По следам Шерлока Холмса или методы решения логических задач

«Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах.

Ему можно научиться только путём подражания или упражнения».

В школе на математических олимпиадах мы решаем много разнообразных логических задач. Чтобы успешно выступать на олимпиадах, надо очень хорошо решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать.

Логические или нечисловые задачи ещё называются нестандартными. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам.

Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни действий, но в то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами. Иногда логическая задача похожа на настоящий детектив, и начинаешь чувствовать себя знаменитым сыщиком Шерлоком Холмсом. Этот талантливый детектив распутал много интересных дел и решил ряд сложных задач, так почему бы не попробовать пойти по его стопам?

Я очень люблю решать задачи, но не всегда это бывает успешно. В этом году я посещаю элективный курс, где мы учимся решать логические задачи. Оказывается, есть определённые разнообразные методы их решения, зная которые можно легко получить ответ. Я решил изучить более подробно их и научиться хорошо решать такие задачи, чтобы успешно принимать участие в олимпиадах.

Метод рассуждений

Метод рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Задача 1

Аня, Женя, Нина спросили, какие оценки им поставили за контрольную работу по математике. Учитель ответил: «Плохих оценок нет. У вас троих оценки разные. У Ани не «3». У Нины не «3» и не «5». Кто какую оценку получил?

Решение:

Раз у Нины не «3» и не «5», значит, ей поставили «4», у Ани – не «3», значит, у нее может быть «4» или «5», но «4» уже поставили Нине, значит, у Ани – «5», тогда у Жени – «3».

Ответ: Аня – «5», Нина - «4», Женя – «3».

Задача 2

Имеются три карточки, одна из сторон которых – красная, зеленая или синяя, другая сторона у всех белая. На белой стороне одной из карточек написано «красный», на другой – «зеленый», а на третьей – «красный или синий». Ни одна из записей не соответствует действительности. Какого цвета каждая карточка?

Решение:

На третьей карточке написано «красный или синий», но эта запись не верна, значит, эта карточка зеленая. На первой написано « красный», но эта запись не верна, значит, на этой карточке может быть либо зеленый, либо синий, но зеленая уже занята, значит, эта карточка - синяя. Вторая карточка - красная.

Ответ: первая - синяя, вторая – красная, третья - зеленая.

Задача 3

Три подруги были в белом, синем, зеленом платьях и цветах каких же цветов. Известно, что только у Ани цвета платья и туфель совпадают. Ни платья , ни туфли Вали не были белыми, Наташа была в зеленых туфлях. Определить цвет платьев и туфель каждой подруги.

Решение:

Три подруги были в белом, зеленом, синем платьях и туфлях таких же цветов. Известно, ни платья, ни туфли Вали не были белыми, значит , она была либо в синем платье и зеленых туфлях или наоборот. Наташа была в зеленых туфлях, значит, у нее было синее платье, у Ани цвет туфель и платья совпадают: значит, у нее туфли и платье белого цвета.

Ответ: Аня была в белом, Наташа была в зеленых туфлях и синем платье, Валя – в синих туфлях и зеленом платье.

Задача 4

Алёша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит из школы домой на автобусе, другой – на трамвае, третий – на троллейбусе. Однажды после уроков Алёша пошел проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из него: «Боря, ты забыл в школе тетрадь!» Кто на чем ездит домой?

Решение:

Так как Алёша не ездит на троллейбусе и провожает друга до автобусной остановки, то он ездит на трамвае. Так как третий друг кричал Боре из троллейбуса, то Боря ездит на автобусе, а третий друг Витя – на троллейбусе.

Ответ: Алёша – на трамвае, Боря – на автобусе, Витя – на троллейбусе.

Задача 5

Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном – просо, в другом – мак, а в третьем – еще не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка приклеила к ним таблички: «Мак», «Просо», «Смесь». Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла таблички местами так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная запись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно единственное зернышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?

Решение:

Золушка взяла зёрнышко из мешка с надписью «Смесь»; так как ни одна табличка не соответствовала содержимому мешка, то там были мак или просо. Если взятое Золушкой зёрнышко – мак, то в мешке с надписью «Смесь» - мак. Тогда в мешке с надписью «Мак» - просо, а в мешке с надписью «Просо» - смесь.

Аналогично, если взятое зёрнышко – просо, то в мешке с надписью «Смесь» - просо. Тогда в мешке с надписью «Мак» - смесь, а в мешке с надписью «Просо» - мак.

Задача 6

Из четырех учеников Антона, Бори, Васи и Гали – один отличник. Кто отличник, если:

1) в тройке Антон, Боря, Вася есть отличник;

2) в тройке Антон, Вася, Галя есть отличник;

3) Антон – не отличник.

Решение:

Так как в тройках (Антон, Боря, Вася) и (Антон, Вася, Галя) есть отличник, то это могут быть Антон или Вася. Но известно, что Антон – не отличник, значит отличник- Вася.

Метод таблиц

Основная идея метода: условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

Преимущества метода:

- наглядность;

- возможность контролировать процесс рассуждений;

- возможность формализовать некоторые логические рассуждения.

Задача 7

Коля, Боря, Вова, Юра заняли с 1-го – по 4-е места в соревнованиях. Коля – ни 1-е, ни 4-е, Боря – 2, Вова - не 4-е. Какие места заняли мальчики?

Решение:

Коля Боря Вова Юра

1-е - - + -

2-е - + - -

3-е + - - -

4-е - - - +

Ответ: Коля - 3-е место, Боря – 2-е место, Вова – 1-е место, Юра – 4-е место.

Задача 8

Александр, Борис, Виктор, Григорий – друзья. Один из них – врач, другой - журналист, третий – спортсмен, а четвёртый - строитель. Журналист написал статью об Александре и Григории. Спортсмен и журналист ходили с Виктором в поход, Александр и Борис были у врача. Строитель помогал Виктору и Григорию на даче.

Решение:

Александр Борис Виктор Григорий врач - - + -

журналист - + - -

спортсмен - - - +

строитель + - - -

Ответ: Александр – спортсмен, Борис – строитель, Виктор – журналист, Григорий – врач.

Задача 9

В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофер старше Сергея. Николай и слесарь занимаются боксом. Электрик младший из друзей. По вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определить профессию каждого из друзей.

Решение:

Вадим Сергей Николай Антон

Шофер - - - +

Слесарь - + - -

Электрик - - + -

Токарь + - - -

Задача 10

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно что:

1. вода и молоко не в бутылке;

2. сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;

3. в банке не лимонад и не вода;

4. стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

Решение:

Банка Стакан Кувшин Бутылка

Молоко - - + -

Лимонад - - - +

Квас + - - -

Вода - + - -

Задача 10

Каникулы в школе птиц и зверей начались большим карнавалом. Медведь, волк, лиса и заяц явились в маскарадных костюмах волка, медведя, лисы и зайца. На балу зверь в маскарадном костюме зайца выиграл в лотерею банку меда и остался этим очень недоволен. Известно также, что медведь не любит лису и никогда не берет в лапы картинок, где она нарисована. Зверь в маскарадном костюме лисы выиграл в лотерее пучок моркови. Но это тоже не доставило ему никакой радости. Не могли бы вы сказать, какой маскарадный костюм смастерил себе каждый из зверей?

Решение:

КОСТЮМЫ ЗВЕРИ

Медведь Волк Лиса Заяц медведя - - - +

волка + - - -

лисы - + - -

зайца - - + -

Задача 11

В небольшом районном городе живу пять друзей: Иванов, Петров, Сидоров, Гришин и Капустин. Профессии у них разные: один из них маляр, другой – мельник, третий – плотник, четвертый – почтальон, а пятый – парикмахер. Петров и Гришин никогда не держали в руках малярной кисти. Иванов и Гришин собираются посетить мельницу, на которой работает их товарищ Петров. Капустин и Гришин живут в одном доме с почтальоном. Сидоров был недавно в ЗАГСе одним из свидетелей, когда Петров и дочь парикмахера сочетались законным браком. Иванов и Петров каждое воскресенье играют в городки с плотником и маляром. Гришин и Капустин по субботам обязательно встречаются в парикмахерской, где работает их друг. Кто есть кто?

Решение:

Иванов Петров Сидоров Гришин Капустин маляр - - - - +

мельник - + - - -

плотник - - - + -

почтальон - - + - -

парикмахер + - - - -

Задача 12

Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что:

1. Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

2. парижанка не снимается в кино;

3. та, кто живет в Риме, певица;

4. Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

Решение:

Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки «-» или «+»:

Париж Рим Чикаго Пение Балет Кино

- Джуди

- Линда -

Далее рассуждаем следующим образом: так как Линда живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда" и столбцу "Пение", ставим «-».

Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не снимаются в кино.

Париж Рим Чикаго Пение Балет Кино

- Джуди -

Айрис -

- Линда - - +

Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в Чикаго. Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда киноактриса, то Айрис балерина.

В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу:

Париж Рим Чикаго Пение Балет Кино

- - + Джуди + - -

+ - - Айрис - + -

- - + Линда - - +

Ответ. Айрис балерина. Она живет в Париже.

Задача 13

Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зелёной и синей рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зелёных туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

Решение:

Рубашки Имена Туфли

Зелёная Синяя Красная Зелёные Синие Красные

- - + Бим - - +

- + - Бам + - -

+ - - Бом - + -

Задача 14

Три товарища – Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы в школах Сыктывкара, Ухты и Воркуты: физику, химию и биологию. Иван работает не в Сыктывкаре; Дмитрий – не в Ухте. Житель Сыктывкара преподаёт не физику, а работающий в Ухте преподаёт биологию. Какой предмет, и в каком городе преподаёт каждый?

Решение:

Название городов Имена Предметы

Сыктывкар Ухта Воркута Физика Химия Биология

- + - Иван - + -

- - + Дмитрий + - -

+ - - Степан - - +

Задача 15

Барсук позвал к себе гостей:

Медведя, рысь и белку.

И подарили барсуку

Подсвечник и тарелку.

Когда же он позвал к себе

Рысь, белку, мышку, волка,

То он в подарок получил

Подсвечник и иголку.

Им были вновь приглашены

Волк, мышка и овечка.

И получил в подарок он

Иголку и колечко.

Он снова пригласил овцу,

Медведя, волка, белку.

И подарили барсуку

Колечко и тарелку.

Нам срочно нужен ваш совет.

(На миг дела отбросьте).

Хотим понять, какой предмет

Каким подарен гостем,

И кто из шестерых гостей

Явился без подарка?

Не можем мы сообразить,

Сидим Мудрим Запарка

Решение:

медведь рысь белка мышка волк овечка подсвечник - + - - - -

тарелка + - - - - -

иголка - - - + - -

колечко - - - - - +

Метод графов

Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями, например – схема.

Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.

Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа.

Задача 16

Однажды Андрей, Борис, Володя, Даша и Галя договорились вечером пойти в кино. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону. Было также решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Оказалось, что Андрей звонил Борису и Володе, Володя звонил Борису и Даше, Борис звонил Андрею и Даше, Даша звонила Андрею и Володе, а Галя звонила Андрею, Володе и Борису. Почему не состоялся поход в кино?

Решение:

Нарисуем пять точек – это имена ребят. Соединим точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят:

Андрей Борис

Галя Даша

Видно, что Галя и Даша не сумели созвониться между собой и поэтому в соответствии с договорённостью в кино не пошли.

Задача 17

В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе - каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены:

- Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой;

- Борис - с Андреем, Галиной;

- Виктор - с Галиной, Дмитрием, Еленой;

- Галина - с Андреем, Виктором и Борисом.

Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось?

Решение:

Виктор Борис

Галина Елена

Дмитрий

Видно, что к настоящему моменту проведено 7 игр (красные линии). Осталось провести 8 игр (чёрные линии): Андрей – Дмитрий, Андрей – Виктор, Виктор – Борис, Галина – Елена, Галина - Дмитрий, Дмитрий – Елена, Дмитрий – Борис, Елена – Борис.

Задача 18

Аркадий, Борис. Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу). Сколько всего рукопожатий было сделано?

Решение:

Борис Владимир

Григорий Дмитрий

Из рисунка видно, что было сделано 10 рукопожатий.

Задача 19

Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля–Меркурий, Плутон–Венера, Земля–Плутон, Плутон–Меркурий, Меркурий–Венера, Уран–Нептун, Нептун–Сатурн, Сатурн–Юпитер, Юпитер–Марс и Марс–Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

Решение:

Нарисуем граф, где вершины – это планеты, а ребра – это маршруты.

Теперь видно, что долететь от Земли до Марса нельзя.

Задача А. Эйнштейна

Задача Эйнштейна— известная логическая задача, авторство которой по распространённому в Интернете мнению, приписывается Альберту Эйнштейну.

По легенде эта головоломка была создана Альбертом Эйнштейном в годы его детства. Также бытует мнение, что она использовалась Эйнштейном для проверки кандидатов в ассистенты на способность к логическому мышлению.

Некоторые приписывают Эйнштейну рассуждение, в котором тот утверждает, что лишь два процента населения земного шара способны оперировать в уме закономерностями, связанными сразу с пятью признаками. Как частное следствие этого, приведённая головоломка может быть решена без использования бумаги лишь теми, кто принадлежит к этим двум процентам. Тем не менее, не существует никаких документальных свидетельств того, что Эйнштейн когда-либо утверждал подобное.

В своей самой сложной редакции задача предполагает решение в уме, без использования каких-либо записей или средств сохранения информации. Без этих ограничений головоломка заметно теряет в сложности, поскольку может быть решена простым составлением таблицы с исключением заведомо противоречивых вариантов— и следовательно мало что говорит о способностях испытуемого.

Существует множество различных вариантов условий задачи. Первый известный опубликованный вариант головоломки, появился в журнале «Life International» в номере от 17 декабря 1962 года. Выпуск от 25 марта 1963 года содержал решение, и список из нескольких сотен фамилий читателей, правильно решивших задачу.

С другой стороны улицы подряд стоят пять домов, каждый— своего цвета. В каждом живёт человек, все пять— разных национальностей. Каждый человек предпочитает уникальную марку сигарет, напиток и домашнее животное. Кроме того:

1. Норвежец живёт в первом доме.

2. Англичанин живёт в красном доме.

3. Зелёный дом находится слева от белого.

4. Датчанин пьет чай.

5. Тот, кто курит Marlboro, живёт рядом с тем, кто выращивает кошек.

6. Тот, кто живёт в жёлтом доме, курит Dunhill.

7. Немец курит Ротманс.

8. Тот, кто живёт в центре, пьет молоко.

9. Сосед того, кто курит Marlboro, пьет воду.

10. Тот, кто курит Pall Mall, выращивает птиц.

11. Швед выращивает собак.

12. Норвежец живёт рядом с синим домом.

13. Тот, кто выращивает лошадей, живёт в синем доме.

14. Тот, кто курит Winfield, пьет пиво.

15. В зелёном доме пьют кофе.

Вопрос: кто разводит рыбок?

Ход решения:

По условию, норвежец живёт в первом доме (1).

Из (12) следует, что второй дом синий.

Какого цвета первый дом? Он не может быть ни зелёным, ни белым, поскольку дома этих двух цветов должны располагаться рядом (3). Красным он тоже не может быть, потому что в красном доме живёт англичанин (2). Итак, первый дом жёлтый.

Следовательно, в первом доме курят «Данхилл» (6), а во втором доме держат лошадь (13).

Что пьёт норвежец (который живёт в первом, жёлтом, доме и курит «Данхилл»)? Это не чай, поскольку чай пьёт датчанин (4). И не кофе, потому что кофе пьют в зелёном доме (15). И не молоко, которое пьют в третьем доме (8). И не пиво, потому что человек, который пьёт пиво, курит «Винфилд» (14). Следовательно, норвежец пьёт воду.

дом 1 2 3 4 5

цвет жёлтый синий ? ? ?

национальность норвежец ? ? ? ?

напиток вода ? молоко ? ?

сигареты «Данхилл» ? ? ? ?

животное ? лошадь ? ? ?

Из (9) следует, что человек, живущий во втором, синем, доме, курит «Мальборо». Какой национальности человек, живущий во втором, синем, доме, предпочитающий «Мальборо» и держащий лошадь? Это не норвежец — он в первом доме (1). Не англичанин — он в красном доме (2). Не швед — у шведа собака (11). Не немец — немец курит «Ротманс» (7). Значит, во втором доме живёт датчанин и, как следует из (4), пьёт чай.

дом 1 2 3 4 5

цвет жёлтый синий ? ? ?

национальность норвежец датчанин ? ? ?

напиток вода чай молоко ? ?

сигареты «Данхилл» «Мальборо» ? ? ?

животное ? лошадь ? ? ?

Зелёный дом не может быть третьим, поскольку в нём пьют кофе, а не молоко (15). Зелёный дом не может быть пятым, поскольку справа от него есть дом (3). Следовательно, зелёный дом — четвёртый. Значит, белый дом — пятый, а красный — третий, и в нём живёт англичанин (2). В зелёном доме пьют кофе, и для белого дома остаётся только пиво. Из (14) следует, что в белом доме курят «Винфилд».

дом 1 2 3 4 5

цвет жёлтый синий красный зелёный белый национальность норвежец датчанин англичанин ? ?

напиток вода чай молоко кофе пиво сигареты «Данхилл» «Мальборо» ? ? «Винфилд»

животное ? лошадь ? ? ?

Где живёт немец, который курит «Ротманс» (7)? Он может жить только в четвёртом, зелёном доме. А значит, человек, который курит «Пал Мал» и разводит птиц, может жить только в третьем, красном доме — это англичанин.

дом 1 2 3 4 5

цвет жёлтый синий красный зелёный белый национальность норвежец датчанин англичанин немец ?

напиток вода чай молоко кофе пиво сигареты «Данхилл» «Мальборо» «Пал Мал» «Ротманс» «Винфилд»

животное ? лошадь птицы ? ?

Тогда шведу, у которого собака (11), остаётся пятый дом. По условию (5), кошка живёт в первом или в третьем доме, но в третьем доме — птицы, а значит, кошка в первом доме.

дом 1 2 3 4 5

цвет жёлтый синий красный зелёный белый национальность норвежец датчанин англичанин немец швед напиток вода чай молоко кофе пиво сигареты «Данхилл» «Мальборо» «Пал Мал» «Ротманс» «Винфилд»

животное кошка лошадь птицы ? собака

Следовательно, рыбку держит немец.

1 2 3 4 5

Итак, я, как Шерлок Холмс, попытался распутать двадцать логических задач – головоломок.

В результате проведенной работы можно сделать следующие выводы:

1. Для решения логических задач, как правило, не требуется большого запаса математических знаний.

2. Существуют обобщённые методы решения логических задач (метод рассуждений, метод таблиц, метод графов), которые можно применить к решению той или иной задачи.

Метод рассуждений – самый универсальный, им можно решить любую задачу, но удобнее его использовать для задач с небольшим числом условий.

Табличный метод очень нагляден, но не обладает универсальностью, т. е. предназначен для решения только одного типа задач. Кроме того, он требует анализа находящийся в таблице информации, умения сравнивать и сопоставлять.

Метод графов применяется тогда, когда между объектами, о которых идет речь в задаче, существует много связей. Граф позволяет наглядно представить эти связи.

Как правило, задачу можно решить несколькими методами. Чтобы выбрать наиболее простой и эффективный способ для каждой конкретной задачи, необходимо знать все эти методы.

3. Логические задачи почти всегда занимательны, и поэтому привлекают даже тех, кто не любит математику.

4. Решение логических задач развивает логическое мышление, а это способствует не только лучшему усвоению математики, но и успешному изучению основ любой другой науки, ведь всегда было принято считать, что знание логики обязательно для образованного человека.

Хочется закончить словами Д. Пойа: «Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового - возможно. Где есть желание, найдётся путь!».