Построение графиков модулей

«Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Бертран Рассел

«Модуль» - это одна из интересных и многогранных тем в математике. В школьной программе встречаются задания, содержащие модуль как задания повышенной сложности.

На уроке рассматривалась тема «Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля». Как построить графики y= f(x), y=f(x), y=f(x)? Обсудив применение определения модуля для построения графиков, мы пришли к выводу, что процесс достаточно долгий. Возник вопрос « Существуют ли правила для построения таких графиков?» Была выдвинута гипотеза о том, что такие правила существуют. На данном этапе обучения мы умеем применять определение модуля, решать уравнения и неравенства с модулем, изучили свойства функции (четность - нечетность), владеем методами построения графиков вида у = kx + b, y = a(x-m)2 + n, y =. Теоретических и практических навыков достаточно для того, чтобы исследовать графики и вывести правила.

Цель работы: вывести правила для построения графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля.

Для дальнейшей работы были сформулированы следующие задачи:

1) изучить свойства функций y= f(x), y=f(x) и зависимости y= f(x);

2) исследуя графики функций у = kx+b, y= a(x-m)2+n, y = , у = kx+b, y=a(x-m)2+n, y = , у = kx+b, y = a( x- m)2+n, y = выявить определенные закономерности в поведении графиков;

3) сформулировать правила построения графиков;

4) применить полученные правила при построении графиков, содержащих комбинацию знаков модуль.

Для дальнейшей работы учащиеся принимают решение разделиться на четыре группы и работать по следующему плану: каждая группа исследует один из видов графиков: 1 группа – y = f(x), 2 группа – y = f(x),

3 группа - y = f(x ), 4 группа - осуществляет подбор задач по теме и рассматривает случаи построения графиков только по определению модуля.

В результате исследований каждая группа предложила алгоритм построения графика функции, содержащий модуль. Результатом работы 4 группы явилась подборка задач, содержащих композицию знаков модуль, к которым можно было применить полученные алгоритмы, а так же задачи, в решении которых можно использовать только определение модуля.

Результаты своих исследований каждая группа представила на следующих уроках математики, где каждое правило после обсуждения применялось всей группой учащихся при решении задач. Накопленный практический опыт позволил применить полученные правила к построению следующих графиков y= f(x), y=f(x), y=f(x), y= f(x) , строить графики функций у = f(x)± g(x), у = f(x) g(x), у = f(x)± g(x).

На данном этапе работы трудность заключалась в подборке задач, соответствующих данному уровню обучения, в большом объеме графических работ, в умении правильно сформулировать полученные выводы.

Работа над проектом увлекла меня. Важно не только получить результат, но и систематизировать и обобщить проведенные исследования всех групп. Занимаясь подборкой задач, выполняя графические работы, я решил сделать компьютерную версию данной работы, которая может использоваться как справочный материал при изучении темы «Модуль и графики» в 7 -11классах, при подготовки к экзаменам. Одноклассники меня поддержали. Каждый ученик класса получил карточку - информатор с правилами построения графиков.

Определение модуля

Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

В архитектуре – это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике – это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющей универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и т. п.

Модуль объемного сжатия ( в физике ) – отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

В математике модуль имеет несколько значений, но в данной исследовательской работе возьмем лишь одно :

Определение. Модулем числа а называется само число а, если оно положительно или равно нулю, и -а, если оно отрицательно.

Обозначение

Из определения следует, что а ≥ 0.

Свойства модуля: 1. а2 = а 2. 2. -а = а.

3. а – b = b – а. 4. аb = а·b. 5.

Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля

1. Построение графика y = f (x).

Для того чтобы вывести алгоритм построения графика функции y = f (x) построим графики функций у = kx + b , y= a(x-m)2 + n , y= , используя определение модуля.

Задача 1. Построить график функции y= 2х – 4.

Решение: y = 2х – 4 =

Задача 2. Построить график функции y=- 2х + 2.

Решение: y = - 2х + 2 =

Задача 3. Построить график функции y = x2 -2х – 3.

Решение: y = x2 -2х – 3.

При х ≤ -1 и х ≥ 3 y = x2 - 2х – 3, при -1< x < 3 y = - x2 + 2х + 3.

Задача 4. Построить график функции у = - х2 + 4.

Решение: y = -х2 + 4 у = -х2 + 4, если -2≤ х ≤ 2, y = х2 – 4, если х < -2, х >2.

Задача 5. Построить график функции.

Решение: ОДЗ: х ≠ 1.

При х < 1 и х ≥ 3 у =, при 1< х < 3 у =.

Задача 6. Построить график функции у =.

Решение: ОДЗ х ≠ 1.

При х < -1 и х > 1 у =, при -1≤ х < 1 у =.

В результате исследования полученных графиков выявлены следующие закономерности:

1. График функции у = f (х) = расположен только в верхней полуплоскости.

2. Часть графика у = f (х), лежащая ниже оси Ох, отражена симметрично оси Ох.

Для построения графика функции у = f (х) предлагается следующий алгоритм построения:

• Построить график функции у = f (х).

• Часть графика, для которой значения положительны, оставить без изменения.

• Часть графика, для которой значения функции отрицательны, зеркально отобразить в верхнюю полуплоскость.

Исходя из этого алгоритма сформулировано ПРАВИЛО 1:

Для построения графика функции у=f(х) для всех х из области определения, надо ту часть графика функции у = f(х), которая расположена ниже оси абсцисс ( f ( х ) < 0 ), отразить симметрично этой оси.

2. Построение графика функции у = f( х ).

Для того чтобы вывести алгоритм построения графика функции y = f ( x ) построим графики функций у = kx + b , y = a( x - m)2 + n , y = используя определение модуля.

Задача 7. Построить график функции у = 2х - 2.

Решение:

При х ≥ 0 у = 2х – 2,

При х < 0 у = - 2х – 2.

Задача 8. Построить график функции у = - 2 х + 2.

Решение:

При х ≥ 0 у = - 2х + 2, при х < 0 у = 2х + 2.

Задача 9. Построить график функции у = х2 - 2х - 3.

Решение:

При х ≥ 0 у = х2 - 2х – 3, при х < 0 у = х2 + 2х – 3.

Задача 10. Построить график у = - х2 + 2х + 3.

Решение:

При х ≥ 0 у = - х2 +2х + 3, при х < 0 у = - х2 - 2х + 3.

Задача 11. Построить график функции у =.

Решение: ОДЗ : х ≠ -1, х ≠ 1.

При х ≥ 0 у =,

При х < 0 у =.

Задача 12.

Построить график функции у =.

Решение: ОДЗ: х ≠ -1, х ≠ 1.

При х ≥ 0 у =, при х < 0 у =.

Изучив полученные графики, выявили следующую закономерность: график функции у = f( х ) состоит из двух графиков: графика функции у = f(х) в правой полуплоскости и графика у = f(-х) в левой полуплоскости относительно прямой Оу. Значит, функция четная, график симметричен относительно прямой Оу.

Для построения графика функции у = f (х) предлагается следующий алгоритм построения:

• Построить график функции у = f (х).

• Часть графика для всех х ≥ 0 из области определения оставить без изменения; часть графика, расположенную в левой полуплоскости отбросить.

• Часть графика, лежащую в правой полуплоскости относительно Оу , отразить симметрично относительно оси ординат.

Исходя из этого алгоритма сформулировано ПРАВИЛО 2:

Для построения графика функции у = f(х) достаточно построить график функции у= f(х) для всех х ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

3. Построение графика зависимости вида y = f (x).

Для того чтобы вывести алгоритм построения графика зависимости вида у = f(х) построим графики зависимостей у = kx + b, y= a(x-m)2 + n, y=. Учитывая, что в формуле у = f(х) f(х) ≥ 0 и на основании определения модуля получим

│у│= т. е. │ у│ = ± f(x).

Задача 13. Построить график зависимости у = 2х – 2.

Решение: у = 2х – 2.

2х-2 ≥ 0, если х ≥ 1.

Задача 14. Построить график зависимости у = -2х+4.

Решение: у = -2х+4.

-2х + 4 ≥ 0 если х ≤ 2.

Задача 15. Построить график зависимости. │у│ = х2 – 2х -3.

Решение: │у│ = х2 – 2х -3.

х2 – 2х -3 ≥ 0, если х ≤ -1 и х ≥ 3.

Задача 16. Построить график зависимости │у│ = - х2 +4.

Решение: │у│= -х2 +4.

-х2 +4 ≥ 0, если -2 ≤ х ≤ 2, у =

Задача 17.

Построить график

Решение: │у│=, х ≠ 1.

≥ 0, если 1 < х ≤ 3,

Задача 18. Построить график зависимости │у│=.

Решение:│у│=, х ≠ -1 , ≥ 0, если -1 < х ≤ 1.

Изучив полученные графики, выявили следующую закономерность: график зависимости │у│ = f(х ) состоит из графиков двух функций: графика функции у = f(х) и графика у = - f(х), где f(х) ≥ 0; график симметричен относительно прямой Ох.

Для построения графика зависимости │у│=f(х) предлагается следующий алгоритм построения:

• Построить график функции у = f (х).

• Часть графика для всех х из области определения, лежащую выше оси Ох оставить без изменения; часть графика, расположенную ниже оси Ох отбросить.

• Часть графика, лежащую выше оси Ох, отразить симметрично относительно оси абсцисс.

Исходя из этого алгоритма, сформулировано ПРАВИЛО 3:

Для построения графика зависимости │у│=f(х) достаточно построить график функции у=f(х) для тех х из области определения, при которых f(х)≥0, и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс.

Применим полученное правило 3 при решении следующей задачи:

Построить на координатной плоскости множество точек (х;у), удовлетворяющих равенству:

1) │у│= х ; 2) │у│= х – 3;

3) │у│= - х + 2; 4) │у│= 2х + 3;

5) │у│=- ; 6) │у - 2│= х ;

7) │у + 1│= х + 3; 8) │у - 1│= - 2х + 3.

Изучив полученные графики, получим следующий вывод: равенство │у - b│= ax + c изображается на координатной плоскости углом с вершиной в точке и сторонами, направленными вправо, если a > 0, и влево, если а < 0. Если а = 0, то изображается параллельными прямыми у = b + c и y = b – c.

Построение графиков, содержащих комбинацию знаков модуль

1. Построение графиков функций у =│f(x)│±│g(x)│, у =│f(x)│±g(x).

Задача 19. Построить график функции у =

Решение: у ==

Задача 20. Построить график функции у =

Решение: у = у =

Функции в задачах 19 и 20 являются алгебраическими суммами модулей линейных выражений. Проанализировав полученные графики, можно сформулировать утверждение, позволяющее строить графики таких функций, не раскрывая модули (что особенно важно, когда модулей достаточно много): Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n+1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя - с абсциссой, большей большего из корней.

Например:

1) f(x)=x - 1. Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух отрезков (рис. 1)

2) f(x)=x - 1 + x – 3. Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых (рис. 2 ).

3) f(x)=x - 1 + x – 2 + x – 3. Для построения графика вычислим значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис. 3 ).

4) f(x)=x - 1 - x – 2. График разности строится аналогично графику суммы, то есть по точкам 1, 2, 0 и 3 (рис. 4 ).

Задача 21. Построить график функции у = │х2 – 5х│ + х – 3.

Решение: у = │х2 – 5х│ + х – 3, у =

2. Построение графиков у =│f(x)│, │ у│ =f(x), │ у│ =│f(x)│,

│ у │=│f(x)│.

Наиболее интересными для исследования и построения являются графики, содержащие несколько знаков модуля. При решении этих задач использовались правила построения графиков, содержащих модуль. В решении следующих задач дается поэтапное построение графиков и указывается правило, которое необходимо применить.

Задача 22. Построить график функции у =│ х2 – 2х -3│.

Решение:

1) у = х2 – 2х -3 ( правило 2),

2) у =│ х2 – 2х -3│(правило 1).

Задача 23. Построить график зависимости │у │=│ х2 – 2х -3│.

Решение:

1) у =│ х2 – 2х -3│(правило 1),

2)│ у│ =│ х2 – 2х -3│(правило 3).

Задача 24. Построить график зависимости

│у│ =│ х2 – 2х -3│.

Решение:

1) у = х2 – 2х -3 (правило 2),

2) у =│ х2 – 2х -3│(правило 1),

3)│ у│ =│ х2 – 2х -3│(правило 3).

Задача 25. Построить график функции у = ││││х│ - 2│ - 2│ - 2│.

Решение: а) у = │х│ - 2 ; б) у = ││х│ - 2│; в) у = ││х│ - 2│ - 2; г) у = │││х│ - 2│ - 2│ ; д) у = │││х│ - 2│ - 2│ - 2; е) у = ││││х│ - 2│ - 2│ - 2│.

Применение полученных правил позволяют быстро строить графики при решении задач следующего содержания: Дана функция у = f(x). Построить графики у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x). Рассмотрим в качестве примеров следующие задачи.

Задача 26. Дана функция у =. Построить графики у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x).

Решение: Преобразуем дробь

Построим график функции у =

Область определения D(y)=R\ {1}.

1) Построить график у =

Решение: у = = ( правило 1)

2) Построить график у =.

Решение: у = = ( правило 2).

3) Построить график у =.

Решение: у = =

1) у = (правило 2),

2) у = ( правило 1)

4) Построить график у =.

Решение:

у = =

( правило 3).

5)Построить график у =.

Решение: у = =.

1) у = (правило 1), 2) у = (правило 3).

6) Построить график у =.

Решение: у = =.

1) у = (правило 2)

2) у = (правило 3)

7) Построить график у =.

Решение: у = =.

1) у = (правило 2)

2) у = ( правило 1) , 3) у = ( правило 3).

Задача 27. Дана функция у =. Построить графики у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x), у = f(x).

Решение: Преобразуем дробь

Построим график функции у =.

Область определения D(y)=R\ {2}.

1) Построить график у =.

Решение: у = = (правило 1)

2) Построить график у =.

Решение: у = = (правило 2)

3) Построить график у =.

Решение: у = =

1) у = (правило 2)

2) у = (правило 1)

4) Построить график у =.

Решение: у = = (правило 3)

5) Построить график у =.

Решение: у = =.

1) у = ( правило 2) , 2) у = ( правило 3)

6) Построить график у =.

Решение: у = =

1) у = ( правило 1) , 2) у = ( правило 3)

7) Построить график у =.

Решение: у = =.

1) у = (правило 2)

2) у = (правило 1), 3) у = (правило 3)

В результате исследований был предложен следующий алгоритм построения графика функции вида y= f(x): 1. Строим график функции у = f(x). 2. Часть графика, для которой значения функции положительны, оставляем без изменения. 3. Часть графика, для которой значения функции отрицательны, зеркально отражаем в верхнюю полуплоскость.

В результате исследований был предложен следующий алгоритм построения графика функции y=f(x): 1. Строим график функции у = f(x). 2. Часть графика для всех х≥0 из области определения оставляем без изменения. 3. Отразить полученную часть графика симметрично оси ординат.

В результате исследований был предложен следующий алгоритм построения графика зависимости y=f(x): 1. Строим график функции у = f(x). 2. Часть графика, для которой значения функции положительны, оставляем без изменения. 3. Отражаем полученную часть графика симметрично оси абсцисс.

В результате проведенных исследований были сформулированы следующие правила для построения графиков, содержащих знак модуля:

Правило 1. Для построения графика функции у=f(х) для всех х из области определения, надо ту часть графика функции у = f(х), которая расположена ниже оси абсцисс ( f ( х ) < 0 ), отразить симметрично этой оси.

Правило 2. Для построения графика функции у = f(х) достаточно построить график функции у= f(х) для всех х ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

Правило 3. Для построения графика зависимости │у│=f(х) достаточно построить график функции у=f(х) для тех х из области определения, при которых f(х)≥0, и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс.

Правило 4. Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n+1 прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя - с абсциссой, большей большего из корней.