Практические задания по тригонометрии

Так как многие разделы математики имеют недостаточно понятный материал для восприятия, т. е. с учётом пространственного воображения или простое заучивание формул, мы попытались сделать «Сборник заданий по тригонометрии и математике с практическим содержанием». Мы не ставили своей целью дублировать все задания из учебников, а старались показать решение наиболее характерных заданий. Все задания даны в соответствии со школьной программой. После каждого раздела мы дали несколько заданий для самостоятельного решения и закрепления материала.

Примеры решения задач

1. Открытая форточка удерживается в наклонном положении при помощи шарнирного механизма ABC. Определить каким должен быть размер двух равных стержней AB и BC, чтобы угол AOC1, который будет соответствовать наибольшему раствору форточки, был равен 60 °.

Решение:

На чертеже пунктиром показан угол AOC1 = 600, который будет соответствовать максимальному раствору форточки. Нетрудно доказать, что AOC1 – равносторонний. В самом деле, ОА = OC1 = 80см (треугольник AOC1 - равнобедренный), а угол АОС1=600. Так как АВ=ВС, то АВ1=В1С1, и из равностороннего треугольника АОС1 имеем, что АС1=ОС1=80см, а АВ1=ВС1== 40 (см).

1) Механизм – система звеньев, в которой перемещение одного звена (ведущего) вызывает совершенно определенные перемещения остальных звеньев системы.

2) Шарниры – соединения элементов конструкции, обеспечивающие их свободный взаимный поворот.

3) Стержень – прямолинейный элемент конструкции, как правило несущий нагрузку, длина которого значительно превосходит другие измерения.

2. Для измерения расстояния (по горизонтали) между двумя точками А и В, расположенными по разные стороны возвышенности, поступают следующим образом: из точек А и В на местности провешиваются перпендикуляры на произвольную прямую MN и продолжают их за точки пересечения с этой прямой соответственно на расстоянии КА’ = АК и LB’ = BL. Доказать, что отрезок прямой, соединяющий точки A’ и B’, равен искомому расстоянию АВ.

Решение:

Проведём из точек В и В’ прямые BD и BD’, паралельные MN. Тогда треугольники ABD и A’B’D’ – прямоугольные и, так как BD = B’D’ и AD = A’D’, равны. Следовательно, AB = A’B’.

3. На вогнутое сферическое зеркало, радиус которого равен r падает луч, составляющий с главной оптической осью угол. Определить, на каком расстоянии от центра отражённый лу ч пересечёт главную оптическую ось зеркала, если известно, что светящаяся точка S лежит на этой оси на расстоянии d от зеркала.

Решение:

Так как угол падения равен углу отражения, то SAO=OAF=x. В треугольнике AFS AFO=-. Из треугольников AFO и AOS по теореме синусов имеем:. Так как cos2x = 1 – 2sinx = , а sin2x=2sinxcosx= , то FO

4. На шоссе MN найти такую точку, из которой фасад здания AB был бы виден под возможно большим углом зрения.

Решение:

Нетрудно доказать, что фасад AB здания виден из этой точки C дороги MN, в которой окружность, проходящая через точки A и B, касается

MN под наибольшим углом. Действительно, углы BEA и BCA равны, как вписанные углы, опирающиеся на дугу AB. ‹BEA = как внешний угол треугольника AED. Следовательно, ‹BEA=‹BCA= = т. е. большего любого другого угла, под которым виден с дороги MN фасад AB здания. Построение искомой точки C сводится к построению окружности, касательной к данной прямой MN и проходящей через данные точки A и B. Если продолжить прямую AB до пересечения в точке R с прямой MN, то расстояние RC можно определить по формуле: RC= и тем самым будет найдено положение точки С.

4) Фасад – наружная лицевая сторона здания или сооружения.

5. Вы пришли в магазин и хотите купить 8 одинаковых авторучек, несколько карандашей по 4 копейки, линейку за 9 копеек, 2 общие тетради по 18 копеек и 12 тонки тетрадей. Продавец подсчитал общую стоимость товаров и попросил вас уплатить в кассу 5 рублей 27 копеек. Как, по-вашему, не ошибся ли продавец?

Решение:

Если бы линейка стоила на 1 копейку дешевле, то общая стоимость товаров, выраженная в копейках, была бы кратна 4, так как в этом случае стоимость каждого вида перечисленных в условии предметов делилась бы на 4. Поскольку названа сумма 5 рублей 27 копеек, то число 27 – 1 = 26 должно делиться на 4, что неверно. Таким образом, сумма подсчитана с ошибкой.

6. Докажите, что любую денежную сумму, выраженную целым числом рублей можно заплатить одними трёхрублёвыми купюрами, если у кассира имеются только пятирублёвые купюры. Какое наименьшее количество пятирублёвых купюр достаточно при этом иметь кассиру?

Решение:

Если у кассира нет ни одной пятирублёвой купюры, то покупатель может заплатить за покупку купюрой стоимостью в n рублей только при условии, что число n кратно 3, либо даёт остаток 1 при делении на 3. Наконец если кассир 2 пятирублёвые купюры, то покупатель может заплатить за покупку при любом значении n. Таким образом, в условие задачи кассир должен иметь как минимум 2 пятирублёвые купюры.

7. От полного стакана чёрного кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Только после этого я выпил всё до конца. Чего в итог я выпил больше: молока или чёрного кофе?

Решение:

Количество чёрного кофе с самого начала было равно 1 стакану, а молока было долито сначала пол стакана, затем треть стакана и, наконец, шестая часть стакана, т. е. в общей сложности стакан. Следовательно, кофе и молока было выпито поровну.

7. Вы плывёте на лодке по озеру и хотите узнать его глубину. Нельзя ли воспользоваться для этого торчащим из воды камышом, не вырывая его?

Решение:

Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние a между точками A и B, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклонном положении. Возвратим камыш в исходное состояние и определим высоту b над водой, на которую поднимается при этом точка B наклонённого камыша, заняв исходное положение C. Тогда, обозначив через D основание камыша, а через x - искомую глубину AD, из прямоугольного треугольника ABD находим

, откуда

2bx=и x=.

8. Невдалеке от двух населённых пунктов проходит шоссе. В каком месте этого шоссе нужно построить автозаправочную станцию, чтобы расстояния от неё до обоих пунктов были одинаковыми?

Решение:

Обозначим через А и В, данные в задаче населённые пункты, и проведём на местности серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Так как все точки этого перпендикуляра равноудалены от пунктов А и В и никакие другие точки этим свойством не обладают, то автозаправочную станцию нужно построить в точке пересечения перпендикуляра с шоссе (если такая точка найдётся).

9. Поезд длиной 1км идёт со скоростью 60км/ч. Сосчитайте в уме, сколько времени понадобится поезду для прохождения тоннеля длиной 1км.

Решение:

Так как скорость поезда равна 1км/мин, то через одну минуту после начала вхождения в тоннель поезд окажется расположенным полностью в тоннеле, а ещё через минуту он покинет тоннель. Итого для прохождения тоннеля поезду понадобится две минуты.

10. Три туриста хотят добраться до селения, имея только два велосипеда. Как туристам нужно организовать движение, чтобы как можно быстрее всем троим добраться до селения?

Решение:

Движение можно организовать так. Два туриста отправляются на велосипедах, а третий идёт пешком одновременно с ними. Первый турист проезжает две трети пути до селения, и далее идёт до селения пешком. Второй турист проезжает треть пути, оставляет велосипед, далее проходит ещё треть пути пешком и затем едет на велосипеде, оставленном первым туристом. Наконец, третий турист проходит треть пути пешком, а затем садится на велосипед, оставленный вторым туристом, и едет на нём до селения. Таким образом, каждый турист одну треть пути пройдёт пешком и две трети проедет на велосипеде, следовательно, все трое прибудут в селение одновременно.

Задачи для самостоятельного решения: по геометрии

1. Каждый из двух равновеликих участков нужно обнести забором. Один участок имеет форму квадрата со стороной 80 м, а другой – форму прямоугольника, одна сторона которого равна 50 м. На какой забор потребуется больше материала и на сколько, если на каждые 12 м забора нужно 1 м3 пиломатериалов?

2. Ребята решили пристроить к стене школы физкультурный зал прямоугольной формы. Оказалось, что у них кирпича хватит только на 100 м стены (по периметру трех новых стен). Зал должен быть как можно больше по площади. Что вы посоветуете ребятам? Какие размеры постройки выбрать?

3. Из проволоки, длина которой 16 см, нужно согнуть прямоугольный контур, ограничивающий наибольшую площадь. Какими должны быть размеры этого контура?

4. Отштукатуренная стена длиной 8,25 м и высотой 4,32 м имеет три окна размером 2,2×1,2 м каждое. Найдите площадь той поверхности стены, которая покрыта штукатуркой.

5. Пол школьного зала имеет прямоугольную форму размером 11× 8,8 м. Требуется его выстелить плитками квадратной формы размером 22×22 см каждая. Сколько потребуется таких плиток, если на обрезки и пригонку затрачивается 3% от общей площади всех плиток?

6. Требуется выстелить пол комнаты размером 6×4 м плитками правильной шестиугольной формы. Сколько таких плиток необходимо иметь, если сторона плитки 20 см.

7. Некоторая поверхность площади S покрыта равными правильными шестиугольными плитами. Найдите площадь поверхности, которую можно покрыть тем же числом равных правильных треугольных плиток, если сторона треугольной плитки равна меньшей диагонали шестиугольной плитки.

8. Пол прямоугольного фойе театра, размер которого 14,6×8,4 м требуется покрыть керамическими плитками двух разных цветов (поровну каждого цвета). Сколько требуется плиток каждого цвета, если плитка имеет форму правильного шестиугольника со стороной 10 см?

9. Стальная проволока диаметром 5 мм имеет предел прочности 85 кг/мм2. При какой массе груза Q проволока может разорваться?

10. Из листа фанеры размером 220×80 см для цветочных ящиков требуется вырезать равнобокие трапеции с основаниями 30 и 10 см и острым углом 450, причем сделать разметку требуется наиболее рациональным способом. Сколько таких трапеций можно вырезать из этого листа?

11. На здании МГУ установлены часы с круглым циферблатом, имеющим диаметр примерно 8,8 м. Найдите площадь циферблата этих часов и сравните с площадью вашей классной комнаты задачи по математике:

1. Освещение комнаты считается нормальным, если площадь проемов окон составляет не менее 0,2 площади пола. Определите, нормально ли освещение вашего класса, комнаты.

2. Трактор, двигаясь со скоростью v км/ч, тянет за собой дисковую сеялку с рабочим захватом l м. Сколько гектаров можно засеять таким образом за 8 – часовой рабочий день?

3. Комната длиной 5,6 м и шириной 4,5 м имеет балкон в форме половины правильного шестиугольника со стороной 1,6 м. Определить площадь пола комнаты и балкона.

4. Вода течет по двум трубам с одинаковой скоростью. Первая труба имеет диаметр d1 = 20 см, а вторая – d2 = 15 cм. Во сколько раз подача воды в первой трубе больше, чем во второй?

5. Найдите предельную нагрузку, которую может выдержать латунная проволока, если диаметр ее поперечного сечения 2,5 мм, а предельная нагрузка для латуни при растяжении составляет 65 кг/мм2.

6. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр этого числа прибавить произведение его цифр, то получится задуманное число. Найдите это число.

7. Из бутылки, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1л и долили бутыль водой, затем отлили еще литр и опять долили водой. В бутыли оказался 3%-ный раствор соли. Какова вместимость бутыли?

8. Бассейн объемом 1м3 заполняется двумя насосами одновременно. Первый насос перекачивает за час на 1м3 больше, чем второй. Найдите время, за которое каждый насос в отдельности может наполнить бассейн, если первому насосу нужно для этого на 5 мин. меньше, чем второму.

9. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найдите это число.

10. Фляга наполнена 96%-ным раствором соляной кислоты. Из нее отлили 12л кислоты и дополнили флягу водой. Затем из фляги отлили еще 18 литров и снова дополнили ее водой, после чего концентрация кислоты во фляге составила 32%. Найдите объем фляги.

11. Два сборщика винограда, работая вместе, собрали виноград с определенного участка за 12 часов. Первый сборщик, работая один, может собрать с этого участка виноград на 10 часов быстрее второго. За какое время каждый сборщик может выполнить работу?

12. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получится 7 и в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр, в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.

13. Морская вода содержит 5% (по весу) соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составило 2%?

14. Два компьютера, работая вместе, могут выполнить определенный объем работы за 3,75 часа. Работая отдельно, один из них выполнил бы эту работу на 4 часа быстрее другого. Сколько времени потребовалось бы каждому компьютеру для выполнения работы?

15. Сумма квадратов цифр некоторого двузначного числа на 1 больше утроенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр, в частном получается 7 и в остатке 6. Найдите это двузначное число.

16. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?

17. Бассейн, содержащий 30м3 воды, сначала был опорожнен, а затем снова наполнен до прежнего уровня, для чего потребовалось 8 часов. Сколько времени заполнялся бассейн, если вливающий воду насос перекачивает в час на 4м3 меньше, чем выливающий?

18. Если идти шагом по поднимающемуся эскалатору, то можно подняться на 10 секунд раньше, чем стоя на нем. Если же не идти, а бежать вверх, то можно выиграть еще 5 секунд. Пассажир, стоя на эскалаторе, поднялся на половину высоты эскалатора, после чего последний остановился. Вторую половину подъема пассажир прошел шагом. Сколько времени занял у него весь подъем, если человек бегает в 2 раза быстрее, чем ходит?

19. В одном стакане налито некоторое количество чёрного кофе, а в другом – молока. Из первого стакана во второй перелили ложку кофе, а затем, не размешивая содержимое второго стакана, перелили из него в первый ложку жидкости. Чего в результате стало больше кофе в первом стакан или молока во втором? Попробуйте подсчитать в уме.

Тригонометрические формулы

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

00 300 450 600 900 1800

sin 0 1 0

cos 1 0 -1

tg 0 1 - 0

Тригонометрические тождества:

1. cos2x + sin2x = 1

2. tgx =

3. ctgx =

4. 1 + ctg2x = 1/sin2x = cos ec2 a

5. 1 + tg2x = 1/cos2x = sin ec2 a

6. tgx ctgx = 1

Тригонометрические функции кратных углов:

1. sin2x = 2sinxcosx

2. sin3x = 3sinx -4sin3x

3. cos2x = cos2x - sin2x

4. cos2x = 1 – 2sin2x

5. cos2x = 2cos2x - 1

6. cos3x = 4cos3x – 3cosx

7. cos4x = 8cos4x – 8cos2x + 1

8. sin4x = 8cos3xsinx – 4cosxsinx

9. tg2x =

10. ctg2x =

11. tg3x =

12. ctg3x =

13. tg4x =

14. ctg4x =

Произведение тригонометрических функций:

1. sinxcosу = (sin(x + y) + sin(x -y))

2. cosxcosу = (cos(x +y) + cos(x -y ))

3. sinxsinу = ( cos(x - y) - cos(x + y))

Тригонометрические функции половинного угла:

1. sin =

2. cos =

3. tg =

4. ctg =

Сумма тригонометрических функций:

1. sinxsiny=

2. cosx-cosy=

3. cosx+cosy=

4. tgxtgy=

5. ctgxctgy=

6. cosx+sinx=

7. cosx-sinx=

8. tgx+ctgy=

9. tgx-ctgy=

10. tgx-ctgx=-2ctg2x

11. 1+cosx=2cos

12. 1-cosx=2sin

13. 1+sinx=2cos

14. 1-sinx=2sin

Понижение степени тригонометрических функций:

Примеры решения тригонометрических уравнений

Решите уравнения (1 - 9) а)Уравнения, алгебраические относительно одной из тригонометрических функций:

1. 2sin2x – 7sinx + 3 = 0 sinx = (7 )/4=(7 5)/4, откуда sinx1/2 и sinx=3 не имеет решений , т. к. 1. Решая уравнение sinx=1/2, находим х=(-1)

2. 2sin2x – 5 cosx = 0

Заменяя sinx на 1 - cosx и приведя уравнение к квадратному относительно cosx получим. Корни которого cosx = -1, cosx = -3/2 – решений не имеет. Решая уравнение cosx = -1, находим x =

3. tgx + 3ctgx = 0

Так как ctgx = 1/tgx, то сделав замену и приводя к общему знаменателю, получаем. Решая получаем tgx=1, tgx=3, откуда имеем x=.

б)Однородные уравнения:

4. 2sinx - sinxcos x-cosx=0

Если cosx=0, то 2sinx=0, т. е. чего не может быть.

Поэтому если разделить обе части на cos x(или на sinx), мы не потеряем решений. Итак имеем:. Откуда получаем tgx=-1/2, tgx=1. т. е. x=arctg

5. 2sin2x + 5sinxcosx + cos2x – 4 = 0

Умножим свободный член на (cos), получим однородное уравнение:. Разделив на cosx, 2tg-5gx+3=0. Откуда tgx=1; в) Уравнения решаемые понижением их порядка. Формулы удвоения позволяют квадраты синуса, косинуса и их произведений заменить линейными функциями от синуса или косинуса двойного угла. Такие замены делать выгодно, они понижают порядок уравнения.

6. sin2x + sin22x=sin23x

Используем формулу понижения степени синуса: , т. е. После очевидных преобразований получим (1+cos6x)-(cos2x+cos4x)=0

2cos3x-2cos3xcosx=0

2cos3x (cos3x-cosx) =0 или cos3x=0 и cos3x-cosx=0

3x= -2sin2xsinx=0 x= sin2x=0, sinx=0

2x= x=, x=

Так как sinx подмножества sin2x, то x=,-множество корней данного уравнения.

7. sin4x + cos4x = cos4x

Воспользуемся формулами понижения степени, имеем cos4x =cos2x-sin2x=cos2x-(1- cos2x)=2cos2x-1.

Исходно уравнение имеет вид:

Сделаем замену cos2x=y, тогда , откуда y=1 или cos2x=1. Снова воспользуемся формулой понижения степени, имеем: откуда получаем cos4x=1 4x=2 x=.

г)Уравнения решаемые путем разложения на множители:

8. sin2x + 3cos2x + 3 = 0

Выполним преобразования:

2sinxcosx+3(cos2x+1)=0

2sinxcosx+32cosx=0 cosx (sinx+3cosx)=0 cos=0 или sinx+3cosx=0 x= tg+3=0 tgx=-3 x=arctg(-3)+

9. sinx + sin2x +sin3x = 0

Сгруппируем, затем применим формулу суммы синусов, т. е.

2sin2xcosx+sin2x=0 sin2x(2cosx+1)=0, откуда sin2x=o или 2cos+1=0

2x=, 2cosx=-1 x=,

Задания для самостоятельного решения

1. Сократить дробь: а2 – 1_ а2 – 3а + 2

2. Вычислить:

3. Упростить: х + 3х2 + 36х + 81 - х3 - 27 х2 + 3х х2 – 3х ∙ х

4. Упростить: х – 4_ + х + 2х 0,5 - 2х 0,5 х 0,5 – 2 х 0,5 + 2

5. Упростить:

6. Сократить дробь: а2 – 30а +144_ а2 – 36

7. Вычислить:

8. Упростить: х2_ - _2х _ ∙ 1 + 3х + х2

3х - 18 х2 – 5х- 6 3 + х х

9. Упростить:

2х0,5 + х + х – 4_ + 2

2 + х 0,5 2 + х 0,5

10. Сократить дробь:

2xy – 2x - y +1

2x2 + x - 1

11. Упростить: x ∙ х - 5_ + 4 (х + 1) ∙ х3 – 16x_

6х - 3x2 х3 + 4х2 9х2 – (x+4)2

12. Упростить: х – 9 - х – 3 х 0,5 - 3 х 0,5 - 3 х 0,5 - 3

13. Сократить дробь: a2 – 4a + 4_ a2 + ac2 – 2a – 2c2

14. Вычислить:

15. Упростить:

2х2 _ + 4х_ - 4х2 _ х - 2 х2 - 5х + 6 3х – 9

16. tgxcosx + tgx – cosx = 0

17. sin2x = sinx

18. cosx/(1 - sinx)=1 + sinx

19. sin5x + cos3x = 0

Мы считаем, что мы достигли своей цели, мы составили учебное пособие по применению математики для учеников различного возраста для мотивации изучения математики с 5 класса.

Поставленные перед нами задачи на наш взгляд были выполнены. Нашими задачами являлись:

1. Систематизировать материал для применения некоторых разделов математики к решению задач.

2. Составить сборник для самостоятельного решения.

3. Продолжить аналогичную работу по другим разделам математики с правом передачи последующим выпускникам.

Единственная наша последняя задача, продолжить аналогичную работу по другим разделам математики, будет осуществлена в 11 классе, т. е. на следующий год.

Мы надеемся, что вам понравилось наше пособие!!!