Подобные треугольники

Наше время позволяет узнавать, изучать, исследовать интересующий нас объект, узнавать больше того, что нам дает школьная программа. Объектом моей творческой работы является тема: «Подобные треугольники».

Изучая геометрию, я поняла, что тема «Подобные треугольники» является одной из самых актуальных, обширных и распространенных в геометрии. Много теорем, следствий рассматривает этот раздел. Изучив весь материал глубже, мы сможем решить любую задачу разного уровня различными способами.

Предлагаемый материал содержит набор теорем, некоторые из которых вам могут быть неизвестны. Кроме того, работа содержит серию задач, связанных с измерениями на местности. Именно эти задачи помогут ответить на вопрос: зачем нужны теоремы и их доказательства? Решая задачи, вы будете использовать свои знания по геометрии.

Желаю удачи!

Определения

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны, и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

∆АBC~∆A1B1C1

Признаки подобия треугольников.

1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

3) Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Теорема о площадях двух подобных треугольников

(с доказательством. )

Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1.

Доказать:

Доказательство:

1)Пусть ∆ABC и ∆A1B1C1 – подобны; k – коэффициент подобия.

2) Так как (по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу)

3)По формулам (2) имеем: Теорема доказана.

Подобие прямоугольных треугольников.

1) По теореме о подобии треугольников по двум угла следует, что для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.

2) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

3) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

4) Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Теорема Чевы

Пусть точки A1, B1 и С1 принадлежат сторонам BC, AC и AB треугольника ABC. Отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Доказательство: Докажем сначала, что если отрезки пересекаются, то произведение отношений равно 1. Пусть O - точка пересечения отрезков AA1, BB1 и CC1. Проведём через точку A прямую q, параллельную прямой BC. Продолжим отрезки BB1 и CC1 за точки В1 и C1 до пересечения с прямой q в точках В2 и C2 соответственно. Тогда треугольники ВОА1 и В20А подобны по двум углам. Также подобны треугольники COA1 и C2OA. Следовательно,. Также подобны треугольники BB1C и B2B1A, а значит,. Аналогично. Перемножив три получившихся равенства, получим:

Докажем обратное утверждение. Пусть отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Проведем через точки C и O прямую. Пусть эта прямая пересекает сторону AB в точке K. В этом случае точки A1, B1 и K удовлетворяет данному соотношению по выше доказанному. Но точки A1, B1 и C1 также удовлетворяют данному соотношению. Значит, точки K и C1 делят сторону AB в равном соотношении, то есть они совпадают. Но CK проходит через точку O. Следовательно, отрезок CC1 также проходит через эту точку. Значит, отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке O. Что и требовалось доказать.

Теорема доказана полностью.

Задачи с практическим содержанием

1. Как найти расстояние до недоступной точки путём построения подобных треугольников?

Решение:

1) Пусть нужно найти расстояние от А до В. Выбираем произвольную точку С, на отрезке ВС отмечаем любую точку D и через неё проводим DE ║ AC.

2) Тогда из подобия ∆АВС и ∆EBD находим

3) Если провести DK║AB, то из подобия ∆АВС и ∆KDС можно найти

2. Как путём построения подобных треугольников найти расстояние между двумя недоступными пунктами А и В?

Решение:

1) Провешиваем прямую MN и строим AA1 и BB1, перпендикулярные MN. На отрезке А1В1 берём произвольную точку О и от нее откладываем отрезки

2) Затем через точки С1 и D1 проводим перпендикуляры к MN и находим точки C и D (пересечение этих перпендикуляров с направлениями ОА и ОВ). Соединим С и D. Получим, что ∆АОВ~∆COD, откуда АВ = n CD.

3. Как с помощью подобия треугольников найти высоту предмета, к основанию которого можно подойти?

Решение:

1) Берем два кола BD и CE и устанавливаем их так, чтобы точки А, В и C находились на одной прямой.

2) Измеряем BD и СЕ, а также DG и DE. Если провести прямую CH ║ EG, то ∆ACH~∆BCF , следовательно, , откуда ;

4. Теннисный мяч подан с высоты 2 м 10 см и пролетел над самой сеткой, высота которой 90 см. На каком расстоянии от сетки мяч ударится о землю, если он подан от черты, находящейся в 12 м от сетки, и летит по прямой?

Решение:

1) Рассмотрим ∆ABC и ∆DKC

2) ∆ABC ~ ∆DKC , следовательно,

3) Значит DC = 9 м

Задачи для самостоятельного решения

1. Высота изображения дерева на задней стенки фотографической камеры получилась равной 32 мм. Найдите высоту дерева, если оно находится на расстоянии 29 м от объектива фотоаппарата, а глубина фотокамеры 16 см.

2. Клин А, опирающийся щекой на клин В, может двигаться лишь в вертикальном направлении. На сколько поднимается клин А, если клин В, катеты которого равны m и n, подвинуть на l влево?

3. Какой длины должна быть поднога стропильной фермы , если длина стропильной ноги равна 10 м, а длина ригеля составляет от длины затяжки? (АС – стропильная нога, KL- ригель, АВ – затяжка, АК – поднога. )

4. Столб высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если её держать на расстоянии 70 см от глаза. Найдите расстояние от столба до наблюдателя.

5. Из листа железа, имеющего форму прямоугольного треугольника, вырезан квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а остальные вершины квадрата лежат на катетах и на гипотенузе треугольника. Найдите сторону полученного квадрата, если катеты треугольника равны a и b.