Модуль числа

В школьном курсе математики для шестого класса имеется тема «Противоположные числа модуль», где рассматриваются упражнения, содержащие знак абсолютной величины. В данную работу включен материал, рассчитанный для рассмотрения в шестом классе на уроках или факультативных занятиях.

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В математике модуль имеет несколько значений, но в данной исследовательской работе модуль рассматривается как абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Рассматриваемые в настоящей работе примеры, содержащие знак модуля, а также решения уравнений и неравенств, содержащих модули в школьной программе изучается недостаточно, но предлагается на школьных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому актуальность темы исследования обусловлена этими факторами.

Цель исследования – изучать теоретические основы и дать некоторые рекомендации к решению уравнений и неравенств, содержащих модули.

Понятие модуля рационального числа

Число, которое отличается от данного только знаком, называется противоположным данному. Например: -4 и 4. Единственность числа, противоположного к данному, позволяет ввести для противоположного числа специальный символ. Число, противоположное к а, обозначается символом -а. Взаимно противоположные числа расположены на координатной прямой по разные стороны от 0 на одинаковом расстоянии от него. Например: числа -2 и 2 оба расположены на расстоянии 2 единиц от 0.

2 единицы 2единицы

Расстояние от начала отсчета до точки, обозначающей данное число, называется модулем этого числа. Иногда вместо «модуль» говорят абсолютная величина. Модуль числа а обозначается символом.

1. Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчёта, то их модули равны:

2. Модуль числа 0 считается равным 0: это число находится на «нулевом расстоянии» от самого себя:

3. Как и любое расстояние между двумя точками, модуль не может быть отрицательным. Значит, для любого числа а выполняется неравенство:

Но геометрическое определение бывает не всегда удобно. Сформирую то же самое определение в буквенном виде. Я заметила, что модуль положительного числа а – само число, модуль отрицательного числа – противоположное ему число –а, модуль числа 0 – само число 0. Наглядно эту ситуацию можно представить в виде блок-схемы:

Модулем (абсолютной величиной) рационального числа a называется само это число, если а ≥ 0, и противоположное число -а, если а < 0. Модуль числа a обозначается a. Итак,

Например: , так как 2>0

, так как -3<0

Формула расстояния между двумя точками на координатной прямой

Если a и b - две точки на координатной прямой, то расстояние между ними p(a; b) выражается формулой p(a; b)=a − b. Ясно, что p(a; b)= p(b; a). Например, p (− 2; 5) = − 7= − (− 7) = 7.

Примеры, содержащие знак модуля

Пример 1 Отметить числа на координатной прямой, если известно, что:

1. а>0; b<0; ;

Решение: Расстояние от 0 до а должно быть больше расстояния от 0 до b.

b a b 0 a

2. a<0; b>0; ;

Решение: Расстояние от 0 до а должно быть меньше расстояния от 0 до b.

Пример 2 Определи, истинно или ложно высказывание. Если высказывание ложно, то построй его отрицание

Ответ: Высказывание ложно. Отрицание:

Пример 3 Найди модули чисел и напиши соответствующие равенства. Расположи числа в порядке возрастания модулей, и вы узнаете город, в котором я живу.

-600; +24,6; -105,03 +59,5; -234; +79,9; -10,01. -172 -0,75

Ответ: Советский.

Пример 4. Выполните действия и вы узнаете мою фамилию:

Уравнения с модулем

Пример 5. Решите уравнение: =5

Решение.

Пользуясь понятием «расстояние», =5 означает расстояние от 0 до х равно 5. Значит, х = 5; х = -5 5 5

Ответ: 5 и -5

Пример 6. Решите уравнение: = -3

Решение: Расстояние не может быть отрицательным

Ответ: Нет решений.

Пример 7. Решите уравнение =5

Решение:

Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:

Для этого:

1. находятся критические точки, т. е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;

2. разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;

3. на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.

4. Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

Покажем это на примере:

Критическая точка находится после решения уравнения: х+1=0, откуда х = -1

1. При х< - 1, получаем уравнение -(х+1)=5, х+1= -5 х = -6. Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.

2. При х -1, получаем уравнение: х+1=5, откуда х=4. Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.

Ответ: -6 и 4

Неравенства с модулем

I. Рассмотрим неравенства, которые решаются с помощью понятия «расстояние».

Пример 8. Найдите множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству: а) <3

Решение: Расстояние от 0 до х меньше 3.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Ответ: б) 2< <5

Решение: Расстояние от 0 до х меньше 5, но больше 2.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Ответ:.

II. Рассмотрим неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Решения неравенств находится аналогично решению уравнений подобного рода Рассмотрим это на примере.

Пример 9. Решить неравенство x + 4 ≥ 1.

Решение.

1) Критическая точка находится решением уравнения x + 4 = 0, откуда x = − 4.

2) Рассмотрим промежуток x < − 4. На нем исходное неравенство принимает вид −( x + 4) ≥ 1.

Решая это неравенство, найдем x ≤ − 5. Так как x < − 4 и x ≤ − 5, то решением исходного неравенства будет промежуток x ≤ − 5

3) Рассмотрим промежуток x > − 4. На нем исходное неравенство принимает вид x + 4 ≥ 1, откуда x ≥ − 3.

Так как x > − 4 и x ≥ − 3, то решением исходного неравенства будет промежуток x ≥ − 3.

4) Учитывая случаи 2) и 3), окончательно имеем x ≤ − 5 и x ≥ − 3.

Ответ. x ≤ − 5 и x ≥ − 3.

7. Уравнения с параметром.

а) Решить в зависимости от а уравнение: x+3 = a

Решение.

1. Рассмотрим случай, когда а<0. Как и любое расстояние между двумя точками, модуль не может быть отрицательным. Для любого числа а выполняется неравенство:

Значит, уравнение не имеет решений.

2. Рассмотрим случай, когда а = 0. Тогда получим уравнение x+3 = 0. Используя определение модуля числа , решим уравнение х+3=0 Значит, х= -3.

3. Рассмотрим случай, когда а > 0. Также используя определение модуля числа, получим два уравнения: x+3 = а и x+3 = - а. Тогда, х = а – 3 и х = - а – 3

Ответ: при a < 0 уравнение не имеет решений.

при a = 0 x = - 3.

при a > 0 x = а – 3, x = - а – 3.

Приложение

Числа всякие нужны,

Числа всякие важны.

Научитесь вы ребята

Их сложить и вычитать,

Разделить и умножать,

И их модули вычислять!