Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Многочлены и уравнения высших степеней

На протяжении всей истории человеческой культуры , математика, является ключом к познанию окружающего мира. Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях ,прежде всего , конечно в тех , которые связаны с естественными науками ,техникой и экономикой. Математика воспитывает в человеке интеллектуальную честность , объективность , стремление к постижению истины , а также способность к эстетическому восприятию мира , красоте интеллектуальных достижений , познание радости человеческого труда. (Дагодькина Н. Человечеству предстоит решать столь трудные проблемы , что без широкого слоя образованных и культурных людей не справиться ,поэтому каждый человек должен быть заинтересован в приобретении новых знаний

Тема моего доклада – многочлены и уравнения высших порядков. Многие великие математики работали над этой важной темой. Азарт решить , стремление достичь цели становилось и становится всепоглощающей. Теория многочленов и уравнений высших порядков занимает важное место в алгебре и математике в целом. Многие задания математических олимпиад содержат многочлены и уравнения.

Уравнения высших степеней , решаются с помощью формул, элементарных функций, а так же с помощью схемы Горнера и теоремы Безу.

В учебниках мы знакомимся с многочленами , действиями над ними , разложениями многочленов , с несколькими видами уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить познавательный интерес и эффективность изучения многочленов и решений уравнений высших степеней.

Каждый ученик должен уметь верно и рационально выполнять действия над многочленами и решать уравнения высших порядков. Так как в некоторых случаях можно их решать с помощью схем , только для этого необходимо помнить алгоритм составления схем и его применение Это может пригодиться на экзамене ЕГЭ , при поступлении в ВУЗы.

Таким образом, возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения. Все сказанное выше определяет актуальность темы выполненной работы.

Проблема исследования заключается в умении решать сложные уравнения используя схему Горнера , теорему Безу и различные методы.

Понятие многочлена.

Арифметические операции над многочленами. Произведение вида ахn, где а – отличный от нуля числовой коэффициент, а n – неотрицательное число, называется степенью одночлена.

Два одночлена ахn и bxk называется подобными, если n = k. Замена суммы двух подобных одночленов ахn + bxk на одночлен (а + b)хn называется привидением подобных членов.

Многочленом (полиномом) n-й степени относительно переменной величины х называется выражением вида

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an, где n – неотрицательное целое число; a0, a1, a2, , an-1, an – коэффициенты многочлена, причем коэффициент a0, называемый старшим коэффициентом, считается не равным нулю.

Многочлен первой степени называют также линейным многочленом, многочлен второй степени – квадратным, а многочлен третьей степени – кубическим многочленом.

Каждое слагаемое называется членом многочлена.

Из определения многочлена n-й степени следует, что существуют многочлены n-й степени для любого неотрицательного n. В частности, любое отличное от нуля действительное от нуля действительное число является многочленом нулевой степени. Число 0 также считается многочленом;

Действие над многочленами

Любой многочлен с числовыми коэффициентами, содержащий только одну букву х и ее степень, можно записать в стандартном виде:

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an,

Два многочлена, представленные в стандартном виде, тождественно равны, если их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях.

Особое место в теории многочленов занимает деление одного многочлена на другой. С делимостью многочленов тесно связано решение алгебраических уравнений высших степеней. Рассмотрим на примере способ деления уголком.

делимое

10х2 – 7х – 12 5х + 4 - делитель

10х2 + 8х 2х – 3 - частное

-15х – 12 - первый остаток

-15х – 12

0 - остаток

Остаток равен нулю, поэтому многочлен Р(х) разделился на многочлен Q(x) нацело.

Вообще, если многочлен Р(х) степени n ≥ 1 делится нацело на нулевой многочлен Q(x), и в результате деления получается многочлен М(х), то справедливо тождественное равенство

Р(х) = М(х) • Q(x).

Это равенство называют формулой деления многочленов. Рассмотрим следующий пример:

3х4 + 2х2 – 1 х2 + х

3х4 + 3х2 3х2 – 3х + 5

3х3 + 2х2 – 1

3х3 – 3х2

5х2 – 1

5х2 + 5х

-5х – 1

На этом деление многочлена 3х4 + 2х2 – 1 на многочлен х2 + х заканчивается, так как степень остатка -5х – 1 меньше степени деления х2 + х.

Обратим внимание на то, что степень частного равно разности степеней делимого и делителя, а степень остатка всегда меньше степени делителя.

Вообще, если многочлен Р(х) степени n ≥ 1 делится на многочлен Q(x) степени k ≥ 1, k ≤ n, и в результате деления получается многочлен М(х) и остаток R(х), то справедливо тождество

Р(х) = М(х) ∙ Q(x) + R(х),

Это тождественное равенство называют формулой деления многочленов с остатком.

Итак, чтобы разделить многочлен Р(х) на многочлен Q(x), нужно;

1. разложить делимое и делитель по убывающим степеням х;

2. разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;

3. первый член частного разделить на делитель, результат вычисть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4. чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступили с белимым и делителем в пунктах 2 и 3.

Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, степень которого меньше степени делителя. (Колягин Ю. №5-c. 27]).

1. Схема Горнера.

Выполним деление многочлена Р(х) = 2х3 – 3х + 5 на многочлен Q(x) = х – 4. Выполним деление уголком:

2х3 – 3х + 5 х – 4

2х3 – 8х2 2х2 + 8х + 29

8х2 – 3х + 5

8х2 – 32х

29х + 5

29х + 116

Английский математик Вильям Джордж Горнер (1786-1837) изобрел простую схему деления многочлена на двучлен x + b. Посмотрим, как работает эта схема при делении многочлена из примера.

2 0 -3 5

4 2 8 29 121

Р(х) = (х – 4)(2х2 + 8х + 29) + 121.

В первой строке этой схемы записаны последовательно коэффициенты многочлена Р(х), начиная с первого.

Слева, в нижней строке стоит число b, а далее записаны коэффициенты многочлена - частного и остаток.

Вычисления по схеме Горнера проходят так:

1. под первым коэффициентом делимого a0 (в нашем случае a0=2) пишется еще раз этот коэффициент;

2. под коэффициентом делимого a1 (в нашем случае 0) пишется число b1 = a0b + a1 (в нашем случае 8 = 2 ∙ 4 + 0);

3. под коэффициентом а2 (в нашем случае -3) пишется число b2 = b1b + а2 (в нашем случае 29 = 8 ∙ 4 – 3); под коэффициентом а3 (в нашем случае 5 – свободный член) пишется число b3 = b2b + а3 (в нашем случае 121 = 29 ∙ 4 + 5); b3= R – остаток.

Теорема Безу

Дан многочлен

Р(х) = 2х4 – 3х3 + 7х2 – 10х – 16.

Необходимо найти Р(-1); Р(1); Р(0); Р(2).

Р(-1) = 2 ∙ (-1)4 – 3 ∙ (-1)3 + 7 ∙ (-1)2 – 10 ∙ (-1) – 16 = 2 + 3 + 7 +10 -16 = 6.

Аналогично получим:

Р(1) = -20; Р(0) = -16; Р(2) = 0.

Например, корень многочлена равен 2, так как Р(2) = 0. Разделим многочлен Р(х) = 2х4 – 3х3 + 7х2 – 10х – 16 на двучлен х – 1. Воспользуемся схемой Горнера.

2 -3 7 -10 -16

1 2 -1 6 -4 -20

Сравнивая результаты решения задач 1 и 2, заметим, что остаток от деления данного многочлена Р(х) на х – 1 равен значению этого многочлена при х = 1, то есть R = Р(1) = -20.

Этот факт не случаен. Он выражает знаменитую теорему Этьена Безу(1730-1783) – французский математик.

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен значению этого многочлена при х = а:

Р(а) = R.

Доказательство. Запишем формулу деления многочленов с остатком:

Р(х) = (х – а)Q(х) + R.

Заметим, что остаток R не содержит х, так как делитель х – а – многочлен первой степени. При х = а из равенства получаем

Р(а) = (а – а)Q(а) + R или Р(а) = 0 ∙ Q(а) + R, то есть R = Р(а).

(Колягин Ю. №5-c. 27]).

Разложение многочлена на множители

Разложение многочлена на множители – это значит представить его в виде произведения многочленов или многочленов и одночленов. Разложить многочлен на множители можно способом вынесения за скобки общего множителя, способом группировки или с помощью формул сокращенного умножения.

1. Рассмотрим на примерах: а) 2а + 2b

Общий множитель – 2.

2а + 2b = 2(а + b) б) 5х2 – 5ху

Общий множитель – 5х.

5х2 – 5ху = 5х(х – у) в) 32а3b6 + 48а5b2 – 80а4b3

Общий множитель – 16а3b2.

32а3b6 + 48а5b2 – 80а4b3 = 16а3b2(2b4 + 3а2 – 5аb)

2. а) 16 – 25х2

16 – 25х2 = (4 – 5х)(4 + 5х) б) 49а2 – b4

49а2 – b4 = (7а)2 – (b2)2 = (7а – b2)(7а + b2) в) n6 – n4 + 2n3 + 2n2в) n6 – n4 + 2n3 + 2n2 = (n6 – n4) + (2n3 + 2n2) = n4(n2 – 1) + 2n2(n + 1) = n4(n + 1)(n – 1) + 2n2(n + 1) = n2(n + 1)(n3 – n2 + 2).

3. а) х6 – у6 х6 – у6 = (х3)2 – (у3)2 = (х3 – у3)(х3 + у3) = (х – у)(х2 + ху + у2)(х + у)(х2 – ху + у2)

4. а) (а – х) – b(a – x)

(a – x) – b(a – x) = (a – x)(1 – b)

Таким образом , разложили многочлены на множители. Разложение многочленов будет необходимо при решении уравнений.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Метод разложения на множители.

Уравнение вида axn + a xn-1 + + а1 x + a,=0, где a , а1, ,, a- действительные числа ( коэффициенты ), п-натуральное число , а х – искомая неизвестная величина , при a≠0 уравнение называется алгебраическим уравнением п-го порядка

Алгоритм решения

• при п=1 –линейное уравнение

• при п=2 – квадратное

• при п=3 уравнение третьего порядка

• при п=4 уравнение четвертого порядка

• при п>5 уравнение высших порядков

Абель Н. Х. доказал ,что не существует единой формулы , которая бы выражала корни любого алгебраического уравнения п –го порядка через его коэффициенты при помощи конечного количества арифметических операций.

Существует несколько методов решения алгебраических уравнений

• метод разложения на множители

• метод подстановки

• метод строгой монотонности

• метод сравнения множеств значений

• метод перебора и др.

Рассмотрим метод разложения на множители.

В общем варианте эта идея этого метода выражена следующую цепочку преобразований данного уравнения f(x) = g(x) f(x) – g(x) = 0 φ1(x) φ2(x) = 0.

Далее рассматривают равносильную совокупность систем

φ1(x) = 0, φ2(x) = 0,

1 ) φ2(x) – имеет смысл; 2) φ1(x) – имеет смысл; либо совокупность двух уравнений: а) φ1(х) = 0; б) φ2(х) = 0.

Во втором случае могут быть получены посторонние корни, поэтому здесь обязательна проверка корней или иной их анализ на пригодность.

В случае уравнения (1) правая его часть равна 0, причем доступными значениями неизвестной х являются любые действительные числа.

Пример. Одним из основных способов разложения на множители при этом служит прием выгодной группировки слагаемых. По цели, которая достигается этой группировкой, полезно осознано выделять следующие случаи.

1. Вынос за скобку некоторого общего выражения.

2. Выполнения полных квадратов вида а2 ± 2аb + b2.

3. Выделение разности квадратов a2 – b2.

4. Выделение полных кубов вида a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b2.

5. Выделение суммы (разности) кубов а3 ± b3.

Этот список легко продолжить, если (в случае углубленного изучения математики) иметь в виду алгебраические формулы для (a ± b)n, an – bn, a2k+1 + b2k+1, (a + b + c)k и другие.

Кроме того, для получения искомого разложения эти подходы могут быть использованы в комбинации друг с другом.

Метод подстановки.

Суть этого метода по отношению к уравнению f(x) = g(x) состоит в том, чтобы найти функции t = φ(x) и y = h(t), для которых при любом x € D(f) D(g) (т. е для любого допустимого значения х рассматриваемого уравнения) выполняется равенство f(x) – g(x) = h(φ(x)).

В этом случае достаточно решить уравнение h(t)=0 , а затем для каждого его корня tрешить уравнение φ(x)= t,

Совокупность всех полученных таким образом корней x € D(f) D(g) уравнений (*) будет искомым множителем решением исходного уравнения. Функция t = φ(x) называется в подобной ситуации подстановкой.

В случае алгебраических уравнений , как правило , в роли φ(x) применяются многочлены

(х²- 7х + 13 )²- ( х-3)(х-4)=1

Решение. Пусть t= х²- 7х + 13. Тогда данное уравнение в силу ( х-3)(х-4)= х²- 7х + 12

Можно записать в виде t² -t=0.

Отсюда t=0, t=1.

Осталось решить два квадратных уравнения

1) х²- 7х + 13=0

2) х²- 7х + 13=1

Ответ: 3;4.

Пример. (2-я Соросовская олимпиада , 1 тур)

(12 х- 1 ) ( 6х-1)(4х-1) (3х-1)=5

Указание. Перемножить выражения в 1-й и 4-й , 2-й и 3-й скобках , применить подстановку t =12 х²-5х

Метод строгой монотонности.

Он основан на следующей очевидной теореме:

Если функция y = f(x) строго монотонна на множителе Х, то уравнение f(x) = а (с константой а в правой части) не может иметь на множестве Х более одного корня.

Действительно, иногда с помощью каких-либо приемов (или подборов) удается найти один корень данного уравнения. Если при этом к этому уравнению применена выше указанная теорема, то найденный корень – единственный. Процесс поиска корней будет закончен.

В связи с теоремой напомним, что функция f называется строго монотонной на множестве Х, если она либо возрастающая, либо убывающая на множестве Х.

Чтобы успешно применять приведенную выше теорему, необходимо:

1. знать промежутки монотонности элементарных функций;

2. уметь находить промежутки монотонности у более сложных функций.

С первым требованием все ясно – надо знать!

По отношению к алгебраическим уравнениям список таких фактов небольшой.

Что касается второй (на самом деле, основного) умения, то это тема специально разговора.

Чтобы не отклоняться от своего основного изложения, я здесь только перечислил основные возможные способы достижения этой цели: a) используя определение строгой монотонности; b) на основе свойств, указывающих как сохраняются или транспортируются поведение функции в смысле монотонности при совершении арифметических операций над ними, а также при создании сложной функции; с)с помощью производных

Метод сравнения множеств значений.

В основе следует теорема:

Если для всех х € Х выполняются неравенства f(x) ≥ a и g(x) ≤ a, то уравнение f(x) = g(x) на множестве Х равносильно системе двух уравнений с одним неизвестным f(x) = а, g(x) = а.

В общей ситуации сила метода ОМ 4 проявляется в том, что при переходе от уравнений f(x) = g(x) к системе (4) выражение f(x) и g(x), которое могут быть весьма различными по своему «типу», разъединяются и не «мешают» друг другу в процессе решения возникшей системы (это особенно характерно в тех случаях, когда уравнение имеет смешанный тип, т. Е. в левой и правой частях уравнения встречаются представители различных классов функции: иррациональных, тригонометрических, показательных и т. Д.

В случае уравнения с целыми коэффициентами известен метод поиска всех его рациональных корней, если они имеются. Метод основан на следующей теореме:

Если несокращенная дробь алгебраического уравнения степени n с целыми коэффициентами a1, I = 0, 1, 2, , n, то р – делитель свободного члена а0, а q – делитель старшего коэффициента аn. В частности, если аn = 1, то каждый рациональный корень х0 уравнения с целыми коэффициентами является целым числом, причем делителем свободного члена а0.

В силу этой теоремы для того, чтобы найти рациональные корни уравнения с целыми коэффициентами, достаточно проверить все дроби, для которых а0 делится (без остатка!) на р и аn делится на q. Рассмотрим на примере: х³ + 9х² + 11х – 21 = 0.

Все коэффициенты данного уравнения целые, при чем n = 3 и а3 = 1. Поэтому достаточно проверить только делители свободного члена а0 = -21. Число -21 имеет 8 (целых) делителей: ±1, ±3, ±7, ±21. Из них уравнению удовлетворяют х = -7, х = -3, х = 1. Поскольку у кубического уравнения не может быть более трех корней, найдены все корни.

{-7; -3; 1}.

Заметим, что если количество имеющихся рациональных корней у уравнения с целыми коэффициентами меньше, чем степень n, то сформулированная выше теорема также полезна. С ее помощью находят сначала все рациональные корни, а затем понижают степень уравнения. Эта возможность основана на теореме Безу.

Если х- корень алгебраического уравнения (1) , то многочлен

Р(х)= а х + а х++ах+а делится на х- х , т. е имеется многочлен Q(x) степени х-1 такой , что P= (х – х ) Q(х).

Таким образом , если х-корень уравнения (1) ,то для завершения достаточно найти коэффициенты многочлена Q(х) и решить уравнение Q(х)=0.

В результате выполнения работы «Многочлены и уравнения высших порядков» , можно сделать следующие выводы :

1) Изучение научно-методической литературы, опыт учителей показали, что использование Схемы Горнера , теоремы Безу и различные методы вычисления Уравнений высших порядков в школе является важным и интересным при обучении математики.

2) Изучение уравнений высших порядков на различных этапах изучения определенного по характеру математического материала является эффективным средством математической активизации учебной деятельности школьников , положительно влияющих на повышение качества знаний, умений и навыков учащихся, развитие умственной деятельности.

3) Основным при решении уравнений высших порядков является желание изучить углубленнее математический материал.

4)Работа над темой дала мне возможность коснуться изучения высшей математики , что в будущем мне будет необходимо

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)