Метод координат. Кривые второго порядка

Нам всем была интересна эта тема, так как мы уже с ней были косвенно знакомы с 5-6 класса - на уроках наглядно-практической геометрии самостоятельно изготавливали эллипсограф, строили циклоиды и кардиоиды, разрезали пластилиновые конусы, и смотрели, что же будет в результате сечения, изготавливали картонный макет для рисования гипоциклоид и еще многое другое.

Работа над проектом началась с первых дней изучения темы <<Векторы и координаты>>. Для начала мы изучили данную учителем обзорную ознакомительную лекцию по кривым второго порядка, где были использованы материалы и главу 4, параграф 25. Решали задачи, данные к этому параграфу. А затем, обсудив и поняв, кто и что может сделать как можно лучше, распределили работу между всеми. Так как Математический месячник был намечен на ноябрь, решили, что окончательный вариант работы мы должны будем представить учителю в первую неделю после осенних каникул.

В классе 28 человек. Мы разделились на три группы, по восемь-девять человек в каждой. Одна взяла для разработки эллипс, другая - гиперболу, третья - параболу. Каждая группа выполняла: презентации по конкретным вопросам, придумывали и рисовали паспорт своей кривой (был определен только одинаковый размер) и изготовляли <<прибор>> для ее построения <<в живую>>.

В каждой группе был учащийся из наиболее продвинутых по информатике. В его обязанность входило: подобрать соответствующий видео материал и консультировать по необходимости остальных в технических вопросах.

В итоговой объединенной общей презентации <<Метод координат. Кривые второго порядка>> были использованы видеоролики сайта Математические этюды: elips как огибающая семейства прямых, giperbolaploskost, giperbola как огибающая семейства прямых, parabola как огибающая семейства прямых.

Основная часть работы была сделана до каникул и показана учителю. Учитель дал советы по исправлению и улучшению, но оставил за группами решение по оформлению каждой части: первая и третья группы решили сделать совокупность небольших презентаций (1 Эллипс, 3 Парабола), а вторая - одну, так как их лидер-координатор взяла на себя ответственность по работе над составлением общей презентации (2 Гипербола). Учитель предложила сделать защиту проекта в виде открытого урока для всей параллели 9-х классов. Приняли это предложение с интересом, так как никогда не выступали в качестве докладчиков перед такой большой аудиторией. Набросали план сценария мероприятия и отдали одному из учащихся выполнение главной презентации (ГЛАВНАЯ), которая стала ключевой в последующем мероприятии.

После каникул посмотрели дополненные презентации, уточнили Сценарий, оценили, как работают эллипсограф, гиперболограф и параболограф. Уточнили все оргмоменты и назначили ответственных (настройка и подключение проектора и ноутбуков, наличие магнитной доски и т. п. ). А также учитель согласовал дату проведения открытого мероприятия и составил на основе наших работ для всех домашнее задание, предложив организовать еще и конкурс по его выполнению.

В нашем Фотоотчете вы можете увидеть основные моменты защиты нашего проекта. Нам было приятно, что остальные девятиклассники проявили живой интерес к теме нашей работы, и нам удалось их заинтересовать.

Весь класс, все ребята подошли к работе творчески и со всей ответственностью, все поставленные задачи были решены и цели достигнуты. Так как необходимо было выбрать как авторов только десять человек, мы провели голосование и выбрали тех, кто внес самый весомый вклад в работу.

В наших планах продолжать коллективные проекты. У нас есть заготовки-презентации с прошлого года после изучения темы <<Подобие треугольников. Применение подобия при измерительных работах на местности>>. Мы предложили учителю что-нибудь подобное сделать для 8-х классов, когда они будут изучать эту тему. Если у нас это получиться, то мы поделимся с вами результатами.

Метод координат. Кривые второго порядка

В традиционной школьной программе по геометрии мало отведено места кривым линиям - в нее фактически включена только окружность. Эта скудность лишает и радости познания и важного аппарата для математических приложений.

Мы же сейчас с вами приступим к детальному рассмотрению трех интересных кривых - эллипса, гиперболы и параболы. Эти кривые вам должны быть (за исключением, возможно, эллипса) хорошо известны из школьного курса алгебры, хотя и в другом ракурсе. Но и с эллипсом в завуалированном виде вы тоже встречались при изучении окружности.

Мы с ребятами создали три группы, каждая из которых постарается представить вам в полном объеме каждую из этих кривых.

Итак - эллипс, гипербола и парабола

Родство между этими кривыми имеет простое алгебраическое объяснение: все они задаются уравнениями второй степени.

Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно: эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Их общее название - конические сечения или кривые второго порядка.

Первый термин связан с возможностью их построения в результате пересечения плоскости и простой канонической поверхности.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце IV в. до н. э. , были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые <<Конические сечения>> Аполлония Пергского, которые сохранились до нашего времени. Аполлоний, варьируя угол наклона секущей плоскости, получил все конические сечения из кругового конуса. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых - эллипс, парабола и гипербола.

В своих построениях Аполлоний использовал двуполостной круговой конус, поэтому впервые стало ясно, что гипербола - кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса.

Эллипс образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости;

Парабола - когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса;

Гипербола - когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

Математики имеют обыкновение изучать вещи, кажущиеся совершенно бессмысленными, но проходят века и эти исследования приобретают огромную научную ценность. Вряд ли можно найти лучший пример этому, чем исследование греками кривых второго порядка, отличных от окружностей.

Ведь вплоть до XVII века их исследования не имели практического приложения. И только Иоганн Кеплер (1571 - 1630 гг. ) доказал, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, причем Солнце находится в фокусе всех этих эллипсов.

Когда другой замечательный ученый - великий астроном, механик и физик Галилео Галилей (1564 - 1649 гг. ) доказал, что траектория движения пушечного снаряда - парабола, произошел прорыв в военном искусстве.

Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости - по эллипсу, а по достижении второй космической скорости - по параболе, далее - по гиперболе и в последних двух случаях покидает поле притяжения Земли.

Но обо всем об этом рассказ впереди.

Второй термин основан на том, что все эти линии - графики алгебраических уравнений второй степени, в правой части которых нуль, а левая представляет собой многочлен от двух переменных Х и У, причем сумма их показателей в каждом члене не превышает двух.

Можно доказать, что и сделали в свое время древние греки, что в любой системе координат уравнения этих кривых имеют вид: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, где a, b, c, d, e, f - числа, причем a[2] + b[2] + c[2] != 0

Верно и обратное утверждение: любое уравнение второй степени p(x,y) = 0 определяет эллипс, гиперболу или параболу, если левая часть не раскладывается на множители (иначе получилась бы пара прямых).

Отсюда теперь понятно происхождение общего названия для эллипсов, гипербол и парабол: кривые второго порядка.

Есть на карте МАТЕМАТИКИ далекая страна. Называется она АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ.

К нам в гости прибыли ее равноправные граждане, имеющие как все граждане любой страны свои Паспорта. Это Эллипс, Гипербола и Парабола.

Достойным последователем древнегреческих геометров, основателем и первооткрывателем этой далекой страны стал уроженец Франции Рене Декарт, блестящий философ, геометр и естествоиспытатель, стоящий в одном ряду с такими титанами как Аристотель, Леонардо да Винчи, Ломоносов, и который до сих пор удивляет нас силой своей мысли.

Исследование геометрических линий как графиков уравнений - главная идея основанной Декартом аналитической геометрии. В этой области математической науки решают две противоположные задачи:

* Для конкретного уравнения найти его график, используя геометрические термины,

* Для геометрически заданной линии написать ее уравнение.

При составлении уравнения линии обычно исходят из ее определения и ради четкости рассуждений вводят на плоскости прямоугольную систему координат.

Принято говорить, что точка М удовлетворяет уравнению, если ему удовлетворяют ее координаты. Множество точек, удовлетворяющих уравнению, называется его графиком.

В отличие от графика функции, на графике уравнения одному и тому же значению любой из координат может соответствовать более чем одна точка графика.

Итак, мы начинаем с презентации эллипса. (переходы к папке <<1 Эллипс>>).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Теперь следующая кривая - гипербола

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Дошла очередь познакомить вас с параболой. (переходы к папке <<3 Парабола>>).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от точки F, называемой фокусом параболы и прямой l, называемой директрисой параболы.

Составление уравнений линий по их геометрическим свойствам - одна из основных задач аналитической геометрии.

С именем Декарта связана также большая группа кривых - это так называемые Овалы Декарта.

Самая знаменитая из них - <<декартов лист>>, придуманная им в 1638 году.

<<О, как абстрактны и корявы корни,

И как прекрасен и логичен лист!>> Заключительное слово учителя:

Мы предлагаем вам, ребята, провести дома все несложные опыты, о которых мы вам рассказали. И решить предложенные задачи. При этом мы объявляем конкурс на лучшее решение домашнего задания.