Применение геометрического способа при решении алгебраических задач

Статья посвящена изучению геометрического способа решения алгебраических задач, не решаемых алгебраическим способом.

Для исследования геометрического способа и его применения была создана группа учащихся 2 курса ПУ №34 – «НФБ» - научная федеративная бюро, которая и занялась изучением геометрического способа и применения его при решении алгебраических задач, а так же цели и задачи, которой были научить учащихся своей группы решать подобные задачи.

В ходе проведения исследования был изучен теоретический материал, по геометрическому способу, а именно решению задач на построение, был выделен круг не решаемых алгебраическим способом алгебраических задач, а также проведён статистический опрос учащихся, желающих научиться решать подобные задачи.

Эти данные отразили желание учащихся научиться решать такие задачи с помощью циркуля и линейки.

Группой НФБ, были решены подобным способом много алгебраических задач и, был проведён открытый урок, где ребята обучали учащихся овладением этого способа.

Достигнутые результаты позволяют использовать данный способ для развития познавательного интереса и творческих способностей учащихся.

В настоящее время введен ЕГЭ по математике. В третьей части, которого входят задания повышенной сложности, очень часто требующие от учащихся не только элементарных знаний, но и творческого подхода к решению, а также применения различных методов, в том числе нестандартных. Учащиеся II курса нашего ПУ №34 г. Копейска задались целью научиться решать подобные задачи, применив для их решения геометрический способ.

Поэтому учащиеся создали группу НФБ, которая должна была изучить геометрические задачи на построение, выделить круг задач которые не решаются алгебраическим способом и применить геометрический способ для их решения.

Н – Николаева Татьяна

Ф – Филатова Анастасия

Б – Бухонина Анастасия

Были опрошены учащиеся 211 группы, желающие затем научиться решать такие задачи подобным способом ( по списку в группе 35 человек, желающих научиться 32 человека, что составляет 88 %)

По количеству опрошенных было ясно, что желающих достаточно, чтобы этот способ был изучен.

Исторические сведения из решения алгебраических задач геометрическим методом

Слово «математика» происходит от греч. - наука, учение, в свою очередь происходящего, вместе с имеющим одно с ним значение, словом , от глагола , первоначальное значение которого, «учусь через размышление», устанавливало строгое разграничение между выражаемым им понятием и понятием учения путём опыта. Математика, по обычным, установившимся с давнего времени, взглядам, есть наука о величинах, предмет которой состоит в измерении величин. Такое определение если и может считаться удовлетворительным, то только для отдалённого прошлого, когда задачи математики не шли далее практических искусств счёта и измерения протяжений. Но уже с IV века до н. э. практическая арифметика, под именем «логистики», и практическая геометрия, в форме землемерия, потеряли почти всякий интерес в глазах математиков Древней Греции, и на первый план выдвинулись для них изучение свойств чисел, или, по терминологии нашего времени, теория чисел.

Данных для изучения первобытной геометрии у наук нет. Вероятно, первое ознакомление с основными геометрическими понятиями доставляло человечеству созерцание предметов окружающей природы и их художественное воспроизведение в мифологических образах, включающих в себя моторику танца и символические орнаментальные изображения. Более или менее чёткие геометрические представления можно обнаружить в планах первых жилищ. Однако эти представления не фиксировались рационально – до тех пор, пока не появилась надобность в измерении длин и расстоянии, определении величины земельных участков, вычислении размеров и объёмов. Умозрительный подход стал применяться значительно позже, и потом не всегда успешно: характерным параметром является ложное учение о равенстве их примеров, и обратно. Площадь какого-нибудь данного четырёхугольника вычислялась как площадь прямоугольника, имеющего одинаковый с ним периметр, именно такого, неравные стороны которого равнялись полусуммам противоположных сторон рассматриваемого четырёхугольника (египетские земельные надписи храма в Эдфу). Площади многоугольника, круга, всякой криволинейной фигуры вычислялись как площади квадратов, имеющих сторонами ¼ периметра рассматриваемой фигуры. Вычитание площадей фигур заменялось вычитанием их периметров и следующим затем определением площади квадрата, периметр которого равнялся полученной разности (русские землемерные рукописи XVII столетия).

Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречались ещё в Древнем Египте и Вавилоне.

Например, при решении управлений с двумя неизвестными, одно называлось «длиной», другое – «шириной». Произведение неизвестных называли «площадью». В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина – «глубина», а произведение трёх неизвестных именовалось «объёмом».

Однако нельзя позволить геометрическим терминам ввести нас в заблуждение. Вавилоняне мыслили, прежде всего, алгебраически. Хотя они изображали для наглядности неизвестные числа линиями и площадями, но последние всё же всегда оставались числами. Это проявлялось уже в том, что с неизвестными величинами, по названию имеющими различные измерения, обращались как с однородными: «Площадь» складывали со «стороной», от «объёма» отнимали «площадь» и так далее.

Совсем другой вид приобрела алгебра в Древней Греции. После открытия пифагорейцами несоизмеримых величин чертежи из средства наглядности превратились в основной элемент алгебры.

Наиболее важным, среди приписываемых пифагорейцам 5 века до н. э. достижений, было открытие несоизмеримых отрезков.

Возникало оно, скорее всего, из попыток найти общую меру диагонали и стороны квадрата.

Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Ведь из него следует, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали).

Оказалось, что не выходить за рамки пифагорейского учения о числе, то многие задачи, приводящие к квадратным уравнениям, вообще не имеют числового значения.

Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. Для построения такого исчисления пифагорейская математика располагала всем необходимым. Нужно было только изменить взгляд на роль чертежей, превратив их из средства наглядности в основной элемент алгебры, и логически расположить весь имеющийся материал.

Эта работа была выполнена пифагорейцами, а её результаты впоследствии включены Евклидом во вторую книгу «Начал». Новое исчисление получило впоследствии название «геометрической алгебры». В этом исчислении величины стали изображаться с помощью отрезков и прямоугольников, а любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.

Древняя Греция, внесшая значительный вклад не только в создание математики, но и в развитие всей цивилизации. Та математика, которую мы привыкли воспринимать, дедуктивная, абстрактная, сложилась в Древней Греции в период ее расцвета на основе собранных ранее в Египте и Вавилоне разрозненных несистематизированных знаний, содержавших правила для решения различных задач, связанных с вычислением площадей и объёмов, построением фигур при возведении храмов и пирамид, расчётами календаря, распределением урожая, сбором налогов, организации различных работ. В математике Древнего Востока отсутствовали обоснования рекомендуемых правил. Она характеризировалась также крайне медленным развитием: на протяжении многих веков наблюдается лишь незначительный прогресс.

Основатели греческой науки Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс путешествовали по странам Древнего Востока, где ознакомились с состоянием математики и астрономии. Заметим, что жрецы в Египте располагали необходимым для этого временем. Наука – свободное творение ума. Геродот подчеркивал практическую направленность занятий геометрии у египтян. То же самое утверждал и известный комментатор Евклида Прокл Диадох (410 – 485): « согласно большинству мнений, геометрия впервые открыта в Египте, имела своё происхождение в измерении площадей»

В период с VI по III в. до н. э. греки построили элементарную геометрию, разработали арифметику целых и рациональных чисел, обосновали общую теорию отношений, создали основы теории пределов, метод исчерпывания, необходимый при вычислении площадей и объемов.

Важнейший этап в развитии теории нерешаемых алгебраических уравнений – творчество Виета.

Виет считается одним из основоположников алгебры. Его интерес к алгебре первоначально связан с возможными ее приложениями к тригонометрии и геометрии. А задачи тригонометрии и геометрии, в свою очередь, приводили Виета к важным алгебраическим обобщениям. Так было, например, с решением уравнений третьей степени в неприводимом случае и с исследованием некоторых разрешимых уравнений высших степеней.

Все работы последователей Виета обеспечивали дальнейшее развитие алгебры. Но они по каким-то причинам остались незамеченными. К тому же вскоре вышла знаменитая «Геометрия» Декарта, это сопровождалось реформой всей математики, в том числе и алгебры.

В чём проявилась новизна идей Декарта, что придавало его терпению революционный характер? Это прежде всего построение алгебры как самостоятельной части математики, что изменяло существовавшее ранее соотношение алгебры и геометрии и соответствовало основной мысли Декарта о необходимости создания «всеобщей математики».

Основная идея сочинений Декарта, посвящённых алгебре, - её освобождение от геометрических построений. Правила буквенного исчисления – сложения, вычитания, умножения, деления, действия с дробями и корнями выступают вне связи с геометрией.

Ещё одна чрезвычайно важная задача алгебры была поставлена Декартом в «Геометрии» - задача приводимости уравнений, т. е. представления целого многочлена с рациональными (целыми) коэффициентами в виде произведения многочленов низших степеней. Декарт установил, что корни уравнения третьей степени с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, строятся с помощью циркуля и л линейки (иначе говоря, уравнение разрешимо в радикалах) тогда и только тогда, когда уравнение имеет целый корень, (т. е. левая часть его может быть представлена в виде произведения множителей первой и второй степени).

Геометрический способ решения задач

Сущность алгебраического метода заключается в следующем. Решение задачи на построение сводят к построению некоторого отрезка или нескольких отрезков. Величину искомого отрезка выражают через величину известных отрезков с помощью формулы. Затем строят отрезок по известной формуле. В школьном курсе геометрии рассмотрены построения циркулем и линейкой отрезков, заданных простейшими формулами.

При решении задач применяем построения отрезков следующими способами:

3. n - натуральное число. Выполняем n раз построение 1.

4. натуральное число.

Строим отрезок ОА, равный данному отрезку а.

Из конца О данного отрезка

Под произвольным углом к нему проводим луч.

На этом луче откладываем n раз произвольный отрезок b так ,что ОВ = nb. Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а.

Через точку В1, определяемую условием ОВ1 = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку А1, в которой она пересечет отрезок а, 1

5. a, m и n – натуральные числа.

Строим отрезок na и делим его на m равных частей (построения 3 и 4).

Запишем условие в виде пропорции

Пусть ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящим из точки О. На другом луче, исходящим из той же точки, откладываем известный член другого отношения ОВ=b. Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку К ее пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОК искомый, то есть ОК=x.

Стоим отрезок АС = а, СВ=b, так что АВ = а + b. На АВ как на диаметре строим полуокружность. В точке С восстанавливаем перпендикуляр к АВ и отмечаем точку D его пересечения с окружностью. Тогда x=CD, так как СD – высота прямоугольного треугольника АDB.

Отрезок строится как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b.

Отрезок x строится как катет прямоугольного треугольника с гипотенузой a и катетом b.

Анализ алгебраических задач и применение геометрического способа

Рассмотрим решение систем уравнений с применением теоремы Пифагора (геометрический способ):

Рассмотрите внимательно каждое уравнение с точки зрения геометрии. Можно заметить, что первые два уравнения представляют собой теорему Пифагора: первое уравнение: прямоугольный треугольник с катетами 2х и у, гипотенуза -4.

второе уравнение: прямоугольный треугольник с катетами 3z и у, гипотенуза -3.

В третьем уравнении можно заметить теорему о среднем геометрическом, где высота, опущенная на гипотенузу, равна у, а отрезки, на которые эта высота разбивает гипотенузу, 3z и 2х.

1. Все сказанное выше изображаем:

Получившийся треугольник АВС – прямоугольный,.

I. Теперь обозначим. А= ∠С=β, ⇒ и , значит

II. cos и cos cosβ= и cosβ.

III. Для подтверждения правильности полученных результатов произведем проверку:

2. Найти положительные корни системы:

Решим систему уравнений геометрическим способом с помощью теоремы Пифагора, подобия треугольников и теоремы Фалеса.

1. Рассмотрите каждое уравнение с точки зрения геометрии. Первое уравнение представляет собой катет прямоугольного треугольника, который соответственно разделили на отрезки длина его равна 6.

Второе уравнение представляет собой другой катет этого треугольника, который соответственно разделили на отрезки длина его равна8.

2. Через концы этих отрезков проведем параллельные прямые катетам этого треугольника. В результате получим подобные треугольники (по двум углам).

3. Все, сказанное выше, изображаем:

Т. к. получившийся ABC – прямоугольный, угол А=900 , BC2=AC2+AB2, BC==10

4. из подобия треугольников можно составить пропорциональность сторон.

Значит, у=2*0,6=1,2; z=0,6*3=1,8; t=4*0,6=2,4

Проверкой можно убедиться, что найденные значения являются решением этой системы.

3. При каких значениях a система имеет решение:

Решим систему уравнения геометрическим способом. (Метод координат)

Выполняя это задание, воспользуемся геометрическим способом – методом координат.

Рассмотрим неравенство. Для начала преобразуем его:

Видим, , где A (0;0); B (3;1) и M (x;y).

I. Изображаем:

II. Подставляем значение X и во второе выражение:

Но так как

Значит,

Проверкой можно убедиться, что при значениях система имеет решение:

Возьмём

Представим в первое выражение:

4. Найдем положительные корни системы уравнений с применением теоремы косинусов.

Найти значение:

1. Глядя на эту систему, можно заметить теорему косинусов в каждом уравнении:

2. Рисуем то, что видим:

прямоуг. ;

(с одной стороны)

(с другой стороны)

3. Приравняем и

Найти если. При каких достигается этот минимум.

1. Рассмотрим каждую из частей, из которых состоит функция, с точки зрения геометрии. В этих частях функции можно заметить теорему косинусов.

2. Изобразим:

3. Найдем.

Найдем ОК:

(по м. sin)

Применение геометрического способа при решении алгебраических задач

После проведённой нами работы были достигнуты следующие результаты:

1. Изучена необходимость научиться решать геометрическим способом алгебраические задачи (на начало работы из 35 человек желающих было 32 человека, что составляло 88%, а на конец эксперимента – 35 человек, что составляет 100%. Кроме этого желающих научиться решать задачи подобным способом увеличилось до 80 человек, из числа учащихся других групп).

2. Был изучен исторический и теоретический материал по данному вопросу (мы выступили с этим материалом перед учащимися 1 и 2 курса, что вызвало огромный интерес).

3. Научились исследовать алгебраические задачи на применении геометрического способа.

4. Изучив элементарные геометрические способы построения с помощью циркуля и линейки, научились применять их для решения более сложных алгебраических задач.

5. Была изучена активность и заинтересованность учащихся 1 и 2 курсов по данному вопросу.

Выдвинутая гипотеза о применении геометрического способа при решении алгебраических задач полностью доказана.

Цели и задачи исследования выполнены.

Данный способ заслуживает дальнейшего изучения и вызывает огромный интерес к предмету математике.

Статистический опрос учащихся 211 группы (88%) желающих научиться решать задачи геометрическим способом, позволил нам начать работу по исследованию геометрического способа и его применения при решении алгебраических задач. В ходе исследования мы научились работать с научной литературой, обрабатывать результаты статистического опроса и делать выводы.

Изученный метод расширяет наш кругозор, позволил нам более осознано подходить к решению подобных задач, вызвал огромный интерес к предмету. На основе опроса из 35 человек 211 группы, овладели этим методом 32 человека, они были очень заинтересованы продолжить работу по созданию сборника подобных задач.

Результаты работы позволяют широко использовать опыт решения задач по алгебре для подготовки к ЕГЭ и повышать творческий интерес учащихся к предмету.