Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Некоторые сведения об окружности Аполлония

Аполлоний Пергский (Перга, 262 г. до н. э. — 190 г. до н. э. ) — один из трёх (наряду с Евклидом и Архимедом) великих геометров античности. В честь Аполлония назван кратер на Луне. Аполлоний прославился в первую очередь выдающейся работой «Конические сечения», из которой развилась аналитическая геометрия. В ней он дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса». Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата.

Из других заслуг Аполлония отметим, что он переработал астрономическую модель Евдокса Книдского, введя эпициклы и эксцентрики для объяснения неравномерности движения планет. Эту теорию позднее развили Гиппарх и Птолемей. Данные о многих его работах, к сожалению, весьма отрывочны, поскольку большинство из них утеряны. Несомненно, однако, что круг геометрических интересов Аполлония, получившего образование в Александрии, был необычайно широк. Он занимался построениями с помощью циркуля и линейки, гармоническим отношением четырех точек прямой, правильными многогранниками и многими другими вопросами геометрии.

По свидетельству древнегреческого математика Паппа Александрийского, Аполлоний уделял большое внимание геометрии окружностей. Известны задача Аполлония о нахождении окружности, касающейсяся трех данных окружностей, теорема Аполлония и окружность Аполлония.

В этой статье мы познакомимся с некоторыми сведениями об окружности Аполлония – одном из важных и красивых геометрических мест точек и покажем, как с помощью этой окружности эффективно и изящно решается ряд непростых геометрических задач.

Окружность Аполлония

Хорошо известно определение окружности как геометрического места точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки.

Однако дать определение окружности можно и другим способом. Например: окружность есть геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек А и В постоянно и не равно 1. Такая окружность называется окружностью Аполлония точек А и В.

Задача об окружности Аполлония состоит в следующем: «Найти геометрическое место точек (ГМТ) М, отношение расстояний от которых до данных точек А и В, постоянно”. Ее геометрическое решение помещено в трактате “О кругах” (II век до н. э. ) и оно довольно сложно, а если использовать метод координат, то решение будет простым и доступным.

Используя метод координат, получим уравнение фигуры, образуемой ГМТ, а далее изучим ее геометрические свойства.

Введем прямоугольную систему координат, выбрав в качестве ее начала одну из двух заданных точек A и B (например, B), а ось x – так, чтобы вторая точка (пусть это будет точка A) лежала на положительной полуоси.

В данной системе координат точка B имеет координаты (0;0), а точка A – (a;0), где a >0. Пусть M (x,y) – произвольная точка, удовлетворяющая условию задачи, то есть AM = k · BM , где k – заданное положительное число. Если k =1, то это означает, что искомое множество состоит из точек, равноудаленных от данных точек A и B. Из свойств серединного перпендикуляра к отрезку следует, что искомым множеством в этом случае будет прямая, проходящая через середину отрезка AB перпендикулярно оси x.

Пусть теперь k ≠1. Согласно формуле для нахождения расстояния между точками, заданными своими координатами, имеем и условие принадлежности точки M искомому множеству можно записать в виде

Это равенство эквивалентно равенствам

Выделяя полный квадрат, получим

Это уравнение окружности с центром в точке , лежащей на оси OX , и радиуса

Полученная окружность носит имя древнегреческого геометра Аполлония.

Решим задачу о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника, которая является преамбулой к окружности Аполлония.

Пусть АQ – биссектриса внешнего угла A в треугольнике ABC. Докажем, что.

Поскольку АQ – биссектриса внешнего угла,. Проведем BN AC. Тогда и (внутренний накрест лежащий с ). Значит, BN=AB=c.

Из подобия треугольников CAQ и BNQ имеем: , или , что и требовалось доказать.

Биссектриса внутреннего угла А пересекает сторону ВС в точке L, для которой справедливо аналогичное соотношение:.

Далее рассмотрим задачу об окружности Аполлония, условие которой следующее: «Найдите ГМТ, расстояния от которых до двух данных точек С и В относятся как m : n».

Решение. Пусть X - одна из точек искомого ГМТ.

Соединим ее с точками В и С. Согласно условию,. Проведем внутреннюю (XL) и внешнюю (XQ) биссектрисы угла X в треугольнике ХВС. По свойству внутренней биссектрисы,. По свойству внешней биссектрисы,. Следовательно,.

Поскольку точки В и С заданы, легко находятся точки L и Q, которые делят отрезок ВС в отношении m : n внутренним и внешним образом. При этом (как угол между биссектрисами смежных углов). Тогда, найдя точки L и Q, на отрезке LQ как на диаметре строим окружность. Это и есть окружность Аполлония.

Докажем, что всякая точка X окружности Аполлония удовлетворяет условию. Проведем через В прямую

КТ ХС.

Из подобия и :. Из подобия и :. Поскольку , то. Но прямоугольный. Тогда точка В - середина гипотенузы КТ. Следовательно, ВК = ВТ = ХВ. Заменив в равенстве отрезок ВК на ХВ, получим.

Окружности Аполлония для данных точек С и В соответствующие различным значениям к ≠1 представлены.

Использование окружности Аполлония при решении геометрических задач

Рассмотрим ряд геометрических задач, которые решаются с помощью окружности Аполлония. В данной работе мы не даем развернутого решения задач, а показываем лишь направление их рассмотрения. С помощью теорем, доказанных в предыдущем разделе, и теорем, изучаемых в школьном курсе геометрии, это будет достаточно просто.

Задача 1. Постройте треугольник ABC по , ,.

Решение. Строим отрезок ВС = .

Поскольку отношение задано, находим точки L и Q. На LQ как на диаметре строим окружность Аполлония. Вершиной A треугольника ABC будет являться любая из точек пересечения окружности Аполлония с прямой, удаленной от ВС на расстояние.

Задача 2. Докажите, что прямая О1А (где О1 - центр окружности Аполлония) касается окружности, описанной около ∆ ABC.

Решение. Если мы докажем, что, то это и будет означать, что O1A касается окружности, описанной около ∆АВС.

Действительно, угол АСВ является вписанным в эту окружность. И если , то он является углом между касательной и хордой в этой окружности.

Очевидно, что О1А = O1L = RA (радиус окружности Аполлония), (из ∆ALB). Тогда и. Найдем , что равносильно требуемому.

Задача 3. На прямой даны четыре точки А, В, С, D в указанном порядке. Постройте такую точку А, из которой отрезки АВ, ВС и CD видны под равными углами.

Решение. Пусть X - искомая точка. Тогда должно выполняться соотношение , т. е. точка X принадлежит окружности Аполлония, построенной для точек А, С и отношения.

Аналогично, , и точка X принадлежит окружности Аполлония, построенной для точек В, D и отношения.

Следовательно, X - точка пересечения двух ГМТ (двух окружностей Аполлония).

Заметим, что эти две окружности могут не пересекаться. В этом случае точки X нет.

Задача 4. На плоскости дан отрезок ВС. Найдите множество точек А плоскости таких, что медиана, проведенная из вершины С, равна АВ ( mc = c ).

Решение. По условию, СМ = АВ = mc. Продлим ВС до точки D так, что CD = ВС. Тогда по теореме Фалеса AD = 2mc. При этом АВ = mc. Значит, для отрезка BD необходимо найти геометрическое место точек А таких, что. Остается построить окружность Аполлония для отрезка BD и отношения 2:1.

Задача 5. Треугольник ABC вписан в окружность. Постройте на окружности такую точку D, чтобы выполнялось равенство

АС ∙ CD = АВ · BD.

Решение. Искомая точка D обладает тем свойством, что , где отношение известно. Тогда находим точки L и Q для отрезка ВС такие, что.

На LQ как на диаметре строим окружность Аполлония, которая пересечет данную окружность в точках D и D1.

Задача 6. Точки В и С лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды, имеющие общее начало.

Решение. Пусть В и С - данные точки на диаметре, X - общее начало двух равных хорд ХК и XT.

Чтобы ХК и XT были равны, они должны быть равноудалены от центра окружности (OE=OF). Из равенства треугольников ХЕО и XFO следует, что. Тогда ХО — биссектриса в треугольнике ХВС, и. Поскольку точки С, О, В заданы, то задано и отношение. Становится очевидным, что X — это точка пересечения соответствующей окружности Аполлония с данной окружностью.

Задача 7. В точках А и В посреди океана находятся два корабля. Они начинают двигаться прямолинейно и равномерно в неизвестных направлениях со скоростями 20 км/ч и 15 км/ч, пока не встречаются в точке С. Каково наибольшее возможное время их движения до встречи, если АВ = 50 км?

Решение. Поскольку отношение скоростей кораблей равно 4:3, то строим точки К и С2 , которые делят АВ в отношении 4:3 внутренним и внешним образом, и проводим окружность Аполлония.

Очевидно, что точка С2 окружности Аполлония будет искомой, когда время движения кораблей максимально: , или , откуда (км). Тогда для корабля, находящегося в точке В, имеем: 15·tmax = 150, и tmax = 10 (часов).

Использование окружности Аполлония для решения задач, связанных с нахождением наилучшей тактики преследования

Практическое применение окружность Аполлония находит при решении задач сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.

Рассмотрим простейший пример использования окружности Аполлония для решения задачи, связанной с нахождением наилучшей тактики преследования одного корабля другим.

Ясно, что если преследование ведется в неограниченном пространстве (океане), то наилучший метод – это постоянно держать курс на преследуемую цель. Однако далеко не всем понятно, что именно мы называем «наилучшим методом». Если, например, на преследуемом корабле не знают, что за ним ведется погоня, и поэтому он сохраняет свой курс независимо от наших действий, то у нас имеется лучший метод, чем просто держать курс на цель. Зная отношения скоростей , мы можем указать курс позволяющий догнать преследуемый корабль в кратчайшее возможное время. Для этого нужно найти все те точки, до которых корабли могли бы дойти от своих исходных позиций за одно и то же время (т. е. точки, отстоящие от них на расстояния, пропорциональные скоростям и ); эти точки составляют окружность Аполлония.

Если курс преследуемого корабля пересекает эту окружность, то следует держать курс на точку пересечения, если он ее не пересекает, то догнать корабль вообще невозможно. В последнем случае нужно постараться подойти к нему как можно ближе. Но это уже другая задача. В нашей работе мы рассмотрели лишь простейшую ситуацию.

Нижеследующая задача более интересная. Флибустьеры с острова Ямайка узнали, что на якоре перед Пуэрто-Бельо стоит испанский галион, груженый золотом. Как только закончится шторм, галион выйдет в Карибское море и возьмет курс на пролив между островами Гаити и Пуэрто-Рико. Флибустьеры тоже ждут конца шторма, поэтому выйти из Кингстона они могут лишь одновременно с испанцами. Какой курс следует взять флибустьерам после окончания шторма, чтобы по возможности не разминуться с испанцами?

Задача решается следующим образом. Флибустьеры при всех своих отрицательных качествах были непревзойденными мастерами в навигации. Поэтому они рассуждали так. Если бы было известно отношение скорости флибустьерского судна к скорости галиона, то можно было бы найти все точки, в которые их корабль и галион могут попасть одновременно. В самом деле, путь, который они пройдут до момента встречи, в раз больше пути, пройденного испанцами. Значит, все возможные точки встречи лежат на окружности Аполлония, определяемой равенством , где М — точки встречи, а точки А и В соответствуют Пуэрто-Бельо и Кингстону. Начертив на карте эту окружность, флибустьеры увидели бы, что курс галиона пересекает ее в двух точках. Поэтому, взяв курс на любую из них, они наверняка встретятся с испанцами, если, конечно, испанцев не перехватит кто-нибудь другой. Из этих последних соображений флибустьеры предпочли бы ту из двух точек, которая ближе к Пуэрто-Бельо. Но флибустьеры точно не знают, каково отношение скорости их корабля к скорости испанского галиона. Поэтому они построят на карте точку курса галиона, в которой это отношение принимает наименьшее значение, и в этой точке организуют засаду — встанут на якорь и будут ждать прибытия галиона. Во всяком случае, если в этой точке они не встретят галион, то в любой другой точке они его не встретят и подавно.

Математики имеют обыкновение изучать вещи, часто кажущиеся совершенно ненужными, но проходят века и эти исследования приобретают огромную научную ценность. Мог ли Аполлоний Пергский предположить, что окружность, названная его именем, будет изучаться школьниками спустя тысячелетия. Однако это, наверное, и не важно. Главное, видимо, состоит в том, что каждое новое знание порождает стремление идти дальше. Вот и эта работа даст кому-то знания, которые повлекут за собой стремление развить их и, возможно, внести что-то новое. Это новое будет еще одним шагом в развитии математики. А математика является одной из наук, способствующих прогрессу нашей цивилизации.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)