий всё здание.

Шатром в архитектуре называется завершение башен, храмов в виде четырехгранной или восьмигранной пирамиды. . Грани шатра перевиты узкими каменными гирляндами, похожими на нитки драгоценного жемчуга.

Символика нового храма была очевидна. Весь его облик, величественный и торжественный, говорил о двух событиях: небесном (которое дало ему имя) – о Вознесении Сына Божьего к Отцу, на престол Царя царей, и земном (которое стало поводом к строительству) – о рождении наследника престола Московского государства. Главным, что отличало храм в Коломенском от всех предшествовавших ему храмов, был именно каменный (кирпичный) шатер. До того все русские храмы завершались сводами и венчающими их главами (куполами на барабанах).

Правда, своды многих соборов в ХV в. всё сильнее и сильнее вытягивались вверх, однако ни одному зодчему не приходило в голову заменить их высоким шатром. Возможно, прототипом каменного шатра стали шатры деревянных церквей, споры о загадке происхождения шатра Вознесенской церкви ведутся до сегодняшнего дня.

В ХV1 в. мемориальные шатровые храмы поднялись в Балахне, Муроме, Коломне, Старице и других местах. Высоким нарядным шатром был перекрыт центральный объем и главного храма – памятника во всем Московском государстве – Покровского собора на Красной площади в Москве (1555 – 1560). В 1652 г. патриарх Никон предписал впредь церкви «строить о единой, о трёх, о пяти главах, а шатровые церкви отнюдь не строить». Шатровое зодчество ХV1 - ХV11 вв. – уникальное направление русской архитектуры, которому нет аналогов в искусстве других стран и народов.

Купола русских храмов имеют «луковичную» форму. Сухие прагматики скажут, что « луковичная» форма служит тому, чтобы на куполе не залёживался снег, не задерживалась влага. По-своему они правы, поскольку красота и духовность идут рука об руку с целесообразностью. Именно это сочетание и рождает гармонию. Но если человек видит только целесообразность и не хочет замечать духовности, то противоречить ему нет смысла. В архитектуре храма есть что-то ещё, что выше житейских забот о сохранности строения.

Геометрические построения.

Построение эскиза купола «луковичной» формы.

В книге Азевича А. И. «Двадцать уроков гармонии» куполам храмов посвящен целый раздел, дается план геометрических построений куполов и геометрические основы храмов. В план построения эскиза купола автор данной работы внес изменения, уточнил имеющий алгоритм.

Начнём с построения эскиза - «луковичного» купола. Проследим, какие закономерности положены в его основу.

Существуют разные виды куполов. Рассмотрим некоторые из них. Самый простой эскиз купола строится таким образом. В квадрате АВСD отмечают середины E, F, K его сторона AD, DC и CB соответственно. Из точек A ,B , C , D как из центров проводят дуги радиусом, который составляет половину стороны квадрата. Продолжение стороны АВ квадрата пересекают две из дуг в точках М и N. Задача с таким чертежом была на математическом конкурсе «Кенгуру» .

Для построения более сложных эскизов применим золотую пропорцию.

Число(√5 – 1)/2 обозначают буквой φ. Обозначим через Ф=1/ φ , установим, что Φ = (√5+1)/2=1,6.

Допустим: АВ: О1С = 1,6. Как построить отрезки АВ и О1С? Прежде всего, выберем единицу измерения -отрезок е.

Затем выполним преобразования

АВ : О1С=1,6 = 16: 10 = 8:5. Это значит, что АВ =8е, О1С = 5е. Нам следует построить равнобедренный треугольник АВС, у которого основание АВ и высота С1О составляют золотую пропорцию. Тогда мы строим отрезок АВ=8е, делим его пополам точкой О1 и проводим перпендикуляр к АВ через точку О1, на котором откладываем отрезок О1С=5е. Если длина отрезка АВ задана, то делим его на 8 равных частей, а О1С на 5 таких частей. Треугольник АВС послужит основой для нового эскиза купола православной церкви.

Опишем план построения.

1) Проведём перпендикуляр О1К к стороне ВС

2) На высоте СО1 отметим точку М так, чтобы СМ=О1В и через точку М проведём прямую, перпендикулярную прямой СО1, которая пересекает отрезок О1К в точке О2.

3) Проведём окружность с центром в точке О2 и радиусом О2К.

4) Разделим отрезок О1В точкой S пополам и через нее проведем прямую SP , перпендикулярную АВ. Она пересекает построенную окружность в точке L , через которую проведем прямую, параллельную АВ. В пересечение с осью СО1 получится точка Е.

5) На прямой СЕ от точки С отложим отрезок СG = 2е. Из точки О1 как из центра проведём окружность радиусом О1G, которая пересчет предыдущую окружность в точке N , и окружность радиусом О1К, пересекающую высоту СО1 в точке F.

6) Через точки Е и N проведём прямую. Из точки С как из центра проведём окружность радиусом ЕF, которая пересечет прямую ЕN в точке О3.

7) Затем из О3 проведём дугу радиусом О3N до ее пересечения с точкой С.

Линия, составленная из двух построенных дуг LKN и NC, образует половину эскиза купола. Вторая половина получается при выполнении симметрии относительно оси СО1 .

Схема крестово-купольного храма.

Долгие архитектурные поиски, направленные на то, чтобы найти наилучшее соответствие функциональным и символическим требованиям, предъявляемым к православному храму, завершилось, наконец, идеальным решением. Основу нового типа храмового здания, который получил распространение, начиная с Х1 столетия, составлял прямоугольный параллелепипед, его основание – квадрат (подкупольный квадрат), расчлененный четырьмя столбами. На плане четко вырисовывался крест, вписанный в общий прямоугольный план постройки. В центре креста находился купол, поэтому вся система получила название крестово-купольной. Почти все шатровые храмы ХV1 в. имеют одну и ту же композицию: на нижней кубической части (четверике), служившей основанием, строится восьмигранный столб (восьмерик – восьмиугольная призма), который венчает шатер. Однако зодчие, принимая эту общую схему, добивались необычного разнообразия, и ни один шатровый храм не повторял другой. Каждый шатер имел свой собственный силуэт.

В 1690 -1693 гг. была построена церковь нового для Руси типа. Основание её представляет собой куб (четверик). Со всех сторон к кубу примыкают полукруглые выступы, так, что план церкви выглядит как цветок с четырьмя лепестками. Сверху на куб поставлен широкий восьмигранник (восьмерик), на него ещё один с проемами для колоколов, а сверху третий - восьмигранное основание главы. Купола стали напоминать «диковинные» ягоды, а также изменилась «луковичная» форма – форма луковицы составлена из 8 и более полос. Подобная архитектура получила название московского, или нарышкинского, барокко

Мерный «вавилон» - система мер длины Древней Руси.

Сооружение храмов требовало от зодчих хорошего знания геометрии, правил создания гармоничных архитектурных пропорций и продуманной системы мер, в частности эталонов длины. Анализ планов владимиро-суздальских храмов до монгольского периода, показывает, что в их основе лежит традиционная модульная система. Особенно актуальна проблема модульного пропорционирования, а точнее соразмерности. «Средневековый зодчий (и ремесленник) определял каждый размер своего сооружения посредством размеров других частей здания. Первым звеном цепи измерений служит исходный, первоначально избранный размер, или модуль. Средневековый мастер соразмеряет элементы своего сооружения, откуда и вытекает широко известный применительно к истории архитектуры термин «соразмерность». В отличие от термина «пропорциональность», связанного с эстетической оценкой, «соразмерность» – более широкое понятие, равно относящееся к эстетическим, конструктивным или функциональным качествам сооружения» Древнерусская система храмовых соразмерностей была ориентирована на человеческие пропорции. Изучив материал о модульной системе мер, автор работы сделал выводы:

Модулем являлась сажень (для каждого храма своя), которую можно определить из размеров диаметров барабанов данных храмов. Диаметр основания купола совпадает с диаметром барабана, на котором стоит купол, поэтому можно сказать, что размеры купола определяли все размеры храма.

В период с ХI по XVIIв. сажень была основной строительной единицей длины в Древней Руси. Слово « сажень» происходит от слов «сягать», «досягать», т. е. « доставать». Сажень определялась расстоянием, до которого могут дотянуться руки человека. На Руси было несколько саженей, значительно отличающихся по размерам. Расстояние от земли до конца пальцев, вытянутой вверх руки человека среднего роста, определяло размер большой сажени, равный примерно 216 см.

Расстояние между концами пальцев, простертых в стороны рук давало размер мерной, или маховой, сажени, т. е. около 176 см. Расстояние от конца пальцев простертой в сторону руки до земли, примерно равное двум шагам, или 5/6 роста человека, называли прямой саженью. Перечисленные сажени, как видим, определялись пропорциями человеческого тела.

Всего существовало семь видов саженей: прямая сажень 152,76 см, мерная сажень 176,4 см, морская 183см, трубная около 197 см, сажень без чести 197,2 см, косая сажень 216 см, великая сажень 249,46 см. Графическим выражением системы мер длины Древней Руси (одна была основана на простой, или прямой сажени, а другая исходила из мерной сажени) являются, по мнению архитектора Б. А. Рыбакова, так называемые вавилоны.

Для построения мерного «вавилона» в качестве исходной длины берётся мерная сажень, т. е. отрезок длинной примерно 176 см. На нём строится квадрат АВСD , в котором проводится диагональ АС. Длина отрезка АС соответствует великой сажени, т. е. составляет около 249 см. «Мерный вавилон» описывается в книге Азевича А. И. «Двадцать уроков гармонии», все дальнейшие расчеты выполнены автором работы.

По теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике АВС

АС 2=АВ 2 + ВС 2, √ (176*176 + 176*176) = √ 2*30976 =

√ 61952 = 249.

Если поделить квадрат АВСD на два равных прямоугольника прямой EF, то длина диагонали АЕ составляет сажень без чети, т. е. примерно 197 см.

Докажем это.

По теореме Пифагора: АЕ = √(176/2)*2 + 176*2 = √7744 +30976 = 197.

Поделим теперь стороны АD и ВС на три равные части точками K,L и P,N соответственно, Тогда прямую сажень можно найти как диагональ прямоугольника ALMF. А диагональ прямоугольника AKNB позволяет вычислить трубную сажень.

Проверим: АМ = √88*2 + 117*2 =√7744 + 13767 = 147, в этом случаи не получена прямая сажень, 152,76(см), в другом источнике – длина прямой сажени примерно 150 см, тогда метод вычисления верен.

АN=√176*2 + 3442 = √30976 + 3442 = 186, что не соответствует трубной сажени, 197 (см). Такое расхождение методов определения величин сажень может быть объяснен, тем, что это величина для каждой церкви может отличаться, т. к. связана с размерами мастеров, строящих храм.

Вычисления других величин сажень дано в разделе решения задач по теме.

Геометрические законы красоты.

Для достижения гармонии в произведении искусства, в том числе и в архитектуре, должен выполняться принцип Гераклита: «Из всего – единое, из единого – все». В самом деле, гармония в архитектурном произведении зависит не столько от размеров самого сооружения, сколько от соотношений между размерами составляющих его частей. Архитектурное «целое» а и его части в и с должны находится в одинаковых отношениях а/ в = в/ с, части архитектурного целого должны сходиться в целое, т. е.

а= в+с. Отношение а/в =в/с = 1/φ, где φ =(√5 – 1)/2.

φ - коэффициент золотого сечения, «золотой пропорции». В данной работе не ставиться задача подробного анализа пропорций архитектурных шедевров разных эпох, стилей. Но на примере храмов уже рассмотренных в работе, видно их поразительная гармония, спокойствие и красота, выраженная в математических законах пропорциональности. В качестве примера рассмотрим пропорциональный строй одной из жемчужин древнерусской архитектуры – храм Василия Блаженного в Москве. За целое а=1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами геометрической прогрессии ( ряд золотого сечения):

1, φ , φ2, φ3, φ 4, φ5, φ6, φ7. . Покровский собор на Красной площади(1555 – 1561 гг. ), храм Василия Блаженного, как его называют в народе, - символ целого периода русской истории.

Его построили по указу Ивана Грозного. Русские мастера создали симметричную, упорядоченную композицию. Вокруг центрального, самого высокого столпа, увенчанного шатром, по сторонам света расположены четыре больших храма, а по диагоналям – четыре малых. Вместе с тем они образуют сложную пирамидальную композицию, которая отличается художественным единством и высокой динамичностью, гармоничное сочетание симметрии частей и асимметрии целого. Великолепно завершение храма с разнообразной прорисовкой покрытия луковичных глав и мерным, плавным взлётом центрального шатра.

В плане стены храмов или опорные колонны обычно вписываются в квадрат или прямоугольник со сторонами 1:2. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Квадрат диагонали равен 1+4=5. Длина диагонали прямоугольника равна √5. В квадрат вписываются и многие фасады древних храмов (например, Георгиевский собор в Юрьеве-Польском, 1230—1234 гг. ). Однако встречаются и другие соотношения габаритов храмов в плане и в фасаде. Членение же целого на части подчинено еще малоизученным законам гармонии, секретам архитектуры, которыми владели русские зодчие и которые еще предстоит открыть. Давно уже пытаются раскрыть тайны гармонии русских храмов, их непреходящей красоты.

Одиноко стоит в пойме реки Нерли над зеркалом спокойных вод изящный и легкий белокаменный храм, словно любуется своим изображением в воде. Эта небольшая, скромная по архитектурной композиции церковь Покрова на Нерли (1165 г. ) считается наиболее совершенным творением владимирских зодчих. Для храма Покрова характерно спокойное равновесие, основанное на симметрии и в то же время — удивительная легкость, устремленность ввысь. Создается впечатление невесомости храма, парящего над поймой реки. В основе композиции храма лежит крестово-купольная схема. Вертикальное членение храма преобладает над горизонтальным. Строение завершено стройной, слегка приподнятой на прямоугольном постаменте главой со шлемовидным покрытием. В других источниках указано, что купол имеет «луковичную» форму. Знакомство с храмом Покрова создает образ гармонии, архитектурной красоты. И невольно возникает вопрос, какими «секретами» владели русские зодчие, творившие восемь веков назад? Уловили ли они гармонические пропорции архитектурной композиции интуитивно или действовали по строго определенному «научно обоснованному» плану? Изучая архитектуру церкви Покрова на Нерли, И. Ш. Шевелев пришел к выводу, что в нем с «удивительной чистотой» проявляется пропорция 2: √5, равная 0,894, которая представляет собой отношение большей стороны к диагонали в прямоугольнике с отношением сторон 1:2 (прямоугольник «два квадрата»). Это простое соотношение и явилось основой дальнейших построений. По данным И. Шевелева, основной размер в плане храма определяется прямоугольником со сторонами, равными 1 и 2: √5 = 0,894. Центр плана делит сторону здания на два отрезка с размерами 0,528 и 0,472, а их отношение равно 2: √5.

Подкупольные столбы храма вписаны в окружность радиусом 0,326, а подкупольный прямоугольник имеет большую сторону, равную 0,292; их соотношение близко к 2: √5. Подобные соотношения отмечаются и в других соотношениях частей храма, что дало основание И. Шевелеву для вывода о господстве пропорции 2: √5 в архитектурной схеме, которые образуют ряд 0,528; 0,472; 0,326 и 0,292. Интересно, что эти числа ряда связаны также и золотой пропорцией, например, 0,528 : 0,326, 0,472 : 0,292. Таким образом, основные элементы архитектуры церкви Покрова на Нерли взаимосвязаны пропорциями и определяют геометрическую гармонию и красоту этого сооружения. В основе взаимосвязанных пропорций положен прямоугольник со сторонами 1:2 и диагональю √5 и его производная — золотая пропорция. Наличие этих пропорций и определило красоту храма, который считается одним из величайших шедевров русского зодчества. «Поразительная красота и гармоничность архитектуры храма Покрова Богородицы на Нерли, — пишет теоретик архитектуры К. Н. Афанасьев, — оформляется цепью взаимосвязанных отношений «золотого сечения». Золотая пропорция обнаружена и в архитектуре церкви Вознесения в Коломенском (1532 г. ). В основу пропорций этого храма положен прямоугольник со сторонами 1 и √5—1, который состоит из двух прямоугольников золотого сечения. Все элементы церкви, по данным И. Ш. Шевелева, от плана до любого членения фасада подчинены двум отношениям: повторению размеров (1:1) и отношению 1: (√5—1) = 0,809 = 0,447: 0,553.

При рассмотрении храма Василия Блаженного в Москве невольно возникает вопрос: случайно ли число куполов в нем равно восьми (вокруг центрального собора)? Существовали ли какие-либо каноны, определяющие число куполов в храмах? Очевидно, существовали. Простейшие православные соборы раннего периода были одноглавые, однако уже в Х веке строили и многокупольные церкви. После реформы патриарха Никона в середине XVII века было запрещено строить одноглавое церкви как не соответствующие пятиглавому чину русской православной церкви. Многие выстроенные православные соборы были пятиглавыми. Помимо одно- и двух купольных православных церквей, многие имели по пять и восемь куполов. Новгородский Софийский собор (X век) был тринадцатиглавым, а Преображенскую церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава! Случаен ли такой рост числа куполов (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) или здесь проявляется ряд чисел Фибоначчи, отражается естественный закон роста — от простого к сложному? Трудно ответить однозначно на этот вопрос, но трудно и не обратить внимания на эту совокупность чисел. Анализ пропорций многих русских храмов показал наличие золотой пропорции в членении целого на части. Особенно преуспел в таких исследованиях И. Шевелев. Очевидно, при создании архитектурных храмовых сооружений, в стремлении создать непревзойденные шедевры гармонии и красоты древнерусские мастера опирались не только на интуицию, но и на осознанную систему пропорций и в том числе на золотое сечение. Это и определило непреходящую эстетическую ценность созданных ими храмов.

Решение задач.

1. Практическая работа

В «Энциклопедии для детей Т. 7. Искусство» размещена фотография гробницы короля Теодориха , в описании ее купола дано, что «окружность – тридцать три метра». Что значит « окружность – тридцать три метра»? Длина окружности? Диаметр? Или радиус окружности? С помощью линейки я измерил примерно высоту купола: Н= 1см, так как толщина камня 1 метр, то масштаб: 1м соответствует 2см, тогда диаметр приближенно равен 5,3 см, т. е. диаметр равен 10,6 м. Вычисляя по формуле длину окружности

С= 2ПR, получил С=2*3,14*10,6 =33, 2 м. Значит в «Энциклопедии» имелось в виду, что длина окружности равна тридцати трем метрам.

Данная работа заставляет задуматься о тайне красоты, почувствовать в себе самом стремление к творчеству. Изучая геометрию в школе, каждый школьник должен знать, что это наука прикладная, математика – это уникальное средство познания красоты, это лучшее средство установления отношения порядка в искусстве архитектуры. Данная работа – это маленькая часть исследования геометрических аспектов куполов. Нам интересно (и полезно!) познать творческие секреты древних мастеров, их эстетические архитектурные идеи. А это задача не простая. Здесь знаний геометрии мало, здесь и историю нужно знать, и психологию художников.

В литературе есть несколько форм куполов: «луковичная» форма, напоминающая свечу, полусфера, конус, шлем, «диковинная» ягода, восьмигранной формы. Некоторые храмы венчают шатры – восьмигранная пирамида. При построении храмов, куполов использовали «золотую пропорцию», симметрию и асимметрию, подобие фигур, может быть, поэтому купола, церкви поражают своей красотой и величием. Символом древнерусской архитектуры считают знаменитую церковь Покрова на Нерли (1165 г. ). Церковь невелика и удивительно гармонична. В её внешнем облике много полукругов, размеры её частей выдержаны в «золотой пропорции». Церковь венчает полукружье главы, которая напоминает луковицу. На примере храмов, рассмотренных в работе, видно их поразительная гармония, спокойствие и красота, выраженная в математических законах пропорциональности. В качестве примера рассмотрен пропорциональный строй одной из жемчужин древнерусской архитектуры – храм Василия Блаженного в Москве. Пропорции храма определяются восемью членами геометрической прогрессии (ряд золотого сечения): 1, φ , φ2, φ3, φ 4, φ5, φ6, φ7. Древнерусская система храмовых соразмерностей была ориентирована на человеческие пропорции. Модулем являлась сажень (для каждого храма своя), которую можно определить из размеров диаметров барабанов данных храмов. Диаметр основания купола совпадает с диаметром барабана, на котором стоит купол, поэтому можно сказать, что размеры купола определяли все размеры храма.

Задачи работы выполнены, цель реализована. В процессе работы над данной темой нашла подтверждение выдвинутая гипотеза, и мы пришли к следующим выводам:

1. Купол – это тело, которое в математике называют телом вращения. Оно имеет ось вращения.

2. Купол это симметричное геометрическое тело, имеет ось симметрии, плоскости симметрии. У купола бесконечно много плоскостей симметрии, такие тела считаются наиболее красивы.

3. При построении эскизов куполов использовалось понятие «золотого сечения», в связи с этим в работе дается определение «золотого сечения». Проведена практическая работа по установлению «золотой пропорции» или «золотого сечения» в различных куполах храмов России, в частности храмов Москвы. Вычислена длина окружности основания одного из куполов.

4. Все чертежи эскизов куполов построены с помощью циркуля и линейки. Использованы знания, полученные при изучении большого раздела геометрии «Задачи на построение»: деления отрезка пополам; построение прямой, перпендикулярной данной прямой, проходящей через данную точку; деление отрезка на n равных частей, построение окружности, дуги окружности.

5. Главы (купола) некоторых церквей имеют одинаковую форму, но отличаются размерами, т. е. являются подобными фигурами.

6. В строениях храмов видны такие геометрические фигуры, как полусфера, шар, конус, окружность, полуокружность, многоугольники, призмы, пирамиды. Основаниями церквей в основном служит квадрат, куб, на котором выстраивается правильный восьмигранник (призма, основание которой правильный восьмиугольник), шатер в виде пирамид. Количество куполов православных храмов тоже символично. Один купол говорит о Едином Боге, два – о единстве Божественной и человеческой природы Спасителя, три – о святой Троице и т. д.

7. В работе показана связь геометрии и алгебры на примере построения эскиза купола с помощью графика функции у = sin x, параллельного переноса и отображения плоскости на себя – осевой симметрии.

8. Перечисленные геометрические сведения о куполах дают нам представление о красоте, с точки зрения геометрии: симметрия, пропорциональность частей, « золотое сечение», подобие, форма в виде преобразованной сферы, полусферы.

Данную работу можно продолжить, изучив раздел геометрии «Стереометрия», взяв за основу не купола, а здания церквей. Можно подробнее осветить вопрос симметрии, пропорциональности в архитектуре, изготовить макеты храмов для Воскресной школы п. Салым. Изучив материал 10-11 кл. можно вычислить площадь поверхности купола, как тела вращения, что имеет практическую направленность при строительстве и реставрации храмов.

Русская красота. Русская духовность. Когда мы слышим эти слова, перед глазами возникают образы золотых куполов православного храма. И может быть форма купола это сфера (символ гармонии и вечности), но которую неизвестные силы тянут вверх, в едином порыве к красоте и душевному свету.