Учеба  ->  Учебные материалы  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Критерий Карла Гаусса

Еще древнегреческие геометры умели строить циркулем и линейкой правильный треугольник и пятиугольник, а тем самым и пятнадцатиугольник. К тому же они знали, как разделить угол пополам, поэтому могли построить любой правильный n-угольник, для которого n имело вид 2к+1 , 2к×3, 2к ×5 или 2к×15 , где к = 0, 1, (например, правильный четырехугольник, шестиугольник, десятиугольник и. т. д. ). Но, ни правильного семиугольника, ни правильного девятиугольника древние геометры строить не умели. Поэтому они были уверены, что, кроме указанных правильных многоугольников, никакие другие построить циркулем и линейкой нельзя.

Гаусс подошел к задаче о построении циркулем и линейкой с другой стороны. Он выяснил сначала, при каком условии задача на построение вообще разрешима с помощью этих двух инструментов. Оказалось, что это возможно лишь тогда, когда длина искомого отрезка выражается через единицу с помощью четырёх арифметических действий и извлечения квадратного корня. В этом случае говорят, что искомая величина выражается в квадратных радикалах.

Мы уже знаем, что корни n - ной степени из 1, то есть корни уравнения zn - 1 = 0, изображаются на комплексной плоскости вершинами правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность. Поэтому вопрос о том, можно ли построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, свелся к чисто алгебраической проблеме: выражаются ли корни n - ной степени из 1 в квадратных радикалах.

Разумеется, уравнение вида zn - 1 = 0 всегда имеет корень ε0 = 1. Но нас интересуют как раз другие корни этого уравнения, то есть числа εк = cos 2πk/n + I sin 2πk/n, где 1 ≤ k ≤ n –1. Поскольку zn – 1 = (z – 1) (zn-1 ++ z + 1) , то интересующие нас числа εк являются корнями уравнения zn-1 + zn-2 ++ z + 1 = 0.

Очевидно, для построения всех корней достаточно найти корень εк. Тогда, откладывая последовательно на единичной окружности, начиная с точки εк = 1, дуги, равные дуге ε0ε1, мы получили бы все вершины правильного вписанного n-угольника. Но если мы найдем какой-то другой корень, например, ε3, то сможем ли построить все остальные вершины правильного многоугольника? Для случая n = 5 ответ утвердительный; эту проблему можно решить очень просто – лично я вписала в окружность пятиконечную звезду единым росчерком карандаша, то есть, не отрывая его от бумаги и не проходя дважды по одному отрезку. Но в случае с n = 9, ситуация меняется: аналогичные действия приводят к правильному треугольнику, но не к девятиугольнику. Это можно объяснить тем, что в первом случае число n – простое, а во втором - составное.

Оказывается, при простом n можно построить все вершины правильного n – угольника, вписанного в единичную окружность, зная его любую вершину εк ≠ ε0.

Итак, при простом числе n достаточно выразить в квадратных радикалах хотя бы один корень уравнения zn-1 + zn-2 ++ z + 1 = 0.

Далее если мы можем построить циркулем и линейкой корни m-й и l-й степеней из единицы, где m и l – взаимно простые числа, то это можно сделать и для корней степени m l. Достаточно 1/ m l записать в виде 1/ m l = А/ m + В/ l (существование таких целых чисел А и В, что А l + В m = 1, следует из алгоритма Евклида). Остается выяснить, при каком простом р корень р-ной степени из 1 выражается в квадратных радикалах? Для начала, необходимо рассмотреть примеры.

Если р = 3, то, решая уравнение z2 + z + 1 = 0, находим ε1;2 = -1/2± i√3/2. При р = 5 задача сводится к решению уравнения четвертой степени z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0. С этой целью делим обе его части на z2 и вводим подстановку z + 1/ z = ω. В результате приходим к уравнению ω2 + ω – 1 = 0, из которого находим ω1;2 = -1±√5/2. Осталось решить два уравнения z + 1/ z = -1 + √5 / 2 и z + 1/ z = -1 - √5 / 2. Их корни соответственно равны ε1;4 = 1/4(√5 – 1 ± i√10 + 2√5), ε2;3 = -1/4(√5 + 1± i√10 - 2√5).

Интересна идея подстановки, приведшей уравнение четвертой степени к квадратному. Ведь корнями квадратного уравнения являются числа ω1 = ε1 + ε4 и ω2 = ε2 + ε3. Каждое из них представляет собой сумму сопряженных корней (ε1 = ε4; ε2 = ε3). Поскольку комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые действительные части и противоположные мнимые, то корни ε1 и ε4, а также корни ε2 и ε3 симметричны относительно оси Ох:

Та же идея группировки комплексно – сопряженных корней заложена в подстановках, позволивших Гауссу выразить в квадратных радикалах корни 17-ой степени из 1. Но самое главное, как же удачно сгруппировать корни уравнения z16 + z 15 + z + 1 = 0?

Размышляя над этим вопросом, Карл Гаусс открывает неожиданную его связь с первообразными корнями из 1. Необходимо остановиться на решении этого уравнения.

Выразим номер каждого корня εк , 1 ≤ к ≤ 16, в виде степени тройки ( 3 – номер первообразного корня). Получим нумерацию этих корней, задаваемую следующее таблицей:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ε3 ε 9 ε 10 ε 13 ε 5 ε 15 ε 11 ε 16 ε 14 ε 8 ε 7 ε4 ε 12 ε 8 ε 6 ε1

В верхней строке таблицы записаны показатели степени, в которую возводится число 3, а в нижней – соответствующие корни. Сложим теперь отдельно все корни, стоящие под четными номерами верхней строки, и отдельно – под нечетными. Получим:

η0 = ε 9 + ε 13 + ε 15 + ε 16 + ε 8 + ε4 + ε2 + ε1

η1= ε3 + ε 10 + ε 5 + ε 11 + ε 14 + ε 7 + ε 12 + ε 6

При этом выполняются соотношения η0 + η1 = -1 и η0 η1 = -4, которые несложно проверить, учитывая, что ε117 = 1. Это значит, что η1 и η0 являются корнями квадратного уравнения х2 + х – 4 = 0 и поэтому выражаются формулами: η0 = √17 – 1/ 2 , η1 = -√17 – 1/ 2.

Но в η1 и η0 по восемь слагаемых. Аналогичным приемом приходим к подстановке

τ0 = ε 13 + ε 16 + ε4 + ε1τ1 = ε 9 + ε 15 + ε 8 + ε 8

τ2 = ε3 + ε 5 + ε 14 + ε 12τ3 = ε 10 + ε 11 + ε 7 + ε 6

При этом τ0 и τ1 оказываются корнями квадратного уравнения с более сложными коэффициентами х2 - √17 – 1/ 2 = 0.

Значит, τ0 = ¼(√17 – 1+ √34 - 2√17), τ1 = 1/4 (√17 – 1 - √34-2√17).

Далее τ2 и τ3 в свою очередь корни квадратного уравнения х2 - η1х – 1 = 0, откуда

τ2 = ¼(-√17 – 1 +√34 +2√17), τ3 = ¼( -√17 – 1 - √34 +2√ 17).

Подстановка ρ1 = ε 16 + ε1, ρ2 = ε 13 + ε4 приводит к уравнению х2 - τ0х + τ2 = 0, один из корней которого ρ1 = 1/8(√17 – 1 + √34 - 2√17) + ¼ √17 + 3√17 - √170 + 38√17).

Так как ε 16 = ε1-1, то задача решена – корень выражается через натуральные числа с помощью арифметических операций и извлечения квадратных корней, а поэтому правильный 17-угольник строится с помощью циркуля и линейки!

Необходимо внимательнее приглядеться к рассуждениям Гаусса. Сначала он объединяет все корни уравнения хn - 1 = 0, кроме ε0 , в две разные группы η0 и η1, затем каждую из них вновь делит на две равные части и так до тех пор, пока не приходит к уравнению, содержащему лишь два корня.

Гаусс доказал следующий критерий:

Разделить окружность циркулем и линейкой на n равных частей возможно тогда, и только тогда, когда n = 2m р1 рr, где m = 0, 1, 2 ; р1, рr – различные между собой простые числа Ферма.

В настоящее время нам известны лишь пять простых чисел Ферма. Это 3, 5, 17, 257, 65537.

Результат Гаусса важен для математики не столько фактом решения древней задачи, сколько идеей группировки корней уравнения. Именно эта идея стала основой в вопросе решения алгебраических уравнений в радикалах.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)