Имеет ли график функции горизонтальные или вертикальные асимптоты

Из курса алгебры нам известно, что исследование функции целесообразно проводить в определённой последовательности, при этом полезно выяснить, как ведёт себя функция, когда значение аргумента неограниченно возрастает или неограниченно убывает. Особое значение имеет поведение функции вблизи некоторых постоянных чисел, не входящих в область определения функции.

Такое исследование позволит выяснить, имеет ли график функции горизонтальные или вертикальные асимптоты.

В учебнике алгебры даётся формальное определение асимптоты. Также говорится о том, как найти асимптоту кривой графика функции Y=f(x) при x стремящемся к бесконечности или доказать, что данная кривая не имеет асимптоты при x стремящемся к бесконечности. Надо вычислить предел (k=limx(∞ f(x)/x) Полученное число k и будет угловым коэффициентом асимптоты. Затем для найденного числа k надо вычислить предел (b= limx(∞ (f(x)-kx)), дающий число b. Найденные числа k и b и определяют асимптоту Y=kx+b данной кривой при x, стремящемся к бесконечности. Но если не существует хотя бы один из пределов, то у графика функции нет асимптоты. Аналогично определяется асимптота графика функции Y=f(x) при x, стремящемся к наибольшему отрицательному числу.

Таким образом, школьные учебники не дают ответа на вопрос можно ли с первого взгляда определить, какие асимптоты имеет график и сколько их, можно ли построить график функции, не прибегая к исследованию функций с помощью производных.

Y=k/x – графиком этой функции является гипербола, график состоит из двух ветвей, которые не пересекаются с осями координат: x=0, y=0 – горизонтальная и вертикальная асимптоты.

Возникает вопрос: имеют ли асимптоты графики других функций? И если имеют, то их обязательно две или график может иметь одну, три и более асимптот? Асимптоты могут быть только вертикальными и горизонтальными или могут быть какими-то другими?

Чтобы ответить на эти вопросы я решила провести исследование. Цель моей работы: выяснить, какие асимптоты имеют графики дробно-рациональной функции, и сколько асимптот может иметь график этой функции.

Также я ставлю перед собой следующие задачи:

1. Выявить условие, при котором график дробно-рациональной функции имеет вертикальные асимптоты.

2. Выявить условие, при котором график дробно-рациональной функции имеет горизонтальные асимптоты.

3. Определить наличие и вид асимптот у графика функции, если показатель степени числителя на 1 больше показателя степени знаменателя.

4. Попытаться ответить на вопрос: что будет происходить, если показатель степени числителя превысит показатель степени знаменателя более чем на единицу?

5. Попытаться ответить на вопрос: что будет происходить, если разность степени числителя и знаменателя будет отрицательной?

Предметом исследования является асимптота, а объектом исследования графики дробно-рациональной функции.

Метод статьи – компьютерные эксперименты.