Построение методом разделения переменных решений одной линейной системы уравнений

При решении многих прикладных задача возникает уравнение Лапласа.

В большинстве задач не удается найти точные решения этого уравнения. Поэтому приходится решать уравнение Лапласа приближенно. Один из методов основан на замене частных производных на соответствующие разностные отношения. В этом случае получается система линейных уравнений.

В данной работе, используя метод разделения переменных, были найдены точные решения этой системы. Данный метод широко используется при построении точных решений дифференциальных уравнений математической физики. В работе были найдены частные решения системы, которые могут быть использованы при решении весьма общих краевых задач. Например, для определения потенциала электростатического поля при заданном распределении заряда на границе рассматриваемой области.

Данная работа может быть использована для внеклассной работы.

Исследовательская работа по математике.

Тема: «Построение методом разделения переменных решений одной линейной системы уравнений»

Работу выполнил ученика 10 класса

Указанное уравнение описывает многие стационарные процессы и явления, например, установившееся движение несжимаемой жидкости, распределение температуры в однородной пластине, электростатические, гравитационные поля и т. д.. Для приближенного решения уравнений Лапласа в прямоугольнике

R= {(x,y): 0} вводят сетку, которая задаётся узлами хi=ih, yj=jh где i=0,1,,n, j=0,1,,m, , b=mh.

Сеточной функцией называется функция Uij, заданная в узлах (хi;yj). Приближая производные соответствующими разностями,

приходим к уравнениям для сеточной функции Uij:

(1) где i = 1,. , n -1, j= 1,. ,m - 1.

Как правило (при очень большом числе узлов), такие системы уравнений решаются с помощью итерационных методов, т. е. приближённо. Мы, найдём точные решения системы (1), применив популярный в математической физике метод Фурье или метод разделения переменных.

Настоящая работа посвящена построению примеров решений системы (1) с помощью метода разделения переменных. Данный метод заключается в следующем: будем искать решения системы (1) в виде:

Uij=Ai·Bj.

Подставляя в (1), имеем

Разделив уравнение на Ai·Bj, получаем:

для всех i=l,2,. ,n-l j=l,2,. ,m-l. Так как первая дробь зависит только от i, а вторая от j, то каждая из них есть величина постоянная. Поэтому существует число λ такое, что i=1, 2,,n-1 и j=1, 2,,m-1

A i-1 + A i+1 = λAi (2)

И Bj-1+Bj+1 = (4- λ) Bj

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Найдем решение уравнения (2) в виде Ai=sin pi. Для этого определим параметр p так, чтобы Ai=sin pi удовлетворяла первому уравнению (2). В этом случае имеем sin p(i+1)+sin p(i-1)= λ sin pi.

Применим соответствующие формулы тригонометрии: sin pi·cos p + cos pi sin p + sin pi·cos p - cos pi·sin p = λsin pi

2sin pi·cos p= λsin pi

2cos p= λ cos p= p = ±arccos+2πκ, κ=0, ±1, ±2,

Отсюда получаем:

Ai=sin i(±arccos+2πκ )

Ясно, что такое p существует только при

Для второго уравнения

Bj+1+Bj-1=(4- λ)Bj,

Находим

Bj=sin i (±arcсos())

И условие на λ имеет вид:

Решим данное неравенство

4- λ ≥ 24- λ ≥ - 2

λ ≤ 6λ ≥ 2

2 ≤ λ ≤ 6

Следовательно, Вj, заданные равенством (3), являются решением второго уравнения в (2), если

Пример 2

] Найдем решение уравнений (2) в виде степенной функции Ai = 2ai.

Подставляя 2ai в данное уравнение и решая его, получаем:

2a(i+1 ) + 2a(i-1) = λ2ai

2ai·2a + 2ai·2-a = λ2ai

2a + 2-a= λ

Сделаем замену 2a=x. Приходим к уравнению x + x2 + 1= λx x2 – λx + 1 = 0

Дискриминант D=λ2 – 4 при условии, что λ2 ≥ 4, корни квадратного уравнения имеют вид

Следовательно

Решим неравенство

λ 2 – 4 ≥ 0

(λ - 2)( λ + 2) ≥ 0

λ = 2; λ = -2

При функция Ai определяемая равенством (4), является решением первого уравнения (2), а при функция Bj заданная равенством (5), является решением второго уравнения в (2).

Пример 3

Теперь мы можем записать решение Uij уравнения (1) в виде

i=0,1,,n, j=0,1,,m.

При решении многих прикладных задача возникает уравнение Лапласа

Например, этому уравнению удовлетворяет потенциал электростатического поля в однородной среде. Данный факт следует из уравнений Максвела, описывающих электромагнитные поля. Уравнению Лапласа удовлетворяет функция распределения температуры в однородной пластине, потенциал установившегося движения несжимаемой жидкости и т. д. В большинстве задач не удается найти точные решения этого уравнения. Поэтому приходится решать уравнение Лапласа приближенно. Один из методов основан на замене частных производных на соответствующие разностные отношения. В этом случае получается система линейных уравнений.

Uij=(Uij-1+Uij+1+Uji-1+Uji+1)(1)

Как правило эта система линейных уравнений (при большом количестве узлов) решается приближенно. В данной работе используя метод разделения переменных были найдены точные решения этой системы. Данный метод широко используется при построении точных решений дифференциальных уравнений математической физики. В работе были найдены частные решения системы (1), которые могут быть использованы при решении весьма общих краевых задач. Например, для определения потенциала электростатического поля при заданном распределении заряда на границе рассматриваемой области.