Наглядный материал для построения графиков функции

В наше время растет интерес учащихся к изучению разделов математики с использованием информационных технологий. Использование компьютерных программ для построения графиков функций, изучение их свойств и закономерностей, дает за минимальное количество времени рассмотреть большое количество примеров функций разных видов. Данная статья предназначена в помощь учителям при изучении функции, а также ученикам с целью заинтересовать математикой, информатикой, показав возможности использования технологий на уроках.

Современное состояние науки требует нетрадиционных подходов к обучению. Ученики, вовлеченные в работу, получат необходимые навыки построения функции графически, использовать компьютерные программы, научатся анализировать свойства функций, находить закономерности и делать выводы.

Исторические сведения о функциях

В математике идея функции родилась с понятием переменной величины в первой половине XVII в. Многие математики изучали функцию и понимали её по-разному. Одни думали, что функция- это зависимость ординаты точки кривой от ее абсциссы, а другие, что это изменяющаяся в зависимости от времени координата движущейся точки. Впервые термин «функция» ввёл в 1694 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716), который является основоположником математического анализа. За свою жизнь он изучал много наук, но больше всего он посвятил себя математике, ему принадлежат многочисленные труды в этой науке (формула Лейбница, исследование о методе дифференцианального (1684) и интегрального (1686) исчислений и др. ). Функциями он называл абсциссы, ординаты и другие отрезки, связанные с точкой, описывающей некоторую линию. То есть функция связывалась у него с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем многие учёные рассматривали функцию как аналитическое выражение, такая точка зрения на неё сохранилась на протяжении всего XVIII в. Но уже в 1817 г. выдающийся чешский математик, философ и богослов Бернард Больцано (1781-1848), основные работы которого относятся к теории множеств (в которую он внёс важный вклад) и математическому анализу, определяет функцию как зависимость одной переменной величины от другой.

Очень часто удобным способом задания функции является аналитический, то есть задание функции при помощи уравнения или формулы. Также известное значение имеет и старейший табличный способ задания функции. Его примерами могут служить разные математические и специальные таблицы, применяемые в науке и технике.

С помощью систем координат функцию можно задать геометрически, графическим способом. График функции чаще всего используют для геометрической интерпретации функции, но иногда и для ее задания.

Кроме аналитического, табличного и графических способов, в современной науке довольно часто прибегают к словесному заданию функций, то есть к словесной формулировке закона соответствия.

Знакомство с графиками функций начинаем в декартовой системе координат. Она названа в честь великого французского математика Рене Декарта (1596-1650), который провёл много исследований в этой области.

Для построения графиков функций будем использовать компьютерные программы 3D Grapher, Advanced Grapher.

Начальные сведения получаем, изучив линейную функцию вида ах+ву+с=0, графиком которой является прямая. Изменения графика мы наблюдаем при изменении коэффициентов и значений свободного члена. При положительном значении а (красный, синий), анализируя график функции, видим, что функция возрастает на всей

области определения, при отрицательном значении а (желтый), функция убывает на всей области определения. Движение графика вдоль оси ОУ (зелёный, синий), происходит за счет изменения значений с. При записи коэффициента а дробным числом – меняется угол наклона прямой относительно оси ОХ (синий).

Следующей мы рассмотрим функцию вида у=ах2+вх+с, графиком которой является парабола. Из построенных графиков видно, какие условия необходимы, чтобы график проходил через начало координат. Когда ветви направлены вверх, а>0(синий, красный, желтый), когда вниз а<0 (зеленый). Удобно рассмотреть симметрию графика, видно как изменяется расстояние между ветвями параболы при изменении первого коэффициента.

Увеличив степень неизвестного, получаем кубическую функцию у=х3, графиком которой является кубическая парабола. Наглядно видно условия возрастания и убывания функции.

Свойства обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола зависят от коэффициентов и значений свободных членов. Ветви гиперболы могут располагаться как в I и III четвертях (красный), так и во II и IV (зеленый).

Преобразования тригонометрических функций, изменение области значений, периодичность, укажут синусоиды, косинусоиды и график функции тангенс.

Изменения свойств, перемещения вдоль оси ОУ (желтый), функции у=, достигаем путем изменений знаков коэффициентов и свободных членов. При положительном коэффициенте график располагается в I четверти (красный), функция возрастает, а при отрицательном – график расположен во II четверти и функция убывает (синий).

Проанализировав данные можно сделать вывод, что расположения и свойства графиков на прямую зависят от выбранных коэффициентов, их знаков, значений свободных членов.

Исследование графиков функций в полярной системе координат

Давайте рассмотрим графики в полярной системе координат, я бы хотел остановиться на этих примерах.

Если построить графики кривых Гидо Гранди (1671-1742) «Розы», полярное уравнение которых имеет вид

ρ=a sin kφ или

ρ=a cos kφ, где a и k – константы, которые считаем положительными числами. От значения а, зависит размер лепестка, от значения k – количество лепестков. По этой теме очень много работ ученых: древнегреческого математика Архимеда (ок. 287-212 до н. э. ) «Спираль Архимеда» рисунок, шотландского математика Колина Маклорена (1698-1746) «Трисектриса Маклорена.

Попробуем рассмотреть подобные функции в пространстве в сферической системе координат. Для этого воспользуемся программой 3D Grapher. Увеличение коэффициентов приводит к неожиданным изменениям графиков функций. График, состоящий из линий ограничивающих сферу получили при заданных a(u,v,t)=5u, b(u,v,t)=5v, R(u,v,t)=cos(5t). А с функцией sin(t) мы таких результатов не получили.

После проведенной работы мы пришли к выводу, что возможности построения графиков функций с помощью интерактивных технологий неограниченны и оставляют большое поле действия для каждого ученика, заинтересовавшегося этой темой.

Вопросы кривых рассматривались не только в математике. Примеры спирали или золотой спирали мы встречаем на фресках прославленного живописца Рафаэля выполненные в 1509-1510 годах. Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «Избиение младенцев» или только «чувствовал» ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Маркантинио Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром.

В школе широко используются задания на построение и исследование графиков функций. Я предлагаю для изучения этих тем использовать компьютерные программы: 3D Grapher, Advanced Grapher; и рассмотрев предоставленные мной материалы, разработать свои аналогичные задания.

Эти задания можно дать в качестве домашней работы. Они будут особенно полезны школьникам, обучающимся по программам с информатико-математическим уклоном. Достоинство – простота выполнения, наглядность результата, объемное цветное изображение позволяет привить интерес к математике, развить эстетический вкус.

Статья способствует развитию познавательных интересов, повышению информационной грамотности, фундаментальному математическому образованию.