Неравенства, содержащие знак модуля

При изучении неравенств в общеобразовательной школе не хватает времени на рассмотрение неравенств, содержащих знак модуля. Поэтому мне стало интересно рассмотреть решения таких неравенств, тем более такие неравенства я встречала на олимпиадных заданиях и эти знания мне в дальнейшем пригодятся и на вступительных экзаменах.

Освоить некоторые способы решения неравенств, содержащие знак модуля.

Свойства модуля:

1. │а·b│=│a│·│b│ для любых чисел a и b.

2. = при в0.

3. а²= а² для любого числа а.

2). Простейшими из неравенств, содержащих модули, являются неравенства вида lxlи lxl.

Решить неравенство lxl- найти все точки x числовой оси, расстояние от каждой из которых до точки 0 не превосходит а. Понятно, что если а>0, то искомые x принадлежат промежутку [-а; а ]; если а=0, то x=0; если а<0, то решений нет.

Это рассуждение позволяет получить полезное утверждение: lxl

Проведя аналогичные рассуждения, можно показать, что lxl

При решении более сложных неравенств используют следующие равносильные преобразования, схожие с рассмотренными выше.

Решение неравенства вида │f(x)│ а, где а≥0 равносильно системе неравенств:

f(x) а, когда f(x) ≥0 f(x) ≥ -а, когда f(x)< 0.

Если а<0 , то множество решений такого неравенства пусто.

Пример 1. Решить неравенство │ x²+3x-2 │2.

Решение. Исходное неравенство при любом x R равносильно системе неравенств:

1) x²+3x-2 2 x²+3x-40 x[-4;1]

2) x²+3x-2≥ -2 x²+3x≥ 0 x(-;-3] [0;+)

Пересечение решений полученных неравенств является решением заданного неравенства.

Ответ: [-4;-3] [0;1].

Решение неравенства вида

│f(x)│ ≥ а, где а R равносильно совокупности неравенств:

f(x) ≥ а f(x) -а.

Пример 2. Решить неравенство │ 3x+4│≥4

Решение. Исходное неравенство при любом x R равносильно совокупности неравенств:

1) 3x+4 ≥ 4 x ≥ 0

2) 3x+4 - 4 3x -8 x -

Объединение решений полученных неравенств является решением заданного неравенства.

Ответ: (-;-] [0;+).

Предлагаем самостоятельно решить неравенства:

1)│x-2│4 Ответ: [-2;6]

2)│x+3│≥1,5 Ответ: (-;-4,5] [-1,5;+)

3) 3│x-2│< 5 Ответ:

4) │2x+1│>3 Ответ: (-;-2) (1;+)

5) │-4-3x│<1 Ответ:

3)Более сложными являются неравенства вида │f(x)│ g(x), где f(x), g(x)- некоторые функции действительного переменного x.

1)При g(x)<0 множество решений такого неравенства пусто;

2) При g(x)=0 заданное неравенство эквивалентно уравнению f(x)= 0;

3) При g(x)>0 исходное неравенство равносильно системам:

1) f (x) g(x), g(x) ≥ 0

2) f (x) ≥-g(x), g(x) ≥ 0

Решение неравенства вида │f(x)│ ≥ g(x) равносильно совокупности неравенств: f (x) ≥g(x), f (x) - g(x),

Пример 3. Решить неравенство│1-2x│ 3x-2.

Решение: Заметим, что 3x-2≥0, т. е. x≥ или x[;+∞)

На множестве x(;+∞) заданное неравенство равносильно системе двух неравенств:

1) 1-2x 3x-2 x≥

2) 1-2x≥- (3x-2) x≥ 1.

Пересечением решений полученных неравенств является x[1; +]

. Ответ: [1; +]

Пример 4. Решить неравенство │- x │> x+8.

Решение: Данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

1) - x > x+8 -2 x-8 > 0 x(-;-2) (4;+)

2) - x < - (x+8) +8< 0 нет решений

Объединяя решения полученных неравенств, получим решение заданного неравенства.

Ответ: (-;-2) (4;+)

Предлагаем самостоятельно решить неравенства:

1) │3x+1│< 2x+3 Ответ:

2) │5x-1│> 3- x Ответ: (-;-0,5) (;+)

3) │2x+5│> 3- 5x Ответ: (-; +)

4) │-x-3│> 13+x Ответ: (-; -8)

5) │-7x+2│< 2-x Ответ: (0;1)

6) │2-x-1│> 2+x+1 Ответ: (-;-1)

4)Теперь рассмотрим неравенства вида │ f ( x )│+│ f ( x ) │+. +│ f ( x )│V в, где символ V есть одно из неравенств: >, ≥, <,.

Решим неравенства по следующей схеме:

Область допустимых значений переменной заданного неравенства разбивается на множества, на каждом из которых знаки подмодульных выражений постоянны.

На каждом таком множестве исходное неравенство заменяется (с учётом знаков подмодульных выражений) эквивалентным ему неравенством, не содержащим абсолютных величин.

Объединение решений полученной таким образом совокупности неравенств является решением заданного неравенства.

Пример 5. Решить неравенство│2x+5│-│3-x│0,5

Решение. Область допустимых значений переменной – вся числовая ось.

Найдём точки, в которых подмодульные выражения равны 0:

2x+5=0, т. е. x = -2,5; 3-x = 0,т. е. x = 3.

Разобьём область допустимых значений полученными точками на множества:

(- ∞;-2,5), [-2,5;3), [3;+∞).

Определим знаки подмодульных выражений на каждом из полученных множеств

(-∞;-2,5) [-2,5; 3) [-2,5; 3)

2x+5 ─ + +

3-x + + ─

Таким образом, исходное неравенство│2x+5│-│ 3-x│0,5 равносильно совокупности неравенств:

1)при x<-2. 5 -(2x+5)- (3-x) 0,5

-2x-5- 3+x 0,5

-x 8,5 x≥-8,5 , x (-∞;-2,5).

2) при -2,5≤x<3 2x+5-(3-x) 0,5

2x+5- 3+x 0,5

3x -1,5 x -0, 5, x [-2,5;-0,5]

3) при x≥3 2x+5+(3-x) 0,5

2x+5+3-x 0,5 x -7, 5, решений нет. Объединяя решения полученных неравенств имеем ответ.

Ответ:[-8,5;-0,5]

Пример 6. Решить неравенство │-9│+│x-2│>5

Решение. Область допустимых значений переменной x-множество R, которое разбивается числами -3 ,2 и 3 на четыре промежутка (-∞;-3), [-3;2), [2;3), [3;+ ∞). Найдём знаки подмодульных выражений на каждом промежутке.

( -∞;-3) [-3; 2 ) [2; 3 ) (3;+ ∞)

x²-9 + ─ ─ +

x-2 ─ ─ + +

Исходное неравенство равносильно совокупности неравенств:

1)при x<-3, x²-9 +(2- x) >5 x²-9 +2- x>5 x²- x-12>0 x( -;-3)

2)при -3≤ x <2

9-x²+2-x>5 x²+ x-6<0 x[-3;2)

3) при 2≤x<3

9- x²+ x-2>5 x²- x-2<0, решений нет

4) при x≥ 3 x²-9+x-2>5 x²+ x-16>0 x(; +)

Объединяя полученные решения неравенств, получим ответ.

Ответ: (-;2) (;+)

Решите неравенства:

1)│ 1-х│+│ 2-х│>1; Ответ:(-;+)

2)│1- x│+│-3- x│ 4 Ответ: [-3; 1]

3)│3х+1│+│1-3 x│< 4 Ответ: (-;0) (;+)

4)│2 x²+ x-3│+│2 x²+ x-10│ 7 Ответ: [-2,5;-1,5] [1;2]

5). Теперь рассмотрим некоторые неравенства с параметрами.

Пример 7. Для всех значений параметра решить неравенство 2х-3>

Решение. Так как 2 x -3 ≥ 0, то при <0 неравенство верно для всех x R. При = 0 неравенство верно для всех x. При >0 неравенство равносильно совокупности двух неравенств: 1) 2 x -3 > , x>(+3)/2,

2) 2 x -3 <- , x<(3- )/2.

Ответ: Если <0, то x R; если = 0, то x (-;) (;+); если >0, то x (-;) (;+).

Пример 8. Для всех значений параметра решить неравенство x - +1.

Решение: Если +1< 0 <-1, то решений нет

Если +1= 0 = -1, то неравенство имеет вид x +1 0. Его решением является x= -1.

Если +1> 0 >-1, то неравенство равносильно системе неравенств:

Ответ: Если <-1, то решений нет; если =-1, то x=-1; если >-1, то x[-1; 2+1].

Пример 9. Для всех значений параметра решить неравенство x.

Решение: Неравенство равносильно системе:

Так как то квадратные трехчлены имеют следующие корни:

Решением первого неравенства является множество а решением второго неравенства – множество

Отсюда получаем, что если =0, то решением системы являются точки x=1и x=-1; если >0, то решением является отрезок ; если <0, то решением является отрезок.

Ответ: Если<0, то x ; если =0, то x =1; если >0, то x.

Для всех значений параметра решите неравенства:

1) x +< 3+2 Ответ: Если -, то нет решений; если > -, то x ( -4а -2; 2а+2).

2) x -3 >1- Ответ: Если >1, то x R; если =1, то x (-;3) (3;+); если <1, то x (-;4 а-1) (2 а+1;+);

3) Ответ: Если <0,то x R; если =0, то x (-;-) (-;) (;+); если 0<<2, то x (-;-) (-) (+); если , то x (-; -) (;+).

6). Знания решения неравенств с модулями я вполне могу применить при подготовке к ЕГЭ. Так например в книге «Вступительные испытания» под редакцией Ф. Ф. Лысенко я нашла такие задания:

Повышенный уровень1(частьВ)

224. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область определения функции у =.

Решение: Зная, что корень четной степени определен на множестве неотрицательных чисел, найдем множество всех чисел, которые не входят область определения заданной функции, решив неравенство: 3 x+2- x- 1< 0

Область допустимых значений переменной – вся числовая ось.

Найдём точки, в которых подмодульные выражения равны 0:

3x+2=0, т. е. x = -; x-1=0, т. е. x =1.

Разобьём область допустимых значений полученными точками на множества:

(- ∞;-), [-;1), [1;+∞).

Определим знаки подмодульных выражений на каждом из полученных множеств

(-∞;-) [-; 1) [1; +∞ )

3x+2 ─ + +

x-1 ─ ─ +

Исходное неравенство равносильно совокупности неравенств:

1) при x<-, -(3 x+2)+( x-1) < 0

-3 x-2+ x-1 < 0

-2 x < 3 x > -1,5 x(-1,5;- )

2) при- x< 1, (3 x+2)+ ( x-1) < 0

3 x+2+ x-1 < 0

4 x < -1 x < - 0,25 x[- ; - 0,25)

3) при x≥ 1, (3 x+2)- ( x-1) < 0

3 x+2- x+1 < 0

2 x < -3 x < -1,5, решений нет.

Объединяя полученные решения неравенств, получим ответ x (-1,5;- 0,25). Этот промежуток содержит одно целое число -1.

Ответ: 1.

225. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область определения функции у =.

Решение: Зная, что корень четной степени определен на множестве неотрицательных чисел и знаменатель дроби отличен от нуля, найдем множество всех чисел, которые не входят область определения заданной функции, решив неравенство: 5 x+1-2 x- 3 0.

Область допустимых значений переменной – вся числовая ось.

Найдём точки, в которых подмодульные выражения равны 0:

5x+1=0, т. е. x = -; 2x-3=0, т. е. x =1,5

Разобьём область допустимых значений полученными точками на множества:

(- ∞;-), [-;1,5), [1,5;+∞).

Определим знаки подмодульных выражений на каждом из полученных множеств

(-∞;-) [-; 1,5) [1,5; +∞ )

5x+1 ─ + +

2 x-3 ─ ─ +

Исходное неравенство равносильно совокупности неравенств:

1) при x<-, -(5 x+1)+(2 x-3) 0

-5 x-1+2 x-3 0

-3 x 4 x ≥ - x[-;-).

2) при- x< 1,5, (5 x+1)+(2 x-3) 0

5 x+1+2 x-3 0

7 x 2 x x[-;].

3) при x≥ 1,5, (5 x+1)-(2 x-3) 0

5 x+1-2 x+3 0

3 x - 4 x -, решений нет.

Объединяя полученные решения неравенств, получим ответ x[-; ]. Этот промежуток содержит два целых числа -1,0.

Ответ: 2.

Аналогично можно решить из этого задачника номера 226 и 227. Предлагаем решить самостоятельно.

226. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область определения функции у = ln(3х+7-х-9). Ответ: 9.

227. Найдите количество целых чисел, которые не входят в область определения функции у = log(7х-2-5х+6). Ответ: 5.

В данной научной работе были изучены неравенства, содержащие знак модуля. Рассмотрены некоторые способы их решения. Поставленная задача выполнена, сформулированы и описаны более краткие способы решения, основанные на определении модуля, применен метод интервалов, что значительно упрощает решение таких неравенств. Рассмотрены и решены некоторые неравенства с параметрами. А также рассмотрены задания из материалов ЕГЭ, в которых требуется умения решать неравенства с модулями.

Важным моментом является то, что рассмотренные способы решения неравенств, содержащих знак модуля, применимы в самостоятельном обучении каждого заинтересованного обучающегося в старших классах.