Нахождение наибольшего, наименьшего, значений функции на промежутке

Нахождение наибольшего (наименьшего) значений функции на промежутке

Наибольшим (наименьшим) значением функции на называется такое число , что существует такое, что для всех из.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывная на функция может принимать либо на концах промежутка (если это числа), либо в критических точках, лежащих внутри промежутка.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего на значений функции, непрерывной на :

1) найти и – значения функции на концах промежутка

2) найти критические точки функции внутри промежутка

3) найти значения функции в критических точках

4) из всех найденных значений выберите наибольшее и наименьшее; они и будут наибольшим и наименьшим значением функции на.

Если непрерывная функция имеет на промежутке I единственную точку экстремума и этот экстремум максимум (минимум), то в этой точке достигается наибольшее (наименьшее) значение функции.

Алгоритм решения задач на отыскание наибольших (наименьших) значений величин, с использованием метода анализа

Изложенный выше метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к решению разнообразных прикладных задач. При этом действуют по следующей схеме:

1) задача переводится на язык функций. Для этого выбирают наиболее удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(х);

2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

3) выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

Примеры задач

В сопротивлении материалов доказывают, что сопротивление изгибу балки прямоугольного сечения пропорционально ее ширине x и квадрату ее высоты y: (см. рисунок). Какое сечение должна иметь балка наибольшего сопротивления изгибу, вырезанная из цилиндрического бревна радиуса R?

Решение. Из рисунка видно, что x и y связанны соотношением. Поэтому. Значит, надо найти наибольшее значение функции на отрезке. Производная этой функции имеет вид:

Приравнивая ее к нулю, получаем уравнение, , корнями которого являются числа и. На отрезке лежит лишь корень. Значит, надо сравнить значения функции при , , 2R. В точках 0 и 2R. эта функция обращается в нуль. Наибольшее значение она имеет при. При этом значении имеем: Отсюда находим, что. Так как , то на практике принимают, что должно выполнятся условие

Задача 2. Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О, по направлению к О. В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О, скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.

А) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?

Б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?

Решение. А) пусть катер отправляется через часов от момента, когда оба корабля находились в 65 км от О и был в пути Т часов, т. е. в момент отправления катера первый корабль находится на расстоянии от О, в момент прибытия катера второй корабль находится на расстоянии от О, а путь катера 25T км; составим уравнение , после упрощения получаем:

(1) возьмем производную по и приравняем ее к нулю. Получим. Решив полученную систему, найдем. Найденное значение не может быть ничем иным, как наименьшим значением Т, поскольку такое наименьшее Т существует, а при соответствующее.

Так можно решить задачу при помощи производной. Однако можно обойтись и без методов анализа. Соотношение (1) можно рассматривать как квадратное относительно. Его дискриминант должен быть неотрицательным. Получаем для Т неравенство , откуда. Попробуем решить через квадратный трехчлен пункт б). Пусть катер отправляется в момент , прибывает на второй корабль в момент и возвращается в момент. Время катера. Получаем два соотношения.

Таким образом, и - корни квадратного уравнения

Поскольку , , то наименьшее значение будет при ,.

Эта задача напоминает нам о том, что, даже владея таким мощным аппаратом, как математический анализ, не следует забывать о методах элементарных, о том, что они не исчерпали свои возможности.

Методы вычисления наибольших и наименьших значений без применения производной

При решении целого ряда задач применение производной приводит к неоправданно громоздким вычислениям и, как следствие, к большим затратам времени и ошибкам. Избежать всего этого помогут методы, исключающие использование производной: замена переменной, применение классических неравенств, использование монотонности функции и др. Продемонстрируем эти методы с помощью задач.

Замена переменной

С помощью подходящей переменной решение многих задач на вычисление наибольшего (наименьшего) значений функции может быть сведено к исследованию квадратичного трехчлена на некотором промежутке.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение. Пусть , Тогда , ,. Решение задачи свелось к вычислению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на отрезке. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Так как абсцисса вершины параболы равна 2, то. Поэтому на функция является возрастающей. Следовательно, ,. Если , то ,. Если ,то.

Ответ: при , ,при ,.

Применение классических неравенств

Неравенство Коши

Суть этого неравенства состоит в том, что для любых двух неотрицательных чисел a и b справедливо неравенство, называемое неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел:

Знак равенства в (1) достигается в том случае, когда a=b. Важным следствием неравенства Коши является следующее: для любых положительных чисел a и b и любого отличного от нуля действительного числа t: причем знак равенства достигается в том случае, когда т. е.

Найти наибольшее значение функции.

Решение. Заметим, что. При выполнены, очевидно, неравенства. Применим неравенство :. Поэтому , причем знак равенства достигается лишь если.

Ответ:.

Неравенство

Для любых двух действительных чисел a и b справедливо неравенство причем знак равенства достигается в том и только в том случае, когда.

Задача 3. Найти наименьшее значение функции.

Решение. При , причем знак равенства достигается тогда, когда

Ответ:.

3) Неравенство (4)

Задача 4. Найти наибольшее значение функции.

Решение. Из неравенства (4) следует, что. Но тогда ,. Таким образом,. При этом , т. е.

Ответ: при.

4) Неравенство (5)

Задача 5. Найти наименьшее значение функции.

Решение. Введем векторы. Тогда ,. Так как , то. Знак равенства достигается тогда лишь тогда, когда , т. е. когда

Ответ:.

5) Неравенство (6)

Неравенство (6), как правило, применяется для вычисления наибольших значений функции и используется при этом в координатной форме.

Задача 6. Найти наибольшее значение функции.

Решение. Введем векторы. Тогда , (так как ). В силу неравенства (6) , поэтому , причем знак равенства достигается лишь тогда, когда , , откуда

Заметим, что при векторы также являются сонаправлеными.

Ответ:.

Использование монотонности функции

При вычислении наибольших и наименьших значений монотонных функций во многих случаях можно обойтись без применения производной, основываясь лишь на определении возрастающей (убывающей) функции.

Найти наименьшее значение функции.

Решение. Функция является возрастающей на D(y), как сумма двух возрастающих функций. Поэтому.

Геометрические методы

Доказать, что среди всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет треугольник с вершинами в основаниях высот данного.

Решение. Возьмем произвольную точку D на стороне остроугольного треугольника ABC. Найдем на AB и AC точки F и E так, чтобы при заданном D периметр DEF был наименьшим Пусть D1 и D2 – точки, симметричные D относительно сторон AC и AB. В качестве вершин E и F следует взять точки пересечения отрезка D1D2 со сторонами AC и AB. В самом деле, периметр треугольника DEF равен длине отрезка D1D2, а периметр любого другого треугольника DE1F1 равен длине ломаной D1E1F1D2>D1D2. Осталось определить положение точки D, при котором D1D2 будет наименьшим. Рассмотрим треугольник D1AD2. Угол при вершине A фиксирован (он равен 2BAC),D1A=D2A=DA Значит D1D2, будет наименьшим, если наименьшим является отрезок AD, т. е. AD –высота треугольника ABC. Поскольку мы доказали существование и единственность минимального (по периметру) треугольника DEF, то , повторяя суждения относительно других сторон треугольника ABC, придем к выводу, что E и F также должны быть основаниями соответствующих высот треугольника ABC.

В данной задаче был использован метод симметрии. Другие задачи, решаемые геометрическими методами в приложении 3.