Применение четности, нечетности функции при решении заданий ЕГЭ

Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики.

Фурье Ж.

Математика – удивительный мир! Мы никогда не перестаем удивляться тому, как много можно сделать при помощи математики. Математика – эта царица и служанка любой науки.

Но отбросим эту поэзию. На сегодняшний день выпускнику одиннадцатого класса предстоит сдать Единый Государственный Экзамен, который, как говорят его создатели, должен помочь поступить в хорошие институты детям из глубинки. Ну что ж Придется доказывать свои прочные знания по тем или иным предметам. Но меня на данный момент интересует математика, а точнее алгебра и начала анализа.

Купив одну из книг для подготовки к ЕГЭ, я на первых страницах прочитала интересный материал. Оказывается, что по первой части максимальное количество баллов ученик может заработать равное 10, по части В – 11 баллов и главная часть, которая составляет 43% от всей работы по набранным «очкам», - это С. По ней можно заработать аж 16 баллов! Т. е. в сумме выпускник может заработать 37 баллов. Число приличное по сравнению с теми числами, что мы все показали на пробных экзаменах в декабре 2006 года.

На этом экзамене, как на войне, придется отвоевывать каждый балл. Я нашла хороший способ, как отвоевать пару, а то и больше баллов. Для этого я решила написать эту научно-практическую работу. В ней я решила рассмотреть один, но, на мой взгляд, очень важный вопрос. Это четность и нечетность функций. Я думаю, что мне удалось рассмотреть ее тщательнейшим образом, чуть ли не досконально.

До того, как я начала писать работу, я думала, что четность и нечетность функции мало, где возможно применить. Но я оказалась не права. Я нашла немыслимое число заданий на данную тему. Да же на пробном одно из заданий в В-части оказалось на четность, нечетность функции.

Теоретический материал

Что такое функция?

Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функцией или функциональной зависимостью.

Рассмотрим примеры:

Пример 1.

Путь, пройденный поездом со скоростью 60 км/ч, зависит от времени движения.

Обозначим время буквой t(в часах), а пройденный путь s(в километрах). Для каждого значения переменной t, где t > 0, можно найти соответствующие значения переменной s.

Например, если t=1, то s=60; если t=3, то s=180; если t=3,5, то s=210.

Зависимость переменной s от переменной t выражается формулой: s=50t.

В этом примере t – независимая переменная, а s – зависимая.

Пример 2.

Стоимость проезда в автобусе зависит от времени проезда. Эта зависимость показана в таблице (буквой n обозначена стоимость, а буквой t – время проезда в минутах).

t	15	30	60	80	90
n	8	16	32	60	75

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой говорят, что она является функцией от этого аргумента. Например, в примере 1 t – аргумент, а s – функция.

Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Например, область определения функции, рассмотренной в примере 1, состоит из всех положительных чисел.

График функции

Определение: Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Четность, нечетность функции

Вы знаете, что графики функции и симметричны относительно оси ординат. Такие функции называются четными.

Функция у(х) называется четной, если у(-х) = у(х) для любого х из области определения этой функции.

Например, функции и четные, так как для любого х и для любого.

Задача 1. 1. Построить график функции.

1. Область определения функции - множество всех действительных чисел.

2. Значение функции положительны при х > 0.

3. Докажем, что график функции симметричен относительно начала координат.

Пусть точка принадлежит графику функции , т. е. Точка, симметричная точке относительно начала координат, имеет координаты. Эта точка также принадлежит графику функции , так как, умножая обе части верного равенства на -1, получаем , или.

Это свойство позволяет для построения графика функции построить сначала график для , а затем отразить его симметрично относительно начала координат.

4. Функция возрастает на всей области определения. Это следует из свойства возрастания степенной функции с положительным показателем при и симметрии графика относительно начала координат.

5. Составив таблицу значений функции для некоторых значений (например, х=0, 1, 2, 3), построим часть графика при и затем с помощью симметрии ту его часть, которая соответствует отрицательным значениям х.

Функция у(х) называется нечетной, если у(-х) = -у(х) для любого х из области определения этой функции.

Например, функции , нечетные, так как для любого х и для любого.

Отметим, что и у четной, и у нечетной область определения симметрична относительно начало координат.

Существуют функции, которые не обладают свойствами четности и нечетности. Например, покажем, что функция не является четной и не является нечетной. Если бы эта функция была четной, то равенство выполнялось бы для всех х; но, например, при х = 2 это равенство не верно:.

Задача 1. 2. Построить график функции.

1. Область определения – все действительные числа.

2. Функция является нечетной, так как для любого х.

3. При функция возрастает по свойству возрастания степенной функции с положительным показателем, так как при.

4. При х > 0 значения функции положительны; у(0) = 0.

5. Найдя несколько точек, принадлежащих графику, например, точки (0; 0), (1; 1), (8; 2), построим часть графика для значений и затем с помощью симметрии – часть графика для значений х < 0.

Отметим, что функция определена при всех х, а функция только при.

Графики четной и нечетной функций обладают следующими особенностями:

← Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

← Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Свойства четной, нечетной функций

1. Алгебраическая сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).

2. Произведение двух четных (нечетных) есть функция четная; произведение четной и нечетной функции есть функция нечетная.

3. Если , - нечетные функции, то сложная функция - нечетная.

4. Если - четная функция, а - нечетная, то функция - четная; если - четная, то и функция - четная.

5. Если - четная функция, причем , то и функция - четная.

И для четных, и для нечетных функций выполняется равенство.

Из определения четной и нечетной функции следует, что нет смысла говорить о четности и нечетности функции, определенной на несимметричном множестве. Условие симметричности области определения функции является необходимым для того, чтобы функция могла быть четной или нечетной. Однако оно не является достаточным. Например, области определения функций и симметричны (вся числовая ось), но эти функции не являются ни четными, ни нечетными. Функции, которые не есть ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Заметим, что произвольную функцию , определенную на симметричном множестве, можно изобразить в виде суммы четной и нечетной функции: , где первое слагаемое – четная функция, а второе – нечетная, причем такое изображение единственное.

Теоремы

Теорема 1. Функция , четная в интервале и положительна в промежутке , будет положительна в интервале.

Доказательство. Пусть некоторая функция , удовлетворяющая условию теоремы 1, задана графиком.

Она положительна в интервале. В силу симметрии ее графика относительно оси ординат она будет положительна и в интервале.

Будет ли эта теорема верна для любой четной функции? Постараемся установит справедливость теоремы аналитически, т. е. не опираясь на график.

Что значит функция положительна в интервале ? Это значит, что какую бы точку из интервала ни взять, значения функции в этой точке будут положительны, т. е. , если.

Возьмем точку -. Если точка , то точка. По условию теоремы. По определению функции , следовательно, и. Так как - - любая точка промежутка , то функция будет положительна и в интервале.

Теорема 2. Функция , четная в интервале и отрицательна в промежутке , будет отрицательна и в интервале.

Теорема 3. Функция нечетная в интервале и отрицательна в промежутке , будет отрицательна и в интервале.

Теорема 4. Функция , нечетна в интервале и отрицательна в промежутке , будет положительна в интервале

Теорема 5. Функция , четная в интервале и возрастающая в промежутке , будет убывающей в интервале.

Доказательство. По условию теоремы функция возрастает в промежутке. Это значит, что, какие бы две точки и из этого промежутка ни взять с условием, что , для них будет выполняться неравенство. В силу того, что функция четная, она будет определена в точках и , принадлежащих интервалу , для которых, очевидно, выполняется соотношение. Разность ; следовательно, мы получаем, что большему значению аргумента () промежутка соответствует меньшее значение функции , а это означает, что в интервале функция убывающая.

Теорема 6. Функция , четная в интервале и убывающая в промежутке , будет возрастающей в интервале.

Теорема 7. Функция , нечетна в интервале и возрастающая (убывающая) в промежутке , будет возрастающей (убывающей) и в интервале.

Задача 1. 3. Построить график функции.

Имеем. Значит, функция четна, а потому график ее симметричен относительно оси координат.

Если , то , т. е. при имеем. Графиком функции при служит биссектриса первого координатного угла. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно оси у, получим график функции (рис. 2).

Задача 1. 4. Построить график функции.

Имеем. Значит, функция нечетна, а потому график ее симметричен относительно начала координат.

Если , то , а. Значит, при имеем. Графиком будет ветвь параболы. Подвернув эту ветвь преобразованием симметрии относительно начала координат, получим график функции , изображенный на рисунке 3.

Элементарные функции, изучаемые в школьной программе

Четная функция Нечетная функция Ни четная, ни нечетная функция с четным показателем степени квадратичная модуль логарифмическая

, , производная

с нечетным показателем степени , ,

Четные и нечетные числа

Современный человек уже в ранние годы жизни легко приобретает способность считать, называя числа один, два, три, четыре и т. д. Этот числовой ряд мы называем натуральным, элементы его – натуральными числами.

Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь распространим их на любые целые числа. Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если на 2 не делится.

Например, число 6 – четное, число 0 – четное, 5 – нечетное, число 1 – тоже.

Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное – в виде 2а + 1 (или 2а – 1), где число а – целое.

Деление чисел на четные и нечетные приписывается пифагорейцам. Платон заявлял: «Арифметика есть учение о четных и нечетных числах». Различие этих двух видов чисел имеется уже у египтян (1850 – 1700 до н. э. )

Два числа называются числами одинаковой четности, если они оба четны или оба нечетны. Два числа называются числами разной четности, если одно из них четно, а другое - нечетно.

Свойства четных, нечетных функций

Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.

Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.

Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и произведение нечетно.

Сумма любого количества четных чисел есть число четное.

Сумма четного и нечетного чисел есть число нечетное.

Сумма любого количества нечетных чисел есть число четное, если число слагаемых четно, и нечетно, если число слагаемых нечетно.

Как убедиться в справедливости этих свойств? Например, для свойства 4 это можно сделать так:

2а + (2b + 1) = (2a + 2b) + 1.

Но число 2а + 2b - четно, сумма двух четных чисел (свойство 3), а тогда вся сумма есть число нечетное, так как на 2 не делится.

Практическая часть

А. Задания базового уровня

1. Чтобы выполнить задания, в которых нужно исследовать на четность функции, заданной аналитически, необходимо:

1. установить, симметрична ли ее область определения (если ООФ не симметрична относительно 0, то функция не является ни четной, ни нечетной);

2. сравнить у(-х) с у(х) и с –у(х);

3. сделать вывод, опираясь на определения четной и нечетной функции.

1. 1. Исследовать на четность функцию.

Решение. Область определения функции состоит из чисел , где. ООФ симметрична 0. , следовательно, функция четная.

Ответ: функция четная.

1. 2. Исследовать на четность функцию.

Решение. - несимметрично относительно 0 множество. Функция не является ни четной, ни нечетной функцией.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

1. 3. Исследовать на четность функцию.

Решение. Область определения симметрична относительно 0. Ни одно из равенств и не выполняется для всех значений х, поэтому функция и не четная, и не нечетное.

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.

1. 4. Исследовать на четность функцию.

Решение. Так как при всех х верно неравенство , то область определения функции симметрична относительно 0. Выясним характер связи между и :. Домножим и разделим подлогарифмическое выражение на сопряженное к нему: Используя свойство логарифма частного, получим.

Так как , то. Значит, функция нечетная.

Ответ: функция нечетная.

2. Задание на вычисление значения четной и нечетной функции по какому-то известному значению.

Задача 2. 1. Вычислите значение функции при , если при функция принимает значения -2.

Решение. , так как функция - нечетная, то значение функции при равно 2.

Ответ: 2.

Задача 2. 2. Вычислите значение функции при , если значение данной функции при равно 1.

Решение.

Ответ: 1.

Задача 2. 3. Вычислите значение функции при , если значение функции при равно 4.

Решение. , так как - функция нечетная, следовательно, искомое значение равно -4.

Ответ: -4.

3. Тестовые задания на знание четной функции.

3. 1. Какие из функций

1. ; 2. ; 3. ; 4. являются четными?

1. 1 и 2. 2. 1. 3. 2 и 3. 4. Ни одна. 5. Все.

3. 2. Сколько четных среди функций

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ?

1. Две 2. Три. 3. Четыре. 4. Пять.

3. 3. Сколько из следующих функций являются нечетными:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ?

1. 2; 2. 3; 3. 4; 4. 5.

3. 4. Сколько из следующих функций являются нечетными:

1. ; 2. ; 3. 4. ?

1. 1; 2. 2; 3. 3; 4. 4.

4. Задания на определение четной функции

4. 1. Четной или нечетной является функция ?

1. Четной.

2. Нечетной.

3. Ни четной, ни нечетной.

4. И четной, и нечетной.

4. 2. Четной или нечетной является функция

1. Четной.

2. Нечетной.

3. Ни четной, ни нечетной.

4. И четной, и нечетной.

4. 3. Четной или нечетной является функция

1. Четной.

2. Нечетной.

3. Ни четной, ни нечетной.

4. И четной, и нечетной.

5. Задания на определение свойств четной функции

5. 1. Сколько из указанных ниже предложений истины, если рассматриваемые функции определены на множестве всех действительных чисел?

1. Сумма двух четных функций всегда является четной функцией.

2. Разность двух четных функций всегда является четной функцией.

3. Сумма двух нечетных функций всегда является нечетной функцией.

4. Разность двух нечетных функций всегда является нечетной функцией.

5. Сумма четной и нечетной функций всегда является нечетным числом.

6. Сумма четной и нечетной функций всегда является четной функцией.

1. 3; 2. 4; 3. 5; 4. 6.

6. Задания на применение определения четной функции.

6. 1. Определить, является ли данная функция четной или нечетной:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.

Решение:

1. ; - четная;

2. ; - четная;

3. ; - четная;

4. ; - нечетная;

5. ; - четная;

6. ; - четная.

Ответ: 1) четная; 2) четная; 3) четная; 4) нечетная; 5) четная; 6) четная.

6. 2. Укажите нечетную функцию.

1. ; 2. ; 3. ; 4.

Решение. Функция является четной.

Область определения функции является промежуток , т. е. не выполняется условие: для любого х из области определения значение –х также принадлежит этой области. Следовательно, функция не является нечетной.

Область определения функции при нечетных значения - множество всех действительных чисел, причем. Значит, эта функция нечетная.

Область определения функции - множество всех действительных значений чисел, но , а значения и совпадают только при. Следовательно, функция не является нечетной.

Ответ: 3.

7. Определить по графику четность функции.

7. 1 Укажите рисунок, на котором изображен график четной функции.

Решение. График четной функции симметричен относительно оси ординат. Такой график изображен только на рис. 1. (Обратите внимание, что на рис. 4 изображена кривая, не являющаяся графиком функции, но заданная уравнением с двумя переменными. )

Ответ: 1.

7. 2. Среди функций, графики которых изображены ниже, укажите: а) четные; б) нечетные.

7. 3 Достройте, если это возможно, графики, представленные ниже, до графиков: а) четных функций; б) нечетных функций; в) функций, не являющихся ни четными, ни нечетными.

Б. Задание повышенного уровня.

1. Для четной функции и нечетной функции для всех действительных значений аргумента выполнено равенство. Найдите значение выражения.

Решение. Знание свойств периодичной, четной и нечетной функции потребуется при решение такого типа задач.

Наименьшее число (если такое существует) называется периодом функции , если во всей области определения.

Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех значений аргумента из области определения выполнено соотношение.

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для всех значений аргумента из области определения выполнено соотношение.

Если в данном равенстве заменить переменную х на –х, то, очевидно, оно останется справедливым. Т. е. , с учетном определения четности и нечетности, имеем. Решая эти два равенства как систему относительно неизвестных функций, находим и. Итак,.

Ответ: -34.

2. Найдите значение функции в точке , если - нечетная функция, - четная, ,.

Решение. Так как нечетная, то , - четна, поэтому. Значит,

Ответ: -36.

3. Четная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции. Сколько корней имеет уравнение ?

Решение. У четной функции корни симметричны относительно точки 0. Найдем положительные корни уравнения. Это единственный корень - корень уравнения. - корень - корень.

Ответ: 3.

4. Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения х значение этой функции совпадает со значениями функции. Сколько корней имеет уравнение ?

Решение. Так как график нечетной функции симметричен относительно начала координат О, то точки пересечения этого графика с осью ОХ (нули функции) тоже симметричны относительно точки О. Отрицательные корни уравнения : ,. Симметричные им точки и является корнями уравнения. И еще один корень , который симметричен сам себе.

Ответ: 5.

5. Четная функция определена на всей прямой. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой , если.

Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен угловому коэффициенту касательной к графику в точке , взятому с противоположным знаком (график симметричен относительно оси Оу, при отражении любой прямой относительно оси Оу, ее угловой коэффициент касательной меняет знак). Т. е. искомый угловой коэффициент касательной равен.

Ответ: -1.

6. Нечетная, 2 - периодическая функция определена на всей числовой прямой. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой , если.

Решение. Так как - 2 - периодична, то угловой коэффициент касательной к графику функции равен, в любой точке, угловому коэффициенту касательной к графику , в этой же точке. Угловой коэффициент касательной к графику в точке равен угловому коэффициенту касательной в точке , который, в свою очередь, равен угловому коэффициенту касательной в точке (график симметричен относительно начала координат, при отражении любой прямой относительно начала координат, ее угловой коэффициент не изменяется). То есть искомый угловой коэффициент равен

Ответ: 1.

7. Четная функция определена на всей числовой прямой. При всех неположительных значениях х значения этой функции совпадают со значениями функции , которая также определена на всей прямой. Найдите произведение корней уравнения.

Решение. Из условия при функции определена формулой , а при , в силу четности функции ,. Уравнение рассмотрим при и.

1) При , , , , - не удовлетворяет условию. Т. е. при уравнение имеет один корень,.

2) При , , , ,. - не удовлетворяет условию , т. е. при уравнение также имеет один корень,.

Искомое произведение корней равно.

Ответ: -27.

8. Нечетная функция определена на всей числовой прямой. При всех неположительных значениях х значение этой функции совпадают со значениями функции , которая также определена на всей числовой прямой. Найдите сумму корней уравнения.

Решение. Из условия при функции определена формулой , а при , в силу нечетности функции ,. Уравнение рассмотрим при и.

1) При , , , ,. - не удовлетворяет условию , т. е. при уравнение имеет один корень,.

2) При , , - удовлетворяет условию.

Искомая сумма корней равна.

Ответ: - 3,75.

9. Четная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значениями функции. Найдите количество нулей функции.

Решение. Так как функция четная, имеем: если - корень уравнения , то тоже корень.

Неположительные корни : ; ;.

Количество нулей 5.

Ответ: 5.

10. Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Для всякого неположительного значения переменной х значение этой функции совпадает со значением функции. Сколько корней имеет уравнение.

Решение. Т. к. нечетная и - ноль функции, то тоже является нулем функции. Неположительные корни ;. Следовательно, корни , , ,. Всего 4 корня.

Ответ: 4.

В. Задания высокого уровня.

Нечетные функции в задачах

1. При каких значения параметра а функция является нечетной?

Эта задача предлагалась в 2002 году на письменной экзамене абитуриентам Московского государственного института электронной техники (технического университета).

Решение. Способ I. 1-й случай. Предположим, что при всех значениях аргумента. В этом случае данная функция определена на всей числовой прямой и при всех значениях х

В частности, должно выполнятся неравенство , то есть. Отсюда находим единственное возможное значение: а = -3. Рассмотрим теперь функцию. При. Если же , то.

Следовательно, эта функция не является нечетной.

2-й случай. Пусть при некоторых значениях аргумента знаменатель обращается в нуль. Такое значение – единственное и равно. Область определения нечетной функции симметрично относительно начала координат, а именно точки. Отсюда находим единственное возможное значение параметра:. В результате приходим к функции. Эта функция является нечетной:

Итак, задача имеет единственное решение.

Способ II. Требуется найти такие значения параметра а, при которых область определения функции симметрична начала координат и равенство выполняется на всей области определения.

Итак, при всех допустимых значениях аргумента должно выполняться тождество.

1-й случай. Если a > 0, то область определения функции (и область допустимых значений уравнения) совпадает со всей числовой прямой, и последнее уравнение принимает вид. По условию. Величина является переменной, поэтому никаких значений параметра а мы здесь не находим.

2-й случай. Пусть. Область допустимых значений для уравнения снова совпадает со всей числовой прямой. Уравнение принимает вид. Это уравнение должно выполняться при любых значениях аргумента. Но, очевидно, что это не так.

3-й случай. Пусть, наконец,. В этом случае для уравнения мы находим два недопустимых значения аргумента, а именно, и. Эти два значения должны быть противоположными числами. Отсюда находим единственное возможное значение:. Осталось, как и в первом случае, убедиться, что при этом значении параметра данная функция является нечетной.

Способ III. Если данная нечетная функция определена в точке , то обязательно. Отсюда находим: а = -3. Как и раньше, убеждаемся, что при этом значении параметра функция нечетной не является. Можно поступить по-другому – убедиться, например, что для функции. Следовательно, если данная функция является нечетной, то в точке она не определена. Это так только при. Теперь осталось (как и раньше) убедиться, что при этом данная функция является нечетной.

2. Найти количество нечетных целых чисел, входящих в область определения функции.

Решение. Найдем область определения данной функции, решив неравенство. Рассмотрим два возможных случая.

2) Решений нет. Область определения данной функции не содержит нечетных отрицательных целых чисел.

Ответ: 0.

2. Найти количество четных неположительных целых чисел, входящих в область определения функции.

Решение. Найдем область определения данной функции, решив неравенство. Рассмотрим два случая.

-12 -10 -2

Область определения данной функции содержит два четных неположительных числа -12 и 0.

Ответ: 2.

Симметрия

1. Является ли прямая осью симметрии графика функции ?

2. Является ли прямая осью симметрии графика функции ?

3. Является ли прямая осью симметрии графика функции ?

4. Имеет ли график функции наклонную ось симметрии?

5. Имеет ли график функции наклонную ось симметрии?

6. Имеет ли график функции хотя бы одну вертикальную ось симметрии?

7. Почему мы не рассматриваем вопрос о симметричности графика относительно оси абсцисс?

8. Может ли график функции иметь вертикальную ось симметрии, отличную от оси ординат?

Заключение.

Наша работа предложена старшеклассником (что я не раз уже упоминала) при подготовке к Единому Государственному Экзамену. Также она сможет помочь учителям в проведении уроков повторения, а кроме этого ей могут воспользоваться девятиклассники.

3. Приложение

1. Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения аргумента х значение этой функции на 9 меньше, чем значение функции. Найдите число корней уравнения.

2. Найдите значение функции , если известно, что функция - четная, имеет период 10 и на отрезке функция принимает вид.

3. Найдите значение функции , если известно, что функция - четная, функция - нечетная, ,.

4. Для четной функции и нечетной для всех действительных значений аргумента выполнено. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения.

5. Нечетная функция определена на всей числовой прямой. Для каждого неотрицательного значения аргумента х значение этой функции на 4 меньше, чем значение функции. Найдите число корней уравнения.

6. Найдите значение функции , если известно, что функция - четная, функция - нечетная, ,.

7. Найдите значение функции в точке , если известно, что функция - четная, а - нечетная; ,.

Решение. Поскольку функция четная, то. Так как нечетная, то. Значит,.

Ответ: 6.

8. Найдите значение функции в точке , если известно, что функция - четная, а - нечетная; ,.

Решение.

Ответ: 7.

9. Найдите значение функции в точке , если - нечетная функция, - четная, ,.

10. Найдите значение функции в точке , если - нечетная функция, - четная, ,.

Решение. ; ; - нечетная, то ; - четная, то , тогда , где , ;.

Ответ: 70.

Глоссарий

• Абсцисса – одна из декартовых координат точки, обозначаемая буквой х.

• Аргумент функции – независимая переменная величина, значения которой определяет значения функции.

• Асимптота кривой с бесконечной ветвью – прямая, к которой эта ветвь неограниченно приближается.

• Гипербола – плоская кривая (второго порядка), состоящая из двух бесконечных ветвей.

• График функции – линия, дающая наглядное представление о характере изменения функции.

• Линейная функция – простейшая функция, изображенная на графике прямой линией. Выражается формулой , где - тангенс угла , под которым прямая пересекает ось абсцисс.

• Ордината – одна из декартовых координат точки, обычно вторая, обозначаемая буквой у.

• Парабола – плоская прямая второго порядка.

• Показательная функция (экспоненциальная функция) – функция встречается в многочисленных приложениях математики. Рассматривается также показательные функции с основаниями ,.

• Симметрия – свойство геометрических фигур. Фигура симметрична относительно прямой (оси симметрии), если ее точки попарно симметричны относительно этой оси.

• Степенная функция – функция вида , где и - любые действительные числа.

• Функция – 1) зависимая переменная величина. 2) Соответствие между переменными величинами, при котором каждому рассматриваемому значению величины х (независимой переменной, или аргумента) соответствует определенное значение величины у (зависимой переменной, или функции). При этом множество значений х является областью определения, а значения у является ее областью значений. Функцию можно задать аналитически, графически и с помощью таблицы.