Математические методы в решении экономических задач

Существует множество способов решения систем линейных равнений. В школьном курсе мы изучали способ подстановки, сложения, графический. При этом разбирали системы с двумя неизвестными. Теперь в задачнике встретились системы с тремя неизвестными, т. е. они стали сложнее, поэтому возникла проблема, найти для себя способ решения систем удобный, короткий, универсальный. Кроме того, я нашла непосредственно примеры применения линейной алгебры при решении экономических задач.

Поэтому целью своей работы я поставила: изучить способы решения систем линейных уравнений, узнать каким способом удобней решать системы, просмотреть примеры применения данных способов при решении экономических задач.

Для этого я выделила для себя следующие задачи:

1. Просмотреть в дополнительной литературе материал, касающиеся способов решения систем.

2. Проиллюстрировать на примерах преимущества каждого способа.

3. разобрать примеры с тремя неизвестными и, состоящих из трех уравнений.

4. найти конкретные примеры использования линейной алгебры при решении экономических задач.

Гипотеза:

1. Если я изучу способы решения систем линейных уравнений, то я найду для себя более легкий способ.

2. Есть ли способ легкий, чем изучают в школе.

3. Есть ли конкретные примеры использования линейной алгебры при решении экономических задач.

ТЕЗАУРУС

Система двух уравнений с двумя неизвестными - это два уравнения, которые рассматриваются совместно и в которых неизвестные числа одни и те же.

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется пара чисел (x0;y0), которая при подстановке в каждое из уравнений системы обращает его в верное равенство.

Две системы называются равносильными, если множества их решений совпадают. Системы уравнений, не имеющие решений, равносильны.

Решить систему уравнений - это, значит, найти все решения или доказать, что решений нет.

Если А =(а11) квадратная матрица первого порядка, то ее определителями называется число: А =а11

Если А = а11 а12 - квадратная матрица второго порядка, то ее а21 а22 определителем называется число: А =а11а22-а12а21

Если А= а11 а12 а13 -квадратная матрица третьего порядка, то ее а21 а22 а23 определителем называется число: а31 а32 а33 а11 а12 а13

А= а21 а22 а23 = а11а22а33+а12а23а31+а13а21а32- а31 а32 а33 -а13а22а31-а12а21а33-а11а23а32

Теорема 1. Если одно из уравнений системы заменить на равносильное уравнение, а второе уравнение оставить неизменным, то получим систему, равносильную исходной.

Теорема 2. Если одно из уравнений системы заменить на сумму уравнений системы, то полученная система уравнений будет равносильна исходной.

Теорема 3. Если в одном из уравнений системы выразить одну из переменных через другую, подставить полученное выражение во второе уравнение, то полученная система будет равносильна исходной системе.

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы - выяснить, определена она или нет.

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Теорема Кронекера-Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен расширенной матрицы системы.

r(A)=r(A B).

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы- выяснить, определенна она или нет. При этом возможны три варианта:

1. если r(А)( r(A B), то система несовместна.

2. если r(A)=r(A B)=n (где n-число неизвестных), то система совместна и определенна.

3. если r(A)=r(A B)(n, то система совместна и неопределенна.

Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать, например, метод Гаусса:

С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы (A B) к ступенчатому виду (А( В():

а11 а1к2 а1кr а1n b1

0 а2к2 а2к3 а2n b2

0 0 аrkr аrn br

0 0 0 0 br+1

0 0 0 0 bm

1,1 где в i-ой строке (i=1,2,,r) самый нулевой элемент обозначен через аiki.

Если хотя бы одно из чисел br+1,, bm не равно нулю, то r(A B)( r(А(), и система несовместна; иначе (если br+1== bm=0) система совместна. В случае, когда система совместна, будет r(A()= r(A( B(). Если r=n (где n-число неизвестных), то система определенна, в противном случае (если r(n) система неопределенна.

Запишем систему уравнений, соответствующую расширенной матрице (А( В() в следующем виде- перенесем все слагаемые со свободными переменными хr+1,,хn в правую часть: а11х1+а12х2++а1rxr=b1-a1r+1xr+1-а1nxn

1,2 а22х2++а2r =b2-a2r+1xr+1-а2nxn

ar-1r-1xr-1+ar-1xr=br-1-ar-1r+1xr+1-аr-1nхn, аrrxr=br-arr+1xr+1-аrnxn, где коэффициенты а11,а22,,аrr не равны нулю.

Пусть свободные переменные хr+1,, хn принимают значения t1,,tn-r. Тогда из последнего уравнения (1. 2) переменная хr однозначно выражается через t1,,tn-r:

1 хr=хr(t1,,tn-r)= arr (br-arr+1t1-аrntn-r).

Подставляя это значение хr, в предпоследнее уравнение системы(1. 2), получим выражение, однозначно задающее хr-1 через t1,,tn-3: xr-1 =xr-1(t1,,tn-3).

Продолжая подставлять полученные значения хr, хr-1, в уравнения системы (1. 2), получим выражения, однозначно задающие х1,х2,,хr через t1,, tn-3. таким образом, каждому фиксированному набору значений свободных переменных хr+1=t1,,хn=tn-r соответствует единственное решение системы (1. 2) и системы (1. 1):

х1(t1,,tn-3)

хr(t1,,tn-3)

Общим решением системы (1,1) называется множество всех её решений, записанных в виде формулы (1. 3), выражающей произвольное решение системы в виде функций от n-r свободных переменных.

ПРИМЕР №1:

Исследовать систему линейных уравнений:

х1+ 2х2+ 2х3+ 3х4= 1,

6х1- 3х2- 3х3- х4 = 9,

-7х1+ х2+ х3- 2х4= 8,

-3х1+ 9х2+ 9х3+ 10х4= 12.

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

1 2 2 3 1

6 -3 -3 -1 -9 II-6·I

-7 1 1 -2 8 III+7(I (

-3 9 9 10 12 IV+3(1

1 2 2 3 1

0 -15 -15 -19 -15

0 15 15 19 15 III+II (

0 15 15 19 15 IV+II

1 2 2 3 1

0 -15 -15 -19 -15

0 0 0 0 0 III+II (

0 0 0 0 0 IV+II

1 2 2 3 1

0 15 15 19 15

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Так как r (A)=r (A B)=2(4=n, то система совместна и определенна.

Количество главных переменных равно r (А)=2, количество свободных переменных равно n-r (А)=4-2=2.

Исследовать систему линейных уравнений х1+ х2- х3 = -4, х1+ 2х2- 3х3 = 0,

-2х1 -2х3 = 3.

Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

1 1 -1 -4

1 2 -3 0 II-I (

-2 0 -2 3 III+2·1

1 1 -1 -4

0 1 -2 4 III-2·II (

0 2 -4 -5

1 1 -1 -4

0 1 -2 4

0 0 0 -13

Так как r (A)=2≠3=r (A B), то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширеннойматрицы соответствует уравнение 0·х1+0·х2+0х3=-13, не имеющее решение.

СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим в качестве примера систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, которая имеет вид: a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2.

Например, пару уравнений -3х-5=0 и 2х-y+4=0 можно рассматривать в качестве системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Действительно, эти уравнения можно записать в виде

-3x+0y=5

2x+(-1)y=-4.

Здесь a1=-3,b1=0,c1=5,a2=2,b2=-1,c2=-4

Пару уравнений х=-2,3 и y=6 можно рассматривать в качестве системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Действительно, эти уравнения можно записать в виде x+0y=-2,3,

0х+y=6.

Здесь а1=1,b1=0,с1=-2,3,а2=0,b2=1,с2=6.

Установим, является ли решением системы уравнений

3х+y=-4,

2х+3y=2; пара чисел:

1. (-2;2);

2. (2;-2).

1. Подставим в каждое из уравнений системы вместо х число -2, а вместо y число 2:

3·(-2)+2=-4,

2·(-2)+3·2=2.

Пара чисел (-2;2) является решением рассматриваемой системы уравнений.

2. Подставим в каждое из уравнений системы вместо х число 2, а вместо y число -2:

3·2+(-2) ≠-4,

2·2+3(-2) ≠ 2.

Пара чисел (2;-2) не является решением рассматриваемой системы уравнений.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБОМ ПОДСТАНОВКИ

Первый способ решения систем линейных уравнений это способ подстановки.

Идея метода заключается:

1. Выразить одну переменную через другую;

2. Подставить найденное значение;

3. Решить получившуюся систему.

Решим способом подстановки систему уравнений:

Пример 1) 3x+2y=9

2x-3y=-0. 5.

Рассмотрим новую систему, в которой одним из уравнений является какое-нибудь уравнение данной системы, например 3х+2y=9, а другим - уравнение, в котором одно из неизвестных выражено через другое неизвестное из второго уравнения системы, например, х=3y-0. 5

Новая система

3x+2y=9, x=3y-0. 5

2 новая система равносильна исходной, то есть имеет те же решения, что и первоначальная.

Заменим полученную систему такой, у которой одно уравнение первоначальное, а второе получено подстановкой в это уравнение неизвестного, выраженного через другое неизвестное:

3x+2y=9

3·3y-0. 5+2y=9.

Одно из уравнений полеченной системы не содержит переменной х, то есть имеет вид 0х+by=c.

Это означает, что решением этого уравнения системы является такая пара чисел (m;p), где р-решение второго уравнения, а m – любое число. Остается подставить найденное значение р. в первое уравнение системы и подобрать такое m, что пара чисел(m;р) является решением первого уравнения системы.

После упрощений получаем систему:

3x+2y=9,

9y-1. 5y+4y=18;

3x+2y=9

13y=19. 5

3x+2y=9 y=1, 5.

подставив найденное значение y=1,5 в первое уравнение, получим систему:

3x+2·1,5=18 y=1. 5

3x=6 y=1,5; x=2, y=1, 5.

получившаяся система двух уравнений с двумя неизвестными x+0y=2 y+0x=1, 5; равносильна первоначальной, то есть имеет те же корни. Поэтому пара чисел (2;1,5) является решением первоначальной системы.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ

Идея метода заключается:

1. Умножить обе части первого или второго уравнения, так чтобы получились равные модули, но противоположные знаки;

2. Почленно сложить полученные равенства;

3. решить получившуюся систему уравнений.

Решим способом сложения систему уравнений

3x+2y=9,

2x-3y=-0, 5.

Рассмотрим новую систему, в которой коэффициенты при одном из неизвестных, например при y, имеют равные модули, но противоположные знаки. Чтобы получить такую систему, достаточно умножить обе части первого уравнения на 3, второго – на 2:

3x+2y=9, ·3

2x-3y=-0,5; ·2

9x+6y=27,

4x-6y=-1.

Получим новое уравнение, почленно сложив полученные равенства:

13х=26.

Рассмотрим теперь систему, в которую входят уравнение 13х=26,полученное в результате сложения, и одно из уравнений первоначальной системы, например второе:

2х-3y=-0,5.

Одно из уравнений последней системы не содержит переменной y, то есть имеет вид ax+0y=c. Это означает, что решением этого уравнения системы является пара чисел (m;р), где m – решение уравнения 13x=26, а р - любое число. Остается подставить найденное значение m во второе уравнение системы и подобрать такое р, что пара чисел (m;р) является решением второго уравнения системы.

После упрощения имеем систему: x=2,

2x-3y=-0,5.

После подстановки найденного значения х во второе уравнение системы, получаем: x=2,

2·2-3y=-0, 5; х=2,

-3y=-4,5; х=2, y=1, 5.

Полученная система двух уравнений с двумя неизвестными х+0y=2, y+0x=1, 5.

равносильна исходной и потому пара чисел (2;1,5) является решением первоначальной системы.

Пример:

х - 2у + 3z = 6

2х + 3y - 4z = 20

3х - 2y - 5z = 6

x - 2y + 3z = 6

7y - 10z = 8

3х - 2y - 5z = 6

x - 2y + 3z = 6

7y - 10z = 8

58z = -116

x - 2y + 3(2 = 6

7y - 10·2 = 8

x - 2(4 + 3(2 = 6

Ответ: х=6 у=4 z=2

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ

Каждое из уравнений системы двух уравнений с двумя неизвестными можно рассматривать как формулу, которая задает функцию (одна переменная является аргументом, а вторая функцией).

Идея графического способа:

1. построить графики функций, заданных каждым из уравнений системы;

2. найти координаты точки пересечения построенных прямых (если они пересекаются).

Абсцисса и ордината точки пересечения и есть та пара чисел, которая является решением системы.

Например, решим графически систему x+y=2,

2x-3y=9.

Каждое из уравнений системы задает линейную функцию, график которой есть прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух точек.

Например, прямой x+y=2 принадлежат точки (0;2) и (6;-4). Прямой 2x-3y=9 принадлежат точки (0;-3) и (6;1). Отметим найденные точки и проведем прямые.

2х + Y + 1z = 11

х + Y + 2z = 8 а) по формулам Крамера

Решение а) Найдем определитель системы = А =5. Так как ≠ 0, то по теореме Крамера система имеет единственное решение.

Вычислим определители матриц 1, 2, 3, полученных из матрицы А, заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

3 -1 1 1 3 1 1 -1 3

1= 11 1 1 =20; 2= 2 11 1 =10; 3= 2 1 11 =5

8 1 2 1 8 2 1 1 8

Теперь по формулам Крамера

1 20 2 10 3 5 х1= = 5 =4; х2= = 5 = 2; х3 = = 5 =1

В конце решения системы можно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы, и убедиться в том, что они обращаются в верные равенства.

3х + 4у + 2z = 8

2х - 4y - 3z = -1

х + 5y + z = 0

2 -4 -3

2 -4 -3

=3(-4+15)- 4(2+3) +2(10+4)= 33-20+28=41

Решение существует и единственно.

-1 -4 -3

=-5(-24+15) +(-32+4)=110-28=82

1 82 х1= = 42 =2

2 -1 -3

(-24+2)+(-3-16)=-22-19= -41

2 -41 х2= = 41 = -1

2 -4 -1

=(-4+32) -5(-3-16) =28+95=123

2 123 х3= = 41 =3

Проверка:

3·2 + 4·(-1) + 2·3 = 8

2·2 - 4·(-1) - 3·3 = -1

2 + 4·(-1) + 3 = 0

5х + 8у - 1z = 9

2х - 3y + 2z = 7

Х + 2у + 3z = 1

0 -2 -16

0 -7 -4

=8(1-14)= -104

=(-2)(-4)

23 -13 0

22 26 0

= -2(13(

= -26(23-11) = -312

1 -312 х1= = -104 = 3

12 23 0

16 22 0

= -2(4(

= -8(33-46)= -104

1 104 x2= = -104= -1

=0, х3=0

Ответ: х1=3, х2= -1, х3=0

Проверка:

5·3 + 8·(-1) = 7

2·3 - 3·(-1) = 9

3 + 2·(-1) = 1

Примеры второго порядка:

= 2(0-(-3)(1=2-3=-1,

= 3(3-2(2=9-4=5

= 6(1-8(3=6-24=-18

Преимущества способа:

1. простой алгоритм, минимум знаний;

2. больше внимания уделяется вычислительным навыкам.

Недостатки способа:

1. Большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей: а) большие коэффициента; б) если =0 (т. е. не всегда можем использовать)

РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СПОСОБОМ ГАУССА

Решение методом Гаусса состоит в преобразовании системы к треугольному виду, что достигается исключением неизвестных х из второго и третьего уравнений и у-из третьего уравнения. Последовательное исключение неизвестных осуществляется с помощью элементарных преобразований, приводящих к равносильной системе, к которым относятся:

1) перестановка уравнений;

2) умножение обеих частей одного уравнения на любое отличное от нуля число;

3) прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на и тоже число.

Основная идея метода Гаусса:

1) путем элементарных преобразований добиваются, чтобы в первом уравнении при первой неизвестной коэффициент был равен единицы;

2) избавляются от первой неизвестной во втором, третьем и т. д. уравнениях;

3) избавляются от второй неизвестной во втором, третьем и т. д. уравнениях;

4) избавляются от третьей неизвестной во втором, третьем и т. д. уравнениях;

5) получим уравнение с одной неизвестной, найдя которую, совершим обратный ход по системе вверх и последовательно определяем значения всех остальных неизвестных.

Все преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, удобнее применять не к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Получающиеся при этом матрицы называются эквивалентными и соединяются знаком:

2 1 1 2 2 1 1 2 1 -2 1 -3 1 -2 1 -3

3 -1 2 -1 ( 1 -2 1 -3 ( 2 1 -1 2 ( 0 5 -1 8

-2 -1 2 4 -2 -1 2 4 -2 -1 2 4 0 0 3 6

(вертикальной чертой отделены элементы матрицы А).

Были проведены следующие действия:

1) из элементов второй строчки вычли элементы первой строки;

2) первую и вторую строки поменяли местами;

3) к элементам второй строки прибавили соответствующие элементы первой строки, умноженные на ( -2);

4) к элементам третьей строки прибавили соответствующие элементы второй строки.

Полученной матрице соответствует система уравнений: х – 2у + z = -3

5y – z = 8

3z = 6.

Решая уравнение снизу вверх, имеем z=2, у=2, х= -1.

Ответ: х= -1, у=2, z=2.

ПРИМЕР:

х - 2у + 3z = 6

2х + 3y - 4z = 20

3х - 2y - 5z = 6

Приведем данную систему к треугольному виду. Для этого каждый раз, умножая и почленно прибавляя, мы получим систему с одной неизвестной.

Умножим первое уравнение на -2 и почленно прибавим ко второму уравнению:

x - 2y + 3z = 6

7y - 10z = 8

3х - 2y - 5z = 6

Умножим первое уравнение на -3 и прибавим к третьему уравнению:

x - 2y + 3z = 6

7y - 10z = 8

4y - 14z = -12

Для упрощения записи систему можно было опустить. Чтобы получить треугольную матрицу коэффициентов, умножим второе уравнение на -4 и прибавим к третьему, умноженному на 7:

x - 2y + 3z = 6

7y - 10z = 8

58z = -116

Система приведена к треугольному виду.

Чтобы упростить запись преобразований, в методе Гаусса преобразуют расширенную матрицу В:

1 -2 3 6

2 3 -4 20

3 -2 -5 6

1 -2 3 6

0 7 -10 8

0 4 -14 -12

1 -2 3 6

0 7 -10 8

0 0 -58 -116

Не трудно видеть, что В,, есть расширенная матрица системы. Приведение матрицы коэффициентов к треугольному виду называется прямым ходом. Обратный ход метода Гаусса заключается в последовательном решении системы:

-58z=-116

7y-10(2=8

x=8 х-2(4+3(2=6

Ответ:х=8,y=4, z=2

Чтобы убедиться в правильности полученного решения, надо его подставить в исходную систему:

8 - 2·4 + 3·2 = 6

2·8 + 3·4 - 4·2 = 20

3·8 - 2·4 - 5·2 = 6

Пример:

3х - 2y + z - 4j = 0

2х - 3y - 2z + j = 0

4х - Y + 4z - 9j = 0 так как система однородная, то матрица В отличается от матрицы А нулевым столбцом свободных членов, который можно опустить при преобразованиях прямого хода.

3 -2 1 -4

2 -3 -2 1

4 -1 4 -9

1 -1 -1 3

0 3 2 -6

0 6 4 -5

3 -2 1 -4

0 -5 -8 11

0 0 0 0

3x - 2y = -z + 4j

- 5y = 8z - 11j

Обратный ход метода Гаусса:

y=-8 z+11j

-5y=8z-11j

3х-2(-8z+11j)=

-z+4j 3х=-z+4j+(-16z+22j)

5 5 х= -7z + 14j

Ответ: х= -7 z+14j, y= -8z +11j.

5 5 5 5

Чтобы убедиться в правильности полученного решения, его надо подставить в исходную систему:

3(-7z+14j) -2(8z+11j) +z-4j=0

5 5 5 5

2(-7z+14j) -3(8z+11j) -2z +j=0

5 5 5 5

4(-7z+14j) -(-8z+11j) +4j-9z=0

5 5 5 5

Ответ: х=2 у=1. 5

3х+4у+2z=8

2х- 4у- 3z =-1 х + 5у+ z = 0

3 4 2 8 0 -11 -1 8 0 0 41 123

2 -4 -3 -1 ( 0 -14 -5 -1 ( 0 -14 -5 -1

1 5 1 0 1 5 1 0 1 5 1 0

41z=123 z=3

-14y-5(3=-1 y=-1 x+5(-1)+3=0 x=2

Ответ: х=2 у=-1 z=3

Проверка:

3(2+4(-1)+2(3=8

2(2-4(-1)-3(3=-1

2+5(-1)+3=0

Примеры второго порядка:

2 -3 0. 5

6 -6 -1

13 0 26

2 -3 -0. 5

13х=26 х=2

2(2-3у=-0. 5

-3у=-4. 5 у=1. 5

Преимущества способа:

1) универсальный характер, и поэтому наиболее часто используется в практических расчетах, т. е. можно решать когда =0, получаем всегда ответ (решение есть, решений нет, множество решений);

2) менее объемный по сравнению с другими.

Недостатки способа:

1) не зная матриц, законов преобразований, невозможно работать с матрицей, т. е. требует дополнительных знаний.

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ

Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений на основе прогноза выпуска продукции по известным запасам сырья.

ПРИМЕР:

Задача: обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов:S1S2S3/ нормы расхода каждого их них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Вид сырья Нормы расхода сырья на одну пару, усл. ед Расход сырья на 1 день, усл. ед.

Сапоги Кроссовки Ботинки

S1 5 3 4 2700

S2 2 1 1 800

S3 3 2 2 1600

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает х1 пар сапог, х2 пар кроссовок и х3 пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

5х1 + 3х2 + 4х3 = 2700

2х1 + х2 + х3 = 800

3х1 + 2х2 + 2х3 = 1600

Решая систему любым способом, находим(200,300,200), т. е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300-кроссовок и 200 пар ботинок.

МОДЕЛЬ ЛЕОНЬТЬЕВА МНОГООТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКИ

Макроэкономика функционирования многоотраслевого хозяйства требует баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой- потребителем продукции, выпускаемой другими отраслями.

Производственная сфера хозяйства представляет собой n отраслей, каждая из которых производит свой однородный продукт. Для обеспечения своего производства каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период времени; в ряде случаев такой единицей служит год.

Введем следующие обозначения:

• хi - общий объем продукции i-ой отрасли (её валовый выпуск);

• хij- объем продукции i-ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью при производстве объема продукции хj;

• уi – объем продукции i-ой отрасли, предназначенной для реализации (потребления в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление граждан, удовлетворение общественных потребностей, содержание государственных институтов и т. д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышлнности состоит в том, что валовый выпуск i-й отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой форме (гипотеза линейности или простого сложения) балансовые соотношения имеют вид: хi=xi1+xi2++xin+yi, i=1,2,,n. (2. 4)

Уравнения (2. 4) называются соотношениями баланса.

Введем коэффициенты прямых затрат хij аij= xj , (i, j = 1,2,,n) (2. 5) показывающее затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты аij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т. е.

х ij=aijxj , (i, j = 1,2,, n), (2. 6) вследствии чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Обозначим х1 а11 a12 а1n y1

Х= х2 , А= а21 a22 а2n ,Y= y2

хn аn1 аn2 ann y3 где Х- вектор1 валового выпуска, Y- вектор конечного продукта, А- матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда систему (2. 4) можно записать в матричном виде:

X=AX+Y. (2. 8)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.

Перепишем уравнение (2. 8) в виде:

(Е-А)Х= Y

Если матрица (Е-А) не вырожденная, т. е. Е-А≠0, то по формуле (2. 7)

Х=(Е-А)-1Y.

Матрица S=(E-A)-1 называется матрицей полных затрат.

ПРИМЕР№1:

Отрасль потребление Конечный продукт Валовый выпуск энергетика машиностроение производство машиностроение 7 21 72 100

12 15 123 150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличивается вдвое, а машиностроение сохранится на прежнем уровне.

Решение:

Имеем х1=100,х2=150,х11=7,х21=12,х22=15; y1=71,y2=123.

По формуле (2. 5) находим коэффициенты прямых затрат: а11=0,07, а12=0,14, а21=0,12,а22=0,10, т. е. матрица прямых затрат

0,07 0,14

А= 0,12 0,10 имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности: max(0. 07+0. 12;0,14+0,10)= max(0,19;0,24)=0,24<1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска Х по формуле:

X=(E-A)-1Y (2. 10)

Найдем матрицу полных затрат S=(E-A)-1:

0,93 -0,24

Е-А= -0,12 0,90. так как Е-А = 0,8202≠0, по формуле (1,4)

1 0. 90 0. 14

S=(E-A)-1=0. 8202 0. 12 0. 93

По условию вектор конечного продукта Y= 123. тогда по формуле(1,7) получаем вектор валового выпуска:

1 0,90 0,14 144 179,0

Х=0,8202 0,12 0,93 123 = 160,5 , т. е. валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179,0 усл. ед. , а в машиностроительной- до 160,5 усл. ед.

Изучив все способы решения систем линейных уравнений, для меня самым удобным оказался метод Гаусса. Надо отметить, что выбор способа зависит от конкретной задачи(если коэффициенты громоздкие, то нужно смотреть как преобразовать матрицу, исходя из свойств матриц).

Существенным недостатком решения систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей(особенно, порядка больше трех).

Разобрала задачи экономического содержания, увидев что линейная алгебра используется при нахождении объемов производства, прироста объемов производства, при балансовых соотношениях.