Построение сечений многогранников

С детства родители прививали мне любовь к математике давая различные задачи развлекательного характера. Одной из таких задач является следующая задача.

Из шести спичек составить четыре треугольника.

Если мы раскладывали шесть спичек на столе и перемещали их по столу (выполняли планиметрический чертёж), то все попытки решить задачу оказывались неудачными. Однако, когда мы расположили спички в пространстве, то сразу всё получилось: спички составили так, что получилась треугольная пирамида (точнее, рёбра пирамиды), и решение задачи было готово.

Изучая геометрию школьного курса, я узнала много нового о тех фигурах и телах, которые у меня получались при решении развлекательных задач. Посещая занятия летней школы, элективные курсы я стала серьёзнее заниматься математикой (геометрией).

Я поставила перед собой цель: научится грамотно изображать многогранники на плоскости и строить их сечения, дальше развивать своё пространственное воображение.

Заинтересовавшись этой темой я обратилась к своему учителю, который помог мне в подборе литературы.

Раздел геометрии, посвящённый изучению фигур в пространстве, называется стереометрией.

Основными объектами стереометрии являются точки, прямые, плоскости, пространство.

Зрительные образы, связанные с точками, прямыми и плоскостями, мы заимствуем из окружающего нас мира. В частности, изучая планиметрию, мы говорили, что наглядное представление о плоскости даёт, например, лист бумаги или поверхность стола, если вообразить их неограниченно продолженными. Представление о прямой даёт туго натянутый шнур или след карандаша на бумаге при проведении отрезка с помощью линейки, если вообразить их неограниченно продолженными. Изображениями точек являются, например, маленькая песчинка на столе или след на бумаге, оставленный остриём циркуля. Эти зрительные образы очень важны, так как позволяют наглядно представить свойства пространственных фигур на основе определений и доказательств. Каждое доказательство использует некоторые ранее установленные свойства.

Многогранник

В пространстве многоугольникам соответствуют многогранники.

Многогранником называют геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников (граней).

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону плоскости каждого плоского многоугольника на его поверхности. Общая часть такой поверхности называется гранью. Грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Стороны граней многогранника называются рёбрами многогранника, а вершины – вершинами многогранника. Поверхность многогранника называется связной, если любые две её точки можно соединить прямой, целиком принадлежащей этой поверхности. Связная поверхность называется односвязной, если любая принадлежащая ей замкнутая кривая делит эту поверхность на две части. Неодносвязную поверхность можно получить если, например, в бруске, имеющем форму кирпича, проделать квадратное отверстие.

Многогранник называется обыкновенным, если всякое его ребро принадлежит двум граням.

Призма

Так же призму можно определить как многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях, и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. При этом многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.

Так как параллельный перенос есть движение, то основания призмы равны. Так как при параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), то у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые рёбра параллельны и равны.

Пирамида

Проведём из некоторой точки пространства лучи, проходящие через все точки некоторого многоугольника. Если выбранная точка не лежит в плоскости выбранного многоугольника, то мы получим бесконечную пирамиду. Всякая плоскость, не параллельная ни одному из построенных лучей, отсекает многогранник, называемый пирамидой. Если же пересечь бесконечную пирамиду двумя параллельными плоскостями, не параллельными ни одному из лучей, то получится усечённая пирамида. Куски, отсекаемые при этом от секущих плоскостей, называются основаниями усечённой пирамиды. Высотой пирамиды называется расстояние от её вершины (точки, из которой выходят лучи) до основания; высотой усечённой пирамиды – расстояние между её основаниями.

Отрезки прямых, используемые при определении призмы и пирамид, лежащие на поверхности этих многогранников, называются образующими.

Правильные многогранники

Правильным называется выпуклый многогранник, имеющий равные рёбра, углы между ними, а так же одинаковые грани.

Одновременно это означает, что все его грани представляют собой правильные многоугольники. Нетрудно убедится, что существует всего 5 видов правильных многогранников. Действительно, если мы хотим построить часть правильного многогранника , прилежащую к одной из его вершин, то можем использовать для этого только правильные треугольники, квадраты или пятиугольники. Дело в том, что внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам; поскольку для построения части многогранника, прилежащей к одной вершине, требуется, по крайней мере, три многоугольника, то в этом случае мы получили бы в сумме угол в 360 градусов, что невозможно, так как во всяком выпуклом многограннике сумма углов между рёбрами, выходящими из одной вершины менее 360 градусов. Построить часть правильного многогранника, прилежащую к одной вершине так, чтобы сумма углов между соответствующими рёбрами не превышала 360 градусов, можно с помощью трёх, четырёх или пяти треугольников, а так же с помощью трёх четырёх- или пятиугольников. Соответственно этому известны правильные многогранники следующих типов: правильные тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб), додекаэдр и икосаэдр. Для каждого правильного многоугольника можно построить вписанный и описанный шары. Обычно эти многогранники производят впечатления «правильных» благодаря своим свойствам симметрии.

Как обобщение правильных многогранников рассматривают полуправильные многогранники, грани которых представляют собой правильные многоугольники (не обязательно равные) а многогранные углы при вершинах равны. Такие многогранники могут иметь не более трёх граней с различным числом сторон. Простейшим примером полуправильного многогранника является призма, основания которой – правильные n-угольники, а боковые рёбра – правильные четырёхугольники (квадраты).

Плоскость, пересекая многогранник, оставляет на его гранях или на некоторых из них следы в виде отрезков прямых. Исключение может быть только в том случае, когда плоскость проходит через одну из вершин многогранника. Плоская фигура, составленная следами секущей плоскости на поверхности многогранника, называется сечением этого многогранника

О числе сторон сечений

Само собой разумеется, что число сторон сечения не может превысить число граней многогранника. С другой стороны оно не может быть меньше трёх, так как число сторон выпуклого многоугольника не может быть меньше трёх. Поэтому число сторон сечения может колебаться от наибольшего числа, равного числу граней многогранника (включая и его основания), до трёх в зависимости от формы многогранника, его граней, а так же в зависимости от взаимного расположения плоскости сечения и многогранника.

Заранее определить число сторон сечения нельзя, но можно сказать, что если, постепенно строя следы плоскости сечения на гранях, мы получим замкнутый выпуклый многоугольник, то можно прекратить дальнейшее построение следов секущей плоскости на оставшихся гранях, как бы мало ни было число сторон выпуклого многоугольника, лишь бы оно не был меньше трёх. Можно быть уверенным, что на оставшихся без рассмотрения гранях плоскость сечения не оставляет никаких следов или потому, что секущая плоскость вовсе не пересекает плоскостей этих граней, или потому, что линии пересечения плоскостей находятся вне поверхности многогранника.

О методах построения сечений

1. Самый распространённый метод – «метод следов». Он состоит в том, что в первую очередь строится след секущей плоскости на плоскости определённой грани многогранника, на диагональной плоскости или на плоскости симметрии, затем строится след соответствующего бокового ребра на плоскости сечения, после чего уже строится след секущей плоскости на остальных гранях многогранника.

Метод следов больше всего подходит к школьным условиям. Метод следов, в особенности в его применении к внутренним плоскостям, больше всего отвечает требованиям школьного преподавания, так как он в большей мере, чем другие методы, даёт простор пространственному воображению, даёт большие возможности вскрыть в фигурах те их геометрические свойства, которые не сразу бросаются в глаза, и стимулирует к пользованию теоремами.

Алгоритм построения сечения методом следов

1. Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести прямую - сторону сечения).

2. Построить след сечения на плоскости основания многогранника.

3. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом).

4. Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани.

5. Выполнить п. 1.

2. Ещё профессор Н. Ф. Четверухин для построения сечений предложил в отдельно изданной книге «Стереометрические задачи» новый метод проектирования (центрального – для пирамид и конусов, параллельного – для призм и цилиндров). В основном существо этого метода проектирования сводится к следующему:

• Отмечаем на плоскости основания четыре точки: три проекции трёх точек, определяющих плоскость сечения, и одну надлежащим образом выбранную вершину основания, которая должна служить проекцией одной их вершин сечения. Проводим диагонали отмеченного четырёхугольника. Затем на плоскости сечения (вернее, на одной из её прямых) строим точку, проекцией которой служит точка пересечения диагоналей. Найдя четвёртую точку секущей плоскости, нетрудно уже построить само сечение.

Метод проектирования очень хорош в применении к первым разделам стереометрии, как, например, в задачах на построение линий пересечения двух плоскостей, заданных своими тремя точками, на построение следа прямой на плоскости и т. п. В этом отношении метод проекций действенней метода следов.

Алгоритм построения сечения методом внутреннего проектирования.

1. Построить вспомогательные сечения и найти линию их пересечения.

2. Построить след сечения на ребре многогранника.

3. Если точек сечения не хватает для построения самого сечения повторить пп. 1-2.

Метод параллельных прямых.

В основу метода положено свойство параллельных плоскостей: «Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Алгоритм построения сечения методом параллельных прямых.

▪ Строим проекции точек, определяющих сечение. Через две данные точки (например, P и Q) и их проекции проводим плоскость.

▪ Через третью точку (например, R) строим параллельную ей плоскость α.

▪ Находим линии пересечения (например, m и n) плоскости α с гранями многогранника содержащими точки P и Q.

▪ Через точку R проводим прямую d, параллельную PQ.

▪ Находим точки пересечения прямой d с прямыми m и n.

▪ Находим точки пересечения с ребрами соответствующей грани.

Метод параллельного переноса секущей плоскости.

▪ Строим вспомогательное сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим требованиям: а) оно параллельно секущей плоскости; б) в пересечении с поверхностью данного многогранника образует треугольник.

▪ Соединяем проекцию вершины треугольника с вершинами той грани многогранника, которую пересекает вспомогательное сечение, и находим точки пересечения со стороной треугольника, лежащей в этой грани.

▪ Соединяем вершину треугольника с этими точками.

▪ Через точку искомого сечения проводим прямые параллельные построенным отрезкам в предыдущем пункте и находим точки пересечения с ребрами многогранника.

Комбинированный метод

Суть метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в пространстве в сочетании с аксиоматическим методом. Применяется для построения сечения многогранника с условием параллельности.

Практическая часть

1. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через данную прямую, параллельно другой данной прямой.

Задача.

Построить сечение многогранника плоскостью α, проходящей через заданную прямую p параллельно другой заданной прямой q.

Решение.

Через вторую прямую q и какую-нибудь точку W первой прямой р провести плоскость β.

В плоскости β через точку W провести прямую q‘ параллельную q.

Пересекающимися прямыми p и q‘ определяется плоскость α.

Непосредственное построение сечения многогранника плоскостью α

Задача.

Дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’, и заданы прямые b и d. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через прямую b параллельно прямой d, если b и d – это соответственно следующие прямые: D’Q и OO’, где точка Q – середина ребра A’B’, точки O и O’ – центры соответственно граней ABCD и A’B’C’D’.

Решение.

Построим сначала вспомогательное сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, R и какую-нибудь точку прямой PQ, например, через точку Q. В сечении получим фигуру AQLR, причём ясно, что QL AR. Тогда через прямые QL и PQ проходит искомая плоскость. Итак, сечение параллелепипеда определяется точками Q, L и P. Как обычно, строим это сечение. Получаем фигуру QLPNM.

2. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через данную точку параллельно двум данным скрещивающимся прямым.

Задача.

Построить сечение многогранника плоскостью α, проходящей через заданную точку К параллельно двум заданным скрещивающимся прямым m и n.

Решение.

Выбрать некоторую точку W. Эта точка может лежать на одной из заданных скрещивающихся прямых, может совпадать с точкой К.

Через точку W провести прямые n‘ и m‘. Если точка W лежит на одной из прямых, например на прямой n, то прямая n‘ совпадает с прямой n.

Пересекающимися прямыми n‘ и m‘ определяется плоскость β – плоскость вспомогательного сечения многогранника. Строим сечение многогранника плоскостью β.

Строим сечение многогранника плоскостью α, проходящей через точку К, параллельно плоскости β.

Задача.

Дана треугольная призма ABCA’B’C’ и прямые b и d. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через данную точку K параллельно прямым b и d, если прямая b совпадает с прямой B’P, d – с A’C, где точка P – середина ребра AB, а точка K – середина ребра AA’.

Решение.

В плоскости грани AA’C’C через точку K проведём прямую KL, параллельно прямой A’C, а в плоскости грани AA’B’B – прямую KM, параллельную B’P. Далее найдём точку N, в которой прямая KM пересекает продолжение ребра AB, а затем проведём прямую NL, по которой секущая плоскость пересекает плоскость ABC. Найдём точку D, в которой пересекаются прямые NL и BC. Точка D принадлежит секущей плоскости и плоскости грани BB’C’C, найдём ещё одну точку, принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости грани BB’C’C. Этой точкой будет точка F, в которой прямая MK пересекает продолжение ребра BB’. Таким образом, получаем прямую FD и находим точку E – пересечения прямой FD и ребра B’C’, а затем проводим прямую ME. Искомое сечение - это фигура KMEDL.

Задача.

Дан многогранник ABCDA’B’C’D’; на его рёбрах AD, DC и B’C’ отмечены соответственно точки K, L и N. Построить сечение этого многогранника плоскостью, определяемой точками K, L и N.

Решение.

В плоскости ABC продолжим прямую KL до пересечения рёбер BC и AB в точках E и F. Точка E является общей точкой трёх плоскостей: ABC, BB’C’ и секущей плоскости KLN, а точка F – общей точкой плоскостей ABC, AA’B’ и секущей плоскости KLN. В плоскости грани BB’C’C соединяем точки E и N прямой. Прямая EN пересекает ребро CC’ в точке M, а продолжение BB’ – в точке G; тоска G является общей точкой плоскостей AA’B’, BB’C’ и секущей плоскости.

Теперь в плоскости грани AA’B’B соединяем точки G и F прямой. Прямая GF пересекает ребро A’B” в точке P, а ребро A’A в точке R. Соединяем точки K, L, M, N, P и R и получаем искомое сечение.

И, в заключении, я бы хотела посоветовать несколько сайтов, которыми я пользовалась при подготовке к урокам геометрии.

Использование циркуля и линейки для изображения пространственных фигур имеет свои недостатки. Во-первых, оно занимает много времени даже для изображения простых пространственных фигур, не говоря уже о сложных. Во-вторых, использование циркуля и линейки является, скорее, теоретическим методом, свидетельствующим о возможности построения фигуры, чем практическим. На практике неизбежные погрешности могут приводить к неправильным изображениям. Например, такие погрешности возникают при построении прямой, параллельной данной. В-третьих, для изображения круглых тел (цилиндр, конус, сфера) требуется построить изображение окружности, являющееся эллипсом. Однако циркулем и линейкой можно построить отдельные точки эллипса, но не весь эллипс. Соединяя же отдельные точки эллипса плавной кривой, мы получим только приближенное изображение эллипса, не всегда отличающегося хорошим качеством.

Изображения пространственных фигур можно строить не только с помощью циркуля и линейки, но и используя компьютерные графические редакторы. Компьютер как чертёжный прибор имеет ряд преимуществ по сравнению с циркулем и линейкой.

Использование графического редактора позволяет получать изображения гораздо более сложных пространственных фигур, в том числе на комбинации многогранников и тел вращения.

Для построения пространственных фигур и их сечений очень удобна программа 3D SecBuilder (автор А. В. Федюков). Она содержит заготовки изображений основных пространственных тел: правильных призм, пирамид, тел вращения и правильных многогранников. Их можно увеличивать и уменьшать, поворачивать относительно координатных осей; включив режим анимации, наблюдать процесс вращения тела в пространстве.

В любой из этих фигур можно построить сечение плоскостью, проходящей через 3 точки, лежащие на гранях тела.