Линейные уравнения и их системы с одним параметром и двумя неизвестными

Пример 1.

При каких значениях параметра a график уравнения а·х-2у =7 проходит через точку М(3;1)?

Решение.

По условию задачи, координаты точки М х =3, у =1 удовлетворяют уравнению а·3-2·1=7, 3·а = 9, ׀а׀ = 3, а = 3 или а = -3.

Ответ: при а = ±3 график данного уравнения проходит через точку М(3;1).

Пример 2.

При каком значении параметра k прямые у = 2х+4 и kх ­5у = 8 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?

Решение.

Так как по условию задачи прямые пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс, то у = 0, и решение задачи сводится к решению системы у= 0, у = 0, у = 0, у = 0, у = 2х+4, 2х+4=0, х = -2 х = -2, kх - 5у = 8; kх=8; k· (-2) = 8; к = -4.

Последняя система уравнений означает, что при к = -4 данные прямые пересекаются в точке с координатами (-2;0).

Ответ: при к = -4 данные прямые пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс.

Задания для самостоятельного решения в двух вариантах

Решите уравнения, где а, b, с, d, k, m, n – параметры, x - переменная bх =2 kx = 3

(k - 3)х=3 (b - 2)x = 4

(2 - а)х = 0 (3 - c)x = 0

(1,5 + c) = 1,5 + c (3,5 + a)x =3,5 + a

4 + mx = 3 x + 1 ax - 7=2x +10

ax - a = x- 1 m x + 1=x + m

7x = 2/m 9x = 4/d

(1/n)x = n x/k = k ax =1/a bx =1/b c(c - 2)x = c a(a - 3)x = a - 3

(m/(2, 5- m))x = m (k/(3,1 + k))x = k

(b + 3)/(b - 3)x = b +3 (d - 4)/( d+ 4)x = d - 4

(3x +3cx)/( c + 1) = 2c + 2 (4mx - 8x)/(m - 2) = 3m - 6

x(a + 2)- a(1 - x) = 3 c(2 – x) - x(2c + 3) = 4

2x - 3(x - b) = b + 3 4 x - 6(x - a) = 6 + a c + 6(x - 1) = 2c + x 3b + 18(x- 3) = 6b + 2x

7 - ax = 2(3 + x) 10 - 2ax = 7(6 + 2x)

2dx - 5(2 + x) = 7 ax - 3( 1 + x) = 5

(mx - 2)/2 = (3 - mx)/4 ( nx + 4)/3 = (5 - 2nx)/7

(5 - bx)/3 = (7 - bx)/6 (8 - 3ax)/5 = (4 - 2ax)/10

(x - 2a)² - (4 + x) ²= 4 (2x - a)² - (2 + 2x)² = 15

(x + k) ²- (x - 5)² = -1 (3x + k) ²-(3x - 4)² = -4

a²x - 2a = a² + ax b² + 2b = b² + 2bx

При каких значениях параметра а уравнение

2001х + 2001 = 2001х + а

не имеет решений? имеет бесчисленное множество решений?

При каких значениях параметра m уравнение

(m/(m - 2))x=1/(m² - 4)

имеет решение? не имеет решений?

26. Решите уравнение и определите знаки корней

аx + 2x + 3 = 1- x b x - x + 2 = - 1 -x

27. Подберите число а так, чтобы уравнение 4x - 3 = 2x + а имело корень

а) x =1 а) x = -1

б) x =1/2 б) x = 0,3

28. Выясните, имеет ли уравнение корни при заданном значении c:

а) 4x + c = 4x + 3 при с =1 а)c −3x = 5 −3x при с = 2

б)1/2x + 3 = 2x + c при с = 4 б)1/3x + 2 = 3x + c при с = 3

29 При каком значении а 29 При каком значении а прямые прямые

3x−5y =10 и 2x+ay = 6 2x+3y = 4 и kx−5y =13

пересекаются в пересекаются в точке, принадлежащей точке, принадлежащей оси ординат? оси абсцисс?

При каком значении k При каком значении a прямые прямые

5x − 6y = 7 и kx − 7y = 15 7x − 9y = 14 и 6x − ay = 10

пересекаются в точке , пересекаются в точке , принадлежащей оси принадлежащей оси абсцисс? координат?

31. При каком значении k 31 При каком значении k прямая y=kx + 3 прямая y=kx −2

проходит через точку проходит через точку пересечения прямых пересечения прямых y = 4x − 7 и y=−2x+5? 2x+y = 2 и x−y = 7?

Постройте график уравнения 32. Постройте график уравнения

2,5х + у = а, если известно, что он проходит через точку М (- ах + 2у = 5, если известно,

2;3). что он проходит через точку М (1,5;1).

Постройте график уравнения 33. Постройте график уравнения

1,5х - у = а, если известно, что он проходит через точку М (4;3). 3х - ау = 6, если известно, что он проходит через точку М (- 3;5).

Постройте график уравнения 34. Постройте график уравнения

׀а׀х - 4у = 8, если известно, что он проходит через точку 3х + ׀а׀у = -6, если известно,

А (4;-2). что он проходит через точку

А (-2;4).

35. При каких значениях а 35. При каких значениях а уравнение ׀а׀х + 4у = 18 уравнение ׀а׀х - 5у = 17

имеет решение х = 4, имеет решение х = 1, у = 1,5? у = -3?

36. Решите систему уравнений 36. Решите систему уравнений

2х – ау = 5, 2х + ау = 5,

3х + 4у = 24, 3х - 5у = 14,

если график первого уравнения если график первого уравнения проходит через точку М (3;1). проходит через точку М (½;4).