Как научиться решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрия - это один из главных разделов в математике. В школьном курсе рассматриваются только простейшие тригонометрические уравнения. Способ решения - самый примитивный. Когда я просматривала экзаменационные материалы, я пришла к выводу, что этих знаний недостаточно. Навыки решения тригонометрических уравнений полезны, а иногда просто необходимы при решении других задач.

Основная трудность при решении тригонометрических уравнений заключается в том, что обнаружить ошибку в решении простой проверкой невозможно.

Целью моей статьи является расширение представления о способах решения тригонометрических уравнений.

Что же такое тригонометрия , как и кем она образована

Тригонометрия - это микро раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Очень важной частью этого микро раздела, имеющей колоссальное значение в области практического применения, является решение тригонометрических уравнений. Они позволяют проводить измерения там, где их невозможно произвести сравнением с эталоном. Например, в астрономии, где в большинстве случаев невозможно использовать какой-либо измерительный прибор.

Как и все науки, тригонометрия возникла из потребностей жизни. Развитие мореплавания требовало умения определять положение корабля в открытом море по солнцу и звездам. Войны, которые правители вели между собой, требовали умения определять большие расстояния и составлять карты местности. Землепашцу надо было знать смену времен года, чтобы своевременно производить, необходимы сельскохозяйственные работы и т. д. Все это и многое другое привело к необходимости развивать астрономию, а развитие астрономии было немыслимо без развития тригонометрии.

Тригонометрия возникла и развивалась у народов с развитой торговлей и сельским хозяйством: у вавилонян, греков, индийцев, китайцев. Зародилась она много веков назад и в течение тысячи лет оставалась частью астрономии.

Решение тригонометрических уравнений довольно трудная тема школьной математики. Некоторое время я никак не могла научиться их решать, наверное, потому, что не совсем понимала что это и для чего мне эти уравнения нужны. Потом. села за учебники: школьные и не совсем школьные и вот что я поняла.

Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

Решение любого тригонометрического обычно сводится к решению простейших тригонометрических уравнений вида sin x =a, cos x = a, tg x =a и т. д. , где а - действительное число. Для решения можно воспользоваться либо графиком соответствующей тригонометрической функции или числовой окружностью.

Возможно, именно из-за такого большого количества способов применения решений тригонометрических уравнений в практических целях они так разнообразно представлены в контрольно-измерительных материалах единого государственного экзамена по математике.

На уроке обычно, знакомясь с новой темой, мы сначала спокойно решаем легкие тригонометрические уравнения. Но сталкиваясь с трудностями, мы не понимаем их и бросаем, так и не разобравшись.

В школьном курсе математики изучаются способы и методы решений, но уделяется этому мало времени. А, именно, разбор этих примеров позволит выпускнику не только подготовиться к единому государственному экзамену по математике, но и научится нестандартно мыслить, так как самое сложное в тригонометрии - это видеть, какую формулу и где нужно применить, чтобы достигнуть результата. Я, думаю, что изучив данный материал, и рассмотрев его применение на практике, я расширю и углублю свои знания по теме, что будет способствовать развитию логического и творческого мышления в процессе решения задач. Вообще работу с тригонометрическими уравнениями естественно нужно начинать с простейших тригонометрических уравнений, затем решать уравнения, сводящиеся к квадратным, однородные тригонометрические, уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного угла, с помощью замены sin x + cos x= t.

Итак , простейшим тригонометрическим уравнением ,называют уравнение f(x)= а , где а - данное число , а f(x)-одна из основных тригонометрических функций.

Тригонометрические уравнения первого типа

Основные формулы

Образец:

Решение:

Ответ: ,.

Уравнения первого типа (простейшие) решать вовсе не трудно, просто нужно знать формулы. Но далее представлены тригонометрические уравнения , сводящиеся к простейшим с помощью замены аргумента тригонометрических функций , а также уравнения сводящиеся к квадратным или рациональным.

Уравнения, сводящиеся к простейшим, заменой неизвестного

Рассмотрим примеры решения уравнения, которые после введения нового неизвестного f(x)= t , где f(x)-одна из основных тригонометрических функций. , превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Образец: 2cos x2 +3cos x + 1 =0

Введем новое неизвестное cos x = t, тогда это уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t:

2t2 +3t +1 =0

Это уравнение имеет два корня t1= -1 и t2=- 0,5.

Следовательно , множество всех решений уравнений(1) есть объединение множеств всех решений двух уравнений cos x=-1 и cos x= - 0,5.

Решая каждое из этих уравнений , находим , что множество решений уравнения3 состоит из трех серий решений : xm =PI+2PIm , mEuroZ, xn=2PI3+2PIn, n∈Z, x=-2PI3+2PIk, k∈Z

Применение основных тригонометрических формул для решения уравнения

1. Применение основных тригонометрических тождеств

3sinx=2cos x2

Решение : применяя основное тригонометрическое тождество sin2x+cos2x=1, перепишем уравнение 1 в виде 2sin2 x+3sin x - 2= 0

Введем новое неизвестное sin x=t, тогда уравнение 2 превращается в квадратное уравнение с неизвестным t :

2t2 + 3t - 2 = 0

Уравнение 3 имеет два корня t1=0,5 и t2= - 2. Поэтому множества решений уравнения 2 , а значит, и уравнения 1 , есть объединение множеств решений двух уравнений : sin x = 0,5 и sin x = -2. Решения первого из них состоит из двух серий. Второе уравнение не имеет решений, следовательно, решения уравнения1 состоит из двух серий :

Xm = PI6+ 2PIn ,m∈Z, x=5PI6+2PIn ,n∈Z.

2. Применение формул сложения

Sin 5 x cos3x= Sin 3 x cos5x

Перенеся все члены уравнения в левую часть и применив формулу синуса разности двух углов , перепишем уравнение в виде

Sin 2 x=0.

Все решения уравнения , а значит, и уравнения 1, удовлетворяют условию 2xm=PIn, mϵZ. Следовательно ,уравнение 1 имеет одну серию решений:

Xm=PIm2, m∈Z.

Большая роль отводится выбору корней при решении тригонометрических уравнений.

Отбор корней в тригонометрическом уравнении может быть вызван 1)необходимостью выявления посторонних корней в случае , когда при решении происходит расширение области определения уравнения, или 2) требованием найти значения неизвестного, удовлетворяющие заданным условиям.

Существуют два приема отбора корней: геометрический и алгебраический.

Рассмотрим геометрический способ.

Образец: сos x+sin2xcos3x

Данное уравнение равносильно системе cosx+sin2x=cos3xcos3x!=0

Решая уравнение системы ,получим :

Cosx-cos3x+sin2x=0

Sin2x(2sinx+1)=0.

Последнее уравнение равносильно совокупности : sin2x=0sinx=-0,5 x=PIm2,m∈Zx=-1n+1PI6+PIn, nϵZ

В итоге приходим к системе : x=PIm2 , m∈Zx=-1n+1PI6+PIn,nϵZx!=PI6+PIn3, n∈Z.

Поскольку предстоит отбор корней , вторую серию решений целесообразно записать в виде двух арифметических прогрессий с разностью 2PI.

x=PIm2 , m∈Zx= -PI6+2PIh,h∈Zx=7PI6+2PIg,g∈Zx!=PI6+PIk3, k∈Z

Геометрический способ. На тригонометрическом круге изобразим точками представителей всех четырех серий. Значения х из <<запрещающей>> серии отметим крестиками. Ясно, что решениями уравнения будут те значения х, которым соответствуют концы горизонтального диаметра. Эти значения записываются в виде х =PIр, р∈Z.

Итак, рассмотрено несколько способов решения тригонометрических уравнений. В каждом примере строго соблюден принцип <<от простого к сложному>>,что несомненно принесет пользу ученикам как при решении трудных задач в школе, так и на едином государственном экзамене по математике.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение <<наиболее простых>>, оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение <<наиболее простых>>, оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

Несомненно, работа над данной темой расширила область знаний, полученных мною на уроках о способах решения тригонометрических уравнений, их совокупностей и систем. Я выполнила поставленную перед собой цель, познакомилась с нестандартными способами решения уравнений.

Я считаю, что тригонометрические уравнения достойны подробного рассмотрения на уроках алгебры в рамках профильной школы или внеурочной работы. Этому способствует актуальность темы, доступность материала, разнообразие способов решения тригонометрических уравнений.