Применение метода геометрического места точек для решения некоторых классов математических задач с использованием программы визу

Применение метода геометрического места точек для решения некоторых классов математических задач с использованием программы визуализации графиков функций на плоскости

Метод геометрических мест точек (ГМТ) является эффективным методом решения целого класса задач по алгебре. Но, к сожалению, учащиеся редко пользуются этим методом.

С определением ГМТ мы встречаемся уже в 7 классе в курсе геометрии, рассматриваем основные элементарные геометрические места точек в процессе всего курса алгебры. Но все равно в задачах, где ГМТ заданы неявно, например, в текстовых задачах, где ГМТ заданы не формулой, даже не возникает идея по его применению.

Затруднения в применении данного метода, связаны, в большей степени, с тем, что не установлена связь между этим методом и его практической значимостью, с непониманием, в первую очередь. Стоит отметить, что в курсе алгебры данный метод не формируется как целостная теория, а даются только его разрозненные составляющие, в то время, как при их обобщении мы получаем достаточно простой, а главное доказательный и наглядный метод решения самых разнообразных задач.

Для решения задач методом ГМТ все они сводятся к простейшим функциям и их графикам, так что на плоскости формируется несколько фигур, область пересечения которых, является решением задачи. В связи с этим перед нами возникает вопрос, можем ли мы создать программу, которая будет строить графики элементарных функций, находить фигуры удовлетворяющие заданным условиям и области их пересечения.

Исходя из этого, мы поставили перед собою цель: применить на практике ГМТ для решения различных математических задач с использованием программы построения графиков.

Для достижения цели мы должны решить следующие задачи:

1. доказать, что данный метод – эффективный способ решения задач, и его изучение резко увеличивает количество решаемых нами задач:

- обобщить теоретическую основу метода ГМТ;

- применить на практике полученные знания, приведя задачи к виду простых функций;

- используя программу построения графиков, решить рассмотренные задачи, получить ответ;

2. автоматизировать решение систем алгебраических уравнений графическим методом:

- определить функции каждой из возможных систем уравнений;

- ввести коэффициенты полинома P(x) не более, чем четвертой степени;

- выбрать вид функции из предложенных f(x)=P(x), f(x)=1/P(x), f(x)= √P(x), f 2(x)=P(x), x=a;

- выбрать знак равенства или неравенства;

- построить графики заданных функций;

- показать области, удовлетворяющие каждой системе неравенств;

- наглядно представить области пересечения этих систем;

- выбрать необходимый масштаб и точность.

В нашей работе информатика дает удобный инструментарий для решения конкретных математических задач.

Теория метода геометрических мест точек

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Сущность метода состоит в следующем: пусть, решая задачу на построение, нам надо найти точку X , удовлетворяющую двум условиям. ГМТ, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура A, а ГМТ, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура B. Искомая точка X принадлежит A и B, т. е. является их точкой пересечения.

ОБЗОР ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ:

1. ГМТ, находящихся на данном расстоянии r от некоторой точки O, есть окружность радиуса r с центром в точке O.

2. ГМТ, равноудаленных от двух данных точек A и B, есть прямая m , проходящая через С (середина отрезка, соединяющего данные точки) и перпендикулярная к отрезку AB.

3. ГМТ, находящихся на данном расстоянии h от данной прямой а , есть пара прямых m1 и m2, параллельных а и находящихся от нее на расстоянии h.

4. ГМТ, равноудаленных от двух данных параллельных прямых m1 и m2, есть прямая а, параллельная m1 и m2, проходящая через С - середину отрезка секущей с

5. ГМТ, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых d1 и d2, представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые m1 и m2, являющиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми

Применение метода ГМТ в некоторых математических задачах

Задачи с упоминание ГМТ в условии

Данные задачи являются тренировочными, составляются, в большинстве своем, для ознакомления с данным методом.

Пример 1. Найдите множество точек, для каждой из которых сумма расстояний от осей координат не больше 8.

Решение.

Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра опущенного из этой точки на прямую. Отсюда следует, что ГМТ, удовлетворяющих условию задачи есть точки, удовлетворяющие условию:, раскрывая модуль, получаем систему уравнений:

На рисунке 6 показано ГМТ, удовлетворяющих данной системе неравенств.

Задачи на нахождение площади фигур (скрытый метод ГМТ)

Данный класс задач представляет для нас больший интерес, так как задания на эту тему встречаются в самых различных формулировках и видах. Это применение ГМТ особенно актуально, так как задачи данного класса встречаются в уровне С тестов Единого государственного экзамена (ЕГЭ).

Пример 2. Найти площадь фигуры, если

Решение.

Т. е. решением данного неравенства будет часть круга в верхней полуплоскости с радиусом равным 2 и центром в точке (0,0).

Раскрываем модуль:

Если , то

Если , то =>

=> решение данной системы является заштрихованная область, представленная на рисунке 7.

Рис. 7. Геометрическое место точек, удовлетворяющих условию задачи примера 2

Замечание: для решения данной задачи созданный программный продукт не может быть применен в полном объеме в связи с отсутствием возможности объединять области, но тем не менее его можно использовать для начального приближения.

Для нахождения площади фигуры разобьем ее на 3 части: полуокружность (S1) , прямоугольный треугольник (S2) и трапецию (S3), тогда

Ответ: S=13,28 кв. ед.

Пример 3. Найти площадь фигуры, если

Решение.

Так как обе переменные стоят под знаком модуля, то ГМТ, удовлетворяющих данному условию, будет симметрично относительно обеих осей, значит, достаточно рассмотреть случай при x ≥0 и y≥0.

Точки пересечения с осью абсцисс С (0,0), В (6,0), т. к.

Очевидно, что площадь искомой фигуры в четыре раза больше площади найденного сегмента.

Пусть О – центр окружности, ОН – высота, СO=OB=R=, тогда

Задачи на доказательство утверждения, связанного с ГМТ

(скрытый метод ГМТ)

Данные задачи являются лишь иначе сформулированными задачами на построение, но их существование и метод их решения нельзя упустить из рассмотрения, т. к. перед нами стоит цель: доказать разнообразие задач, решаемых с помощью метода ГМТ.

Пример 4. Доказать, что множество, заданное на координатной плоскости условием 3x+6+3y+3x-2<6 является параллелограмм с центром в точке пересечения прямых 3x+6=0 и 3y+3x-2=0, которые являются диагоналями данного параллелограмма. Найти площадь параллелограмма.

Решение.

Т. е. решением главного неравенства является система неравенств (*):

ГМТ точек, удовлетворяющих данной системе неравенств, находим с помощью созданной программы.

По построению видно, что прямые 3x+6=0 и 3y+3x-2=0 являются диагоналями параллелограмма, что и требовалось доказать.

Sпарал-ма=a*h=2*4=8 кв. ед.

Ответ: 8 кв. ед.

Задачи с параметрами (скрытый метод ГМТ)

Говоря о данном классе задач, нельзя не упомянуть о задании С5 ЕГЭ, так как именно здесь предусматривается проверка знаний учащегося по теме «Задачи с параметрами». Поэтому ознакомление с методом ГМТ напрямую связано с повышением уровня школьных знаний, необходимых для сдачи ЕГЭ.

Пример 5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых все решения неравенства (x-a+y≤2) являются решениями неравенства

(y+3)(y-x+2)(x2-8x+12-y)≥0.

y+3≥0 y+3≥0

y-x+2≥0 y-x+2≥0

x2-8x+12-y≥0 x2-8x+12-y≥0

y+3≤0 y+3≤0

y-x+2≥0 y-x+2≥0

x2-8x+12-y≤0 x2-8x+12-y≤0

y+3≤0 y+3≤0

y-x+2≤0 y-x+2≤0

x2-8x+12-y≥0 x2-8x+12-y≥0

y+3≥0 y+3≥0

y-x+2≤0 y-x+2≤0

x2-8x+12-y≤0 x2-8x+12-y≤0

Решения неравенства (y+3)(y-x+2)(x2-8x+12-y)≥0 выделены цветом. Геометрическое место точек, являющихся решениями неравенства x-a+y≤2, есть ромб, образованный четырьмя прямыми, перемещающийся вдоль оси абсцисс в зависимости от значения параметра.

Текстовые задачи (задача подводится к методу ГМТ)

Текстовые задачи – целый класс самых разнообразных заданий, в котором существует «подклассовое» деление: задачи на движение, на производительность, на проценты и т. д. Задачи на поиск экстремума легко сводятся к методу ГМТ и в таком случае получают наглядное и понятное решение.

Пример 6. Вася и Петя поделили между собой орехи (n<39). Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше числа орехов доставшихся Васе. Какое максимальное число орехов может быть у Васи? (у Пети?)

Пусть x - число орехов, доставшихся Васе y - число орехов, доставшихся Пете, тогда

На координатной плоскости находим максимальные значения x и y: xmax=14; ymax=25 => Максимально Васе может достаться 14 орехов, а Пете - 25 ореха.

Ответ: 14 орехов, 25 ореха.

Автоматизация решения систем алгебраических уравнений графическим методом

Особенности реализации

Для реализации был выбран язык Object Pascal (Delphi), как наиболее простой объектно-ориентированный язык для программирования в Windows.

Основные переменные, используемые в программе, представлены в таблице:

Основные локальные переменные процедуры Draw:

Имя и тип переменной Описание переменной x,y координаты текущего рассматриваемого пикселя xx координата x (с учётом масштаба)

t значение функции при данном x (xx)

k номер текущей системы

На рисунке 12 изображена общая схема работы программы. Как видно из схемы, существенными реализованными элементами являются подпрограммы Draw и Paint, представленные соответственно.

Опишем более подробно работу программы после нажатия кнопки «Построить график» (процедура BRefreshClick)

1. Очищается поле с графиком.

2. Считываются параметры функций в массив.

3. Вызывается процедура Draw (постройка графиков)

1. Она проходит по всем x

2. Вычисляет для каждого y

3. Проводит в точку (x,y) линию.

4. Вызывается процедура Paint (заливка)

1. Она проходит по всем x

2. Проходит по всем y

3. Для каждой точки (x,y) проверяет её соответствие каждой системе

4. Если точка соответствует системе, то закрашивает её

5. Рисуется координатная сетка, оси координат.

Полный текст программы приведён в Приложении к данному документу.

Описание интерфейса программы

После запуска программы graphs. exe пользователь видит окно, показанное.

Рассмотрим подробнее параметры функций. Для каждой системы возможно задание до 5 функций. Для каждой функции доступны следующие параметры:

1. Включить/выключить функцию(y, y2 или x) и задать знак равенства/неравенства;

2. Коэффициенты полинома;

3. Параметры полинома (1/P, √P);

Теперь рассмотрим параметры отображения. Здесь возможна настройка таких параметров, как масштаб, точность (шаг цикла), настройки координатной сетки, кнопка постройки графика и переключения между системами.

Показано окно программы после выполнения всех действий для решения совокупности систем:

При этом красным цветом выделена область, удовлетворяющая первой системе, синим – область, удовлетворяющая второй системе, сиреневым – область пересечения решений двух систем (удовлетворяет обеим системам). Курсор и его позиция в строке состояния показывают самую правую точку пересечения двух систем.

В результате проделанной работы нами были обобщены теоретические основы ГМТ, затронутые в курсе алгебры в 7-11 классах.

В нескольких разноплановых примерах рассмотрены классы задач, для решения которых может быть применен метод ГМТ. Для автоматизации решения задач, связанных с построением графиков, с учетом рассмотренных примеров, были сформулированы технические требования и разработана программа, позволяющая строить графики некоторых классов простых функций от одной переменной, определять области, удовлетворяющие системе или совокупности систем неравенств. С применением реализованной программы найдены решения нескольких задач, приведены графические иллюстрации их решения.

Разработанная программа может быть применена как для решения различных задач методом ГТМ, так и в других задачах, требующих построения графиков функций, поиска областей их пересечения.