Особенности построения на клетчатой бумаге

Начиная обучение в школе, мы знакомимся с клетчатой бумагой. В клетчатых тетрадях мы решаем примеры и задачи, чертим геометрические фигуры. И даже не подозреваем, каким помощником она может быть при решении задач. В этой работе я рассмотрю клетчатую бумагу, как инструмент, с помощью которого можно выполнять различные построения, решать задачи.

Цель работы: изучение возможностей бумаги в клетку, для дальнейшего облегчения работы, увеличения скорости построений на уроках алгебры и геометрии.

Моя работа носит чисто практическую направленность. Выводы, к которым я пришла в результате выполнения работы легко применять на обычных уроках. Я буду рассказывать вам так, как рассказывала своим одноклассникам.

Основные понятия техники исследования

Допустим, клетчатая бумага - это сетка. Разделим линии сетки на 2 вида: горизонтальные и вертикальные. Точки пересечения этих линий назовем узлами, а расстояния между соседними узлами - шагом сетки, равным единице.

Для построения фигуры желательно, чтобы ее вершины, или как можно большее их количество, находилось в узлах сетки. Существуют 2 проекции отрезка с узлами в концах сетки: горизонтальная и вертикальная.

Таким образом, при помощи клетчатой бумаги можно делать рисунки от руки, не используя каких - либо технических средств (циркуль, транспортир, линейка).

Решение задач на построение

Я уже отмечала, что данная тема заинтересовала меня именно своей практической направленностью, поэтому и начну я с тех построений, которыми мы пользуемся очень часто на обычных уроках математики.

1. Середина отрезка

На клетчатой бумаге нарисован отрезок, концы которого находятся в узлах сетки. Найдем его середину.

Решение:

1. Построим прямоугольник ACBD, с диагональю АВ.

2. Проведем диагональ - CD, пересекающую диагональ АВ. Точка пересечения диагоналей будет являться и серединой отрезка АВ, т. к. в прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2. Окружность от руки

Проведем окружность на клетчатой бумаге, без помощи циркуля, с центром в узле сетки и радиусом 5, которая будет проходить через 12 узлов.

Решение:

1. Разместим 4 точки <<крестом>> 2. Из каждой строим равные треугольники со сторонами 1 шаг вверх и 3 шага клетки как вправо, так и влево. Отметим точки.

3. Используя полученные точки проведем окружность.

Точность данного построения можно доказать через равенство гипотенуз прямоугольных треугольников.

Построение некоторых отрезков, длины которых выражаются иррациональными числами

При решении геометрических задач на построение возникла необходимость в построении отрезков, длины которых выражаются иррациональными числами, например 2, 5 и т. д.

Данные длины можно получить через дополнительные построения (нахождение гипотенузы в прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора). Например:

Длины отрезков, равные 22, 32 можно получить путем увеличения значений длины катетов в определенное количество раз.

Построение графика линейной функции по заданному уравнению

Сначала рассмотрим в общем виде. Допустим, мы должны построить график функции y=kx+m

1. Начнем с первой точки. Это точка пересечения с осью ОY. При х=0, ее координаты (0;m).

2. Для построения второй точки рассмотрим х=1, тогда у=k*1+m=k+m, значит, вторая точка будет иметь координаты (1;k+m). Построим прямую.

На конкретных примерах это будет выглядеть так. Для функции у=2х+1 первая точка (0;1). Теперь складываем коэффициенты k и m, т. е. 2+1. От последней построенной точки делаем 1 шаг вправо и 2 шага вверх. Получим точку (1;3). Проведем прямую.

Рассмотрим функцию: у=-3х+4

Первая точка (0;4). Делаем еще 3 шага вниз и 1 шаг вправо. Проведем прямую.

Рассмотрим функцию: у=2х-3

Первая точка (0;-3). Делаем еще 2 шага вверх и 1 шаг вправо. Проведем прямую.

Рассмотрим функцию: у=-3х-2

Первая точка (0;-2). Делаем еще 3 шага вниз и 1 шаг вправо. Проведем прямую.

Решение геометрических задач

1. Медианы треугольника

В данном треугольнике с вершинами в узлах сетки проведем медианы, пользуясь одной лишь линейкой. Обязательно ли точка пересечения медиан является узлом сетки?

Решение:

1. Проведем прямоугольник, с диагональю - АВ.

2. В этом же прямоугольнике проведем вторую диагональ, пересекающую АВ в точке - D. Следовательно, точка D - середина отрезка АВ (в прямоугольник диагонали точкой пересечения делятся пополам).

3. Поведем прямоугольник с диагональю - АС.

4. В этом же прямоугольнике проведем вторую диагональ, пересекающую АС в точке - Е. следовательно, точка Е - середина отрезка АС (в прямоугольник диагонали точкой пересечения делятся пополам).

5. С оставшимся отрезком - ВС проведем аналогичные действия.

6. Проведем медианы к точкам D, E и F и тем самым решим задачу.

7. В данном случае медианы пересекаются не в узле сетки, следовательно, точка пересечения медиан не всегда является узлом сетки.

2. На n частей

Как разделить на заданное число n равных частей данный отрезок с концами в узлах сетки, пользуясь только линейкой?

Решение:

1. Отложим от точки В 5 клеток.

2. Отложим от точки А такое же количество клеток.

3. Построим параллелограмм с помощью отложенных нами отрезков и диагонали АВ.

4. Проведем параллельные линии с одной стороны параллелограмма к противоположной, содержащей 5 частей, следовательно, точки пересечения параллельных прямых с диагональю разделят ее на 5 частей (по теореме Фалеса).

3. Параллельные прямые, перпендикуляр к прямой

Через заданный узел сетки с помощью одной линейки проведем прямую, параллельную данной прямой, проходящей через два данных узла сетки. Затем проведем прямую, перпендикулярную данному отрезку с концами в узлах сетки.

Решение:

1. Из точки В начертим по вертикальной проекции шаг сетки.

2. Из этой точки проведем отрезок вниз по горизонтальной проекции в ближайший узел сетки ( в данном случае - на 2 клетки).

3. Соединим два отрезка прямой, получив при этом прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза лежит на прямой АВ.

4. От заданной точки С начертим вниз по вертикальной проекции шаг сетки и из этой точки проведем отрезок по горизонтальной проекции вправо на 2 клетки, и соединим два отрезка прямой. Получив, таким образом, прямоугольный треугольник, равный первому (по двум катетам).

5. Приложим линейку таким образом, чтобы через гипотенузу треугольника можно было провести прямую СС1.

6. Построим перпендикуляр из т. В на прямую СС1 так, чтобы он попал на вершину острого угла треугольника.

С помощью клетчатой бумаги можно решать и конкретные задачи, например:

4. С помощью клетчатой бумаги

На середине стороны АВ квадрата АВСD взята точка Е, а на диагонали АС - точка F, делящая диагональ в отношении AF:FC=3:1. Найдем угол DFE и отношение DF:FE.

Решение:

1. Поместив квадрат на сетку, с шагом в одну четвертую стороны квадрата, отметив при этом точки G и H, находящиеся в одном шаге от вершин B и D.

2. Из точки F, находящейся в равном расстоянии от обеих точек, проведем перпендикуляры GF и HF.

3. Полученные прямоугольный треугольники GFE и HFD - равны (по двум катетам: GF и HF, EF и DF). Следовательно, DF:FE=1:1.

4. Проведем прямую - ED, получив треугольник - EFD.

5. Обозначим угол GFE и равный ему угол HFD - S,а угол EFD - Q, тогда угол EFD=Q+S=90 градусов(AGFH - квадрат).

Ответ: DF:FE=1:1, угол DFE=90 градусов.

8. Вывод

Решив несколько задач по математике, я пришла к выводу, что:

I. Клетчатая бумага облегчает построение, т. к. клетка - это всегда квадрат, у которого все стороны равны и противоположные - попарно параллельны.

II. Вертикальные и горизонтальные линии на клетчатой бумаге можно использовать как оси координат для построения равных фигур с одинаковым количеством клеток.

III. С помощью клетчатой бумаги можно начертить графики линейных функций (прямые), без лишних расчетов.

IV. Мне и моим одноклассникам удается существенно экономить время, выполняя необходимые построения на уроках алгебры и геометрии, а также более точно выполнять построения <<от руки>>.

V. Правильные построения на клетчатой бумаге делают значительно более наглядными чертежи и <<подсказывают>> дальнейшие решения задач.

9. Планы на будущее

Возможности клетчатой бумаги в решении математических задач мной до конца еще не исследованы. С каждым годом мы начинаем решать более сложные задачи по математике. Надеюсь, что те знания, которые я приобрела, выполняя эту работу, мне пригодятся и в будущем.

Библиография.

1. И. Н. Сергеев, С. Н. Олехник, С. Б. Гашков, Примени математику.

2. Под редакцией С. М. Никольского, Математика Школьная энциклопедия.

3. А. Г. Мордкович, алгебра 7 Москва Мнемозина 2008.

4. Л. С. Атанасян, геометрия 7-9 Москва <<Просвещение>> 2004.

5. Гарднер М. Математические досуги, 2000.

6. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки, или Арифметика для всех, 1995.

7. Кордемский Б. А. , Русалев Н. В. Удивительный квадрат, 1952.

8. Математический цветник, 1983.

9. Мочалов Л. П. Головоломки, 1980.

10. Шарыгин И. Ф. , Шевкин А. В. Математика,1995.

11. http://www. problems. ru/

12. http://pedagogic. ru/books/item/f00/s00/z0000017/st067. shtml

13. http://www. mccme. ru/free-books/pdf/kukin. pdf

14. http://school-collection. edu. ru/catalog/rubr/1040fa23-ac04-b94b-4a41-bd93fbf0d55a/25437/

15. http://mmmf. math. msu. su/archive/20062007/z9-10/18. html