Оценка поведения функции у=ах[2]+вх+с и выявление роли коэффициентов а, в, с

Квадратичную функцию мы изучаем в 9 классе. Вспомним определение квадратичной функции. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у=ах[2]+вх+с, где х - независимая переменная, а, в и с - некоторые числа, причем а!=0.

Функция может быть задана различными способами: табличным, аналитическим (с помощью формул), описательным и графическим.

Табличный способ состоит в том, что все числовые значения аргумента располагают в одной строке, а значения функции - в другой строке так, чтобы каждому значению аргумента отвечало соответствующее значение функции. Например,

По этому принципу построены таблицы Брадиса и другие.

При аналитическом способе функция задается математической формулой, с помощью которой значение у вычисляется по заданному значению х. Например, дана функция у=х[2]. Положим х=1, тогда получим у=1. Иногда это записывают так: f(1)=1. При х=2 и х=5 соответственно найдем f(2)=4 и f(5)=25.

При описательном способе зависимость между х и у выражается словесным описанием. Например, у есть наибольшее целое число, не превосходящее х. Эту функцию принято обозначать [х]. Пусть х=2, тогда [х]=2. При х=5. 3 найдем [5. 3]=5, а при х=-2. 17 получим [-2. 17]=-3.

Все перечисленные выше способы обладают одним и тем же недостатком - плохой наглядностью. Наилучшим с этой точки зрения является четвертый способ задания функции- графический. Графический способ задания функции - это задание функции с помощью графика. В этой статье я исследовала характер поведения квадратичной функции и роль коэффициентов а, в и с.

К квадратичной функции приводят многие знакомые нам задачи. Это задачи о площади квадрата, круга, задачи о движении тела, брошенного вертикально вверх и другие. Изучение квадратичной функции мы начинаем с рассмотрения функции у=х[2]. Вообще, функцию у=х[2] можно начать рассматривать уже в 7-ом классе,если предложить нам некоторые методические советы. Так как мы уже подготовлены к математическим рассуждениям, поэтому, чтобы в дальнейшем облегчить построение графика, лучше сначало рассмотреть некоторые свойства функции. Имеются ввиду следующие свойства.

1. Если х=0, то у=0. 2. Если х=1, то у=1. 3. При любых других значениях х (х!=0) имеем у>0.

4. Противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции:х[2]=(-х)[2] при любых х.

5. При х>=0 функция у=х[2] возрастает, при х<=0- убывает, что легко установить на основании определения умножения рациональных (положительных и отрицательных) чисел.

Уже эти свойства функции у=х[2]позволяют осмысленно (а не просто <<по точкам>>) построить график простейшей квадратичной функции.

Проведенная работа является пропедевтикой изучения квадратичной функции. Дальнейший порядок изучения этой функции связан с изучением квадратного трехчлена и параллельного переноса графиков функций. Возможен следующий вариант изучения: а)у=ах[2]; б)у=ах[2]+к; в)у=а(х-m)[2]; г)у=а(х-m)[2]+к. Возникает вопрос: <<Как от коэффициента а зависит положение графика функции у=ах[2]+вх+с ? Какова роль коэффициентов а, в и с? Таким образом цель моей работы:

Определить роль коэффициентов при построении графика квадратичной функции.

Гипотеза: Может ли парабола быть графиком функции: а)у=ах[2]-ах+в; б)у=ах[2]+вх+а; в)у=ах[2]-х+а ?

Для достижения цели я ставила перед собой следующие задачи:

1) Рассмотреть функции: у=ах[2]; у=ах[2]+к; у=а(х-m)[2]; у=а(х-m)[2]+к.

2) Провести анализ данных функций.

3) Сделать выводы об оценке поведения функции у=ах[2]+вх+с и роли коэффициентов а, в и с.

Исследование я начала с рассмотрения функции у=ах[2]. При рассмотрении этой функции я должна установить роль коэффициента а. Выяснить как ведет себя функция в зависимости от коэффициента а. Затем рассмотрела функции у=ах[2]+к, у=а(х-m)[2], у=а(х-m)[2]+к, где исследовала геометрический смысл коэффициентов к и m. Проанализировав все рассмотренные функции, составила модели для исследования. И наконец, исследовала полученные модели и получила результаты исследования.

Функция у=ах[2]

Рассмотрим функцию у=2х[2] и построим ее график. Для этого построим таблицу значений: х

8 А теперь построим график функции у=12х[2]. Для этого построим таблицу значений: х

8 А теперь сравним графики этих функций. Получаем что, если а<1, то график функции у=ах[2] <<сжимается>> к оси абсцисс (по сравнению с графиком у=х[2]); если а>1, то график функции у=ах[2] по сравнению с графиком у=х[2] <<сжимается>> к оси ординат.

Функция у=ах[2]+к

Выясним, что представляет собой график функции у=12х[2]+3. С этой целью в одной системе координат построим графики функций у=12х[2] и у=12х[2]+3. Для этого составим таблицу значений:

У=12х[2]+3 х

Делаем вывод, что геометрически к означает ординату точки параболы с абсциссой 0. Другими словами, график функции сдвигается (переносится) вдоль оси ординат на к вверх, если к>0, и на к вниз, если к<0.

Функция у=а(х-m)[2]

Рассмотрим теперь функцию у=12(х-5)[2] и выясним, что представляет собой ее график. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=12х[2] и у=12(х-5)[2]. Составим таблицу значений для функции у=12(х-5)[2]: х

8 Сравнив эти графики получаем, что геометрически m означает абсциссу точки параболы с ординатой, равной 0. Значит, х=m является нулем функции у=а(х-m)[2]. Другими словами, график функции у=ах[2] переносится вдоль оси абсцисс на m вправо, если m> 0 и на m влево, если m< 0.

Функция у=а(х-m)[2]+к

Полученные выводы в главах 1, 2 и 3 позволяют понять, что представляет собой график функции у=а(х-m)[2]+к. Рассмотрим, например, функцию у=12 (х-3)[2]+2. Ее график можно получить из графика у=12х[2] с помощью двух параллельных переносов-сдвига параболы у=12х2 на 3 диницы вправо и на 2 единицы вверх.

График функции у=ах[2]+вх+с

Любую квадратичную функцию у=ах[2]+вх+с можно задать формулой вида у=а(х-m)[2]+n. Докажем это.

Выделив из квадратного трехчлена ах[2]+вх+с квадрат двучлена, получим ах[2]+вх+с=а(х+в2а )[2]-Д4а, где д=в[2]-4ас.

Обозначив -в2а буквой m, а -д4а - буквой n, получим ах[2]+вх+с=а(х-m)[2]+n.

Следовательно, график функции у=ах[2]+вх+с можно получить из графика функции у=ах[2] с помощью двух параллельных переносов- сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

График функции у=ах[2]- парабола. Значит, и графиком функции у=ах[2]+вх+с является парабола с вершиной в точке (m;n), где m=-в2а, n=-д4а. Осью симметрии параболы является прямая х=m.

Учитывая этот вывод, можно схематически изобразить график квадратичной функции.

Видно, что положение графика функции зависит от коэффициента а и дискриминанта Д.

Квадратичная функция в действии

Решение задач.

Чтобы раскрыть тему и сделать выводы об оценке поведения функции у=ах[2]+вх+с и роли коэффициентов а, в и с я рассмотрела более содержательные задачи и упражнения.

1)Может ли парабола быть графиком функции:а)у=ах[2]-ах+в; б)у=ах[2]+вх+а; в)у=ах[2]-х+а ?

Решение: а) найдем вершину параболы х0=-а2а=12, как мы видим не соответствует, значит ответ нет.

б) для функции у=ах[2]+вх+а у(0)= а> 0,с другой стороны, парабола имеет максимум, значит, должно быть а< 0, ответ нет.

в) вершина параболы у=ах[2]-х+а имеет абсциссу х0=12а. Так как ветви параболы направлены вверх, то а>0, значит, должно быть х0>0, а на чертеже х0<0,ответ нет.

2) График функции у=х[2]+рх+q. Изобразите графики функций: а) у=х[2]+рх-q; б) у=х[2]-рх+q; в) у=-х[2]+рх+q.

Решение:

3)Могут ли параболы быть графиками функций:

Решение: а) Нет. Вершины парабол имеют абсциссы одного знака, а на чертеже вершины расположены по разные стороны от оси ОУ. б)Нет.