Построение графиков сложных функций

При решении неравенств и уравнений иногда приходится использовать функционально – графический метод. Суть метода: найти абсциссы точек пересечения графиков функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. При этом реализация метода основывается на выполнении следующих действий:

1. Преобразовать исходное уравнение к виду f(x)=g(x). Где f(x) и g(x) функции, графики которых можно построить.

2. Построить графики функции f(x) и g(x).

3. Определить точки пересечения построенных графиков.

4. Определить абсциссы найденных точек. Они и дадут множество решений исходного уравнения.

5. Записать ответ.

Замечание. Преимущество данного метода заключается в том, что он позволяет легко определить число корней уравнения. Недостаток – в том, что корни, в общем случае, определяются приближенно.

Пример 1. 2х = -х2 +3

К этому уравнению нельзя применить стандартные приемы решения. Если построим эскиз графиков функции у =2х и у = -х2 +3, то увидим, что уравнение имеет два корня, один из них равен 1 (проверяем), а значение другого корня -1,7 (точное значение не можем определить).

Пример 2. Что можно сказать о корнях уравнения ?

Обе функции - убывающие на своих областях определения. Хотя бы два корня можно угадать: и. Остается вопрос: есть ли другие корни и сколько их, какому промежутку они принадлежат?

Построим графики функции.

На некотором промежутке графики функции

« сливаются», по рисунку 2 можем определить только промежуток, которому принадлежат корни уравнения [0;1] , а о количестве корней ничего не можем сказать (рисунки отличаются по масштабу).

После решения несколько таких уравнений, я понял, что умения строить графики различных функций и знание их свойств является важным условием решения нестандартных уравнений и неравенства.

Исследование посвящено проблеме совершенствования умений и навыков построения графиков сложных функций. Актуальность этой проблемы определяется тем, что нестандартные уравнения и неравенства часто решаются функционально – графическим методом. В заданиях ЕГЭ (и в части В, и в части С) имеются задания, при решении которых используется функционально – графический метод, свойства функций. Многие задачи с параметрами невозможно решить другим методом. ( В. П. Моденов. Задачи с параметрами. Координатно – параметрический метод. М: «Экзамен»,2006).

В пособие для поступающих (Е. М. Родионов, С. Л. Синякова. Математика. Пособие для поступающих в вузы. Учебный центр «Ориентир» МГТУ им. Н. Э. Баумана,2003) много заданий на построение графиков функций.

Поскольку в школьном курсе математики на эту тему «Построение графика сложной функции» отводится мало времени, то я решил изучить методы построения сложных функций (без производной).

Построение графиков элементарных функций не составляет труда, в школьном курсе математики они достаточно хорошо описаны. Я предположил: если знаем свойства элементарных функций и умеем строить их графики, то сможем построить и графики сложных функций.

Цель работы:

- выявить способы построения графиков сложных функций.

Задачи:

- изучить основные методы построения элементарных функций и приемы их преобразования;

- выделить способы построения графиков сложных функций, опираясь на графики элементарных функций, и научиться их строить.

Объектом исследования является сложная функция, а предметом исследования - графики сложных функций.

(Сложную функцию y=f(v(x)) называют также композицией двух функций )

Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике.

Методы построения элементарных функций

Умения строить графики функций и их читать, т. е. определять промежутки монотонности и другие характеристики функции по их графику, - важный элемент математической культуры. Во многих задачах график является лишь вспомогательным элементом решения. Поэтому необходимо владеть простыми приемами построения графиков. Перечислим эти приемы:

1. График функции у = f(x)+b получается из графика функции у = f(x) на вектор (0,b) вдоль оси ординат.

2. График функции у = f(x+b) получается из графика функции у = f(x) на вектор (-b,0) вдоль оси абсцисс.

График функции у = f(x) Графики функции у = f(x)+b и у = f(x+b)

3. График функции у = -f(x) получается симметрией графика функции у = f(x) относительно оси абсцисс.

4. График функции у = f(аx) получается сжатием графика функции у = f(x) к оси ординат в а раз, если a > 1, и растяжением от оси ординат в раз, если

0< a <1. на вектор (0,b) вдоль оси ординат.

5. График функции у = f(-x) получается симметрией графика функции у = f(x) относительно оси ординат.

6. График функции у = аf(x) получается умножением каждой ординаты графика функции у = f(x) на а, т. е. растяжением от оси абсцисс в а раз, если a > 1, и сжатием к оси абсцисс в раз, если 0< a <1.

7. График функции у = совпадает с графиком функции у = f(x) там, где f(x) 0, и получается из него симметрией относительно оси абсцисс там, где f(x) < 0.

8. График функции у = при x 0 совпадает с графиком функции у = f(x) , при x < 0 он получается симметрией « правой половины» графика функции у = f(x) относительно оси ординат (рис. 9).

Например, при построении графика функции у = 2sin() используются приемы 4, 2, 8, 6

2. Построение графика функции y=f(v(x))

Посмотрим схему построения графиков сложных функции вида y=f(v(x)) без использования производной.

Пусть нам нужно построить график y=f(v(x)). Обязательно на бумаге или мысленно нужно построить оба графика: график внутренней функции у = v(x) и график внешней функции у = f(v).

Если удобно строить график внешней функции по контрольным точкам, то лучше, для большой наглядности, построив график внутренней точки, разметить ось ординат контрольными значениями аргумента для внешней функции, а затем построить прямо по графику, в каких точках внутренняя функция принимала эти значения.

1. Построить график функции у = arctg2x.

Решение. Данная функция является композицией двух функции v=2x и y= arctgv. Функцию v = v(x) назовем внутренней, y = y(v) – внешней. Внутренняя функция является строго возрастающей: при возрастании х от - ∞ до + ∞ v(x) возрастает от 0 до + ∞. По графику внешней функции определяем, что такому возрастанию v соответствует возрастание у от 0 до /2, т. е. при возрастании х от - ∞ до + ∞ у возрастает от 0 до /2

График функции v=2x График функции y(v)= arctgv.

График функции у = arctg2x имеет вид:

Контрольная точка: при х=0 у = (/4

Пример 2. Построить график функции у =

Решение. Построим графики функции у = и f(v)=

Выделяем промежутки монотонности функции у = : (- ∞;0) и (0; + ∞). При возрастании х на промежутке (- ∞ ;0) v(x) убывает от 0 до - ∞. Такому изменению v соответствует убывание у от 1 до 0. Если х возрастает от 0 до + ∞, то v(x) убывает от +∞ до 1.

Для более точного построения графика следует использовать контрольные точки, выбирая те значения аргумента х, при которых легко вычислять значения у(х).

Таким образом, построение графика сложной функции y=f(v(x)) в некоторых случаях можно выполнить по следующему алгоритму:

1. Начертить графики внутренней и внешней функций.

2. Определить промежутки монотонности внутренней функции y=v(x) и отметить их на оси Ох плоскости хОу.

3. На каждом промежутке определить границы изменения v=v(x) и выбрать те значения, которые попадают в область определения функции y=f(v).

4. По графику внешней функции у = f(v) найти характер изменения функции у.

5. В системе координат хОу начертить график у = у(х).

Такая работа позволяет по графику следить за изменением функции при изменении аргумента и, наоборот, по заданному изменению функции строить ее график.

Использование схемы построения графика функции у = у(х) помогает сложиться умению представлять сложную функцию в виде композиции двух функции, - внутренней и внешней, овладеть навыком «видеть» эти две функции. На мой взгляд, это поможет ученику не только при прохождении тем сложной функции, построения функций и тому подобных, но еще и при проведении различных алгебраических преобразований выражений. Умение проводить операции анализа-синтеза значительно уменьшает трудности учеников при выборе способа тождественного преобразования выражения.

Построить график функции у =

Решение. Построим графики внутренней и внешней функций.

Если х возрастает от 0 до + ∞, то v(x) возрастает от 1 до + ∞. Этому изменению v соответствует убывание у от 1 до 0. Изобразим график функции у = у(х) при х0, а затем используем четность данной функции.

4. Построить график функции у = ln(x2 – 3x +2).

Решение. Построим графики функций y= x2 – 3x +2 и y = lnv.

Если х возрастает от - ∞ до 1, то v(x) убывает + ∞ до 0, а у при этом убывает от + ∞ до - ∞. При х [1; 2] v(x) 0 и при этих значениях х функция не определена. Если х возрастает от 2 до + ∞, то v(x) возрастает от 0 до + ∞, а у при этом возрастает от + ∞ до - ∞.

5. Построить график функции.

Решение. (Алгоритм построения графика этой функции и функции у = log2sinx дан в учебнике 11 класса «Алгебра и начала анализа» С. М. Никольский и др. )

Данная функция является композицией двух функции v = sinx и y = 2v

Область определения функции - множество всех действительных чисел. Поскольку функция v = sinx периодическая с главным периодом 2, то функция также периодическая с главным периодом 2. На промежутке [-;] функция v = sinx возрастает от -1 до 1, значит, функция y = 2v возрастает на этом промежутке от до 2.

На промежутке [;] функция v = sinx убывает от 1 до -1, функция y = 2v убывает на этом промежутке от 2 до.

Перечисленные свойства позволяют построить схематический график на отрезке [-;], затем продолжить его периодически.

6. Построить график функции.

Решение. Предложенная схема применима и тогда, когда сложная функция является композицией не двух, а большего числа функций, графики которых известны. Данная функция является композицией трех функций. Аналогично рассуждая, получаем следующие графики функций: u = x2 – 4x +3, v =1/u, y= 2v.

Решение. Предложенная схема применима и тогда, когда сложная функция является композицией не двух, а большего числа функций, графики которых известны. Данная функция является композицией трех функций. Аналогично рассуждая, получаем следующие графики функций: u = x2 – 4x +3, v =1/u, y= 2v.

Графики этих функций:

u = x2 – 4x +3v =1/u

При построении графиков сложных функций надо использовать все элементарные средства: переносы, отражения, сложение графиков т. д.

7. Построить график функции.

8. Построить график функции y = arctg(lnx).

9. Построить график функции y = arctgx2

3. Метод построения функции у = f(x) + g(x)

Для построения графика функции у = f(x)+g(x), если известны графики функции у = f(x) и у = g(x), надо произвести алгебраическое сложение соответствующих ординат функций. Применение такого способа целесообразно, например, когда слагаемые являются основными элементарными функциями разных типов.

Пример. Построить график функции у = х + sinx.

Строим графики функции у = х и у = sinx и получаем график заданной функции путем сложения соответствующих ординат.

При построении следует обратить внимание на два обстоятельства:

1) , а потому имеет смысл провести прямые у = х+1 и у = х-1, параллельные прямой у = х, между этими двумя прямыми располагается график функции у = х + sinx.

2) В тех точках, где sinx = 0 у = х ( соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х).

В тех точках, где sinx = -1 у = х-1 (соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х).

Пример 2. Построить график функции у =.

Так как существует лишь при х > 0 (sinx существует на всей числовой оси), то областью существования для заданной функции является промежуток (0; + ∞). Модули не могут быть отрицательными, то у 0. Строим графики функции только при х>0 производим сложение графиков. При этом обращаем внимание на то, что значение второй функции равно нулю только в одной точке х = 1. Наибольшее значение первой функции достигается в точках , в этих точках у =.

4, Метод построения функции у = f(x)∙g(x )

Для построения графика функции у = f(x) ∙ g(x), если известны графики функции у = f(x) и у = g(x), надо перемножить соответствующие ординаты функций. Применение такого способа целесообразно, например, когда множителями являются основными элементарными функциями разных типов.

Пример. Построить график функции у = х ∙ sinx.

Строим графики функции у = х и у = sinx и получаем график заданной функции путем умножения соответствующих ординат.

Построение производим при х 0, а затем отражаем полученный график относительно оси ординат, так как у = х ∙ sinx является четной функции. При этом учитываем, что в точках с координатами х=k, sinx = 0 произведение х ∙ sinx=0. Наибольшее значение функции у = sinx равно 1 при. В этих точках соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = х. Наименьшее значение функции у = sinx равно -1 при. В этих точках соответствующе точки графика заданной функции лежат на прямой у = -х. Значит, график колеблется между прямыми у = х и у = - х.

Я провел работу по построению графика сложной функции и сделал следующие выводы:

1. Графики функций y=f(v(x)), у = f(x)+g(x), у = f(x) ∙ g(x) можно построить без использования производных, особенно этот метод особенно подходит, если f(x) и g(x),v(x) – функции разные элементарные функции.

2. Для построения графиков нужно знать свойства функции, уметь читать графики полученных функции, исследовать поведение графиков в бесконечности.

3. Построение графиков, как и всевозможные другие способы геометрической интерпретации, является весьма эффективным средством для решения алгебраических задач, в том числе и задач с параметрами. Поэтому научиться строить графики функции, в том числе и сложных, для решения задач просто необходимо. При выполнении этой работы, я выяснил, что есть класс уравнений и неравенств, при решении которых требуется умения и навыки построения графиков функций и умения их читать. (Многие уравнения неравенства с параметрами решаются функционально - графическим методом).

Итак, в результате графических и компьютерных экспериментов, я убедился, что графики сложных функций можно строить не только с помощью производных, но и путём исследования внутренних и внешних функций, преобразованиями элементарных функций, поведения графиков функции при х(±∞, преобразованиями элементарных функций.

При выполнении этой работы:

- повторил и углубил знания свойств и методов построения графиков элементарных функций;

- приобрел опыт построения графиков таких функций, как: y=f(v(x)); у = f(x)+g(x),у = f(x) ∙ g(x);

- научился работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений; приобрел опыт выполнения графических работ на компьютере;

- узнал, что тема « Методы построения графиков функций», очень объемная и интересная, рассмотреть все методы сразу невозможно, т. е. есть можно дальше продолжать работу по данной теме.

По моему мнению, умение проводить такие преобразования (построения) графиков функций позволяет ученикам:

1) научиться читать графики различных функций и использовать их при решении уравнений и неравенств;

2) освоить свойства функций;

3) лучше различать графики различных функций.

Поэтому, на мой взгляд, использование этих способов в педагогической практике целесообразно (хотя бы факультативно), ведь их в тематическом плане нет, а это поможет успешно и эффективно подготовится к выпускным и вступительным экзаменам.

При построении графиков функций я использовал систему компьютерной математики Maple 8.