Приемы быстрого счета

В наш век высоких технологий и компьютеризации умение быстро и правильно производить в уме достаточно сложные вычисления ни в коем случае не утратило своей актуальности. Каждый культурный человек должен уметь производить какие-либо расчеты, не имея в своем распоряжении таблиц или счетной машины.

Знание упрощенных приемов вычислений дает возможность не только быстро производить простые расчеты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате бытовых вычислений.

Специальные приемы устного счета

Прием округления

Очень эффективный и часто употребляемый прием устного счета. Этот прием можно использовать во всех четырех арифметических действиях.

При сложении используем свойство: если одно из слагаемых уменьшить на соответствующее число единиц, а другое слагаемое увеличить на такое же число единиц, то сумма не изменится.

Например: 186+129=(186+14)+(129-14)=200+115=315

При вычитании используются свойства:

• Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то разность тоже увеличивается на столько же единиц. Следовательно, это количество надо вычесть из конечного результата.

Например: 56-38=((56+2)-38)-2=18

• Если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то разность уменьшается на соответствующее количество единиц. Чтобы этого не произошло, к полученному результату необходимо прибавить вычтенное число.

Например: (56-(38+2))+2=16+2=18

При умножении используется свойство:

Если один из множителей уменьшить в несколько раз, а другой увеличить в такое же число раз, то произведение не изменится.

Например: 5024=(502) (24:2)=10012=1200

При делении используются свойства:

• Если делимое уменьшить в несколько раз, то частное уменьшиться в несколько раз, поэтому, чтобы результат не изменился, то его надо увеличивать во столько же раз.

Например: 720:6=((720:2):6) 2=(360:6) 2=602=120

• Если делитель увеличить в несколько раз, то частное уменьшится во столько же раз, оп этому, чтобы не изменился результат его надо увеличить во столько же раз.

Например: 720:5=(720:(52) 2=(720:10) 2=722=144

Приемы умножения на 5, 15, 25, 125

Умножим число на 5. Мы знаем, что 5х2=10 а5=(а52):2=(а10):2.

Таким образом, чтобы умножить число на 5 необходимо приписать к нему нуль и поделить на 2. Иногда (когда число а – четное) целесообразно действия выполнять в обратном порядке (сначала делить на 2, а затем приписывать нуль).

Умножим число на 25. Мы знаем, что 254=100.

а25=(а 254):4=(а100):4.

Таким образом, чтобы умножить число на 25 необходимо приписать к нему два нуля и поделить на 4. Это свойство целесообразно применять если число а делиться на 4, в этом случае сначала надо разделить число на 4, а затем приписать два нуля.

Правило умножения на 15.

Воспользуемся а15= а(10+5)=10а+5а=10а+(5а2):2, чтобы умножить число на 15 необходимо приписать к нему нуль и добавить половину получившегося числа.

Например: 4815=480+240=720

Правило умножения на 125.

Воспользуемся тем, что 1258=1000.

а 125=(а 11258):8=(1000а):8

Таким образом, при умножении числа на 125 необходимо приписать к нему три нуля и разделить его на 8. Свойство удобно применять если число а делиться на 8, в этом случае целесообразно сначала разделить его на 8, а уже затем к результату приписать три нуля.

Прием возведения в квадрат числа оканчивающегося на 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся на 5 надо первую цифру числа умножить на следующее число и к результату приписать 25.

а52=(а(а+1))25

Прием умножения на 9, 99, 999

Умножим число на 9.

а9=а(10-1)=10а-а

Чтобы умножить число на 9 надо приписать к нему 0 и вычесть само это число.

Чтобы умножить число на 99 надо приписать к нему два нуля и вычесть из получившегося числа начальное.

а999=а (1000-1)=1000-а

Чтобы умножить число на 999 надо приписать к нему столько нулей сколько девяток во втором множителе и вычесть начальное число.

прием умножения на 11, 101, 111

Умножим число на 11.

Для этого запишем умножение в столбик а в

_ а в а в

_ а(а+в)в

Чтобы умножить двухзначное число на 11 надо раздвинуть цифры числа и записать между ними сумму цифр числа. Если сумма больше десяти, то на место десятков надо поставить единицу суммы, а десяток суммы прибавить к сотням результата.

Аналогично при умножении трехзначного числа на 11.

а в с 11= а(а+в)(в+а)с

Можно воспользоваться другим правилом. Чтобы умножить число на 11 нужно приписать к числу нуль и прибавить множитель.

а 11=а (10+1)=10а+а

Умножить двухзначное число на101.

ав 101=ав (100+1)=100ав+ав=ав00+ав=авав

Чтобы умножить двухзначное число на101 достаточно приписать к нему такое же.

Чтобы умножить трехзначное число на 1001 необходимо к нему приписать такое же число. (Число 1001 называют числом Шахерезады 1001=7х11х13. )

умножение на 4, 8, 16

Чтобы умножить число на 4 его дважды удваивают.

1314=131(22)=(1312) 2=2622=524 а х4=а х2х2=(а х2)х2

Чтобы умножить число на 8 его трижды удваивают.

а 8=а24=((а 2) 2) 2

Чтобы умножить число на16 его четырежды удваивают и т. д.

Аналогично делят:

- чтобы разделить число на 4 необходимо его дважды разделить пополам;

- чтобы разделить число на 8 необходимо его трижды поделить пополам;

- при делении числа на 16 необходимо его четыре раза поделить по полам.

Аналогично можно умножать или делить на числа, которые легко разложить на удобные множители, например, на 6 (на 2и3), на 12 (на2;2 и 3)

4514=45(27)=(452)7=90 7=630

Умножение на двухзначное число, состоящее из одинаковых цифр.

Чтобы умножить число на аа необходимо сначала умножить его на 11, а затем получившийся результат на а.

Умножение на 37

Известно, что 37х3 =111. Поэтому, если первый множитель можно разделить на3, то его необходимо разделить на 3, и умножить на 111.

2737=9(337)=9111=999

Удивительные случаи вычислений

12. 345. 6799 =111111111

12. 345. 679 18=222222 222

12. 345. 679 27=333333333

12. 345. 67936=444444444

12. 345. 67945=555555 555

12. 345. 67954=666666 666

12. 345. 67963=777777 777

12. 345. 67972=888888 888

12. 345. 67981=999999999

19+2=11

129+3=111

1239+4=1111

12349+5=11111

123459+6=111111

1234569+7=1111111

12345679+8=11111111

123456789+9=111111111

1234567899+10=1. 111. 111. 111

1111=121

111111=12321

11111111=1234321

1111111111=123454321

111111 111111=12345654321

1111111 1111111=1234567654321

11111111 11111111=123456787654321

111111111 111111111=12345678987654321

Значение знаний упрощенных приемов вычислений особенно велико в том случае, когда под рукой нет подходящего прибора.

Поэтому в данной работе я постаралась собрать приемы упрощенных вычислений, основанных на использовании известных мне свойств и закономерностей натуральных чисел. Эти навыки помогут и в учебе, и в быту, и в профессиональной деятельности.