Учеба  ->  Учебные материалы  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Применение производной к доказательству неравенств

С понятием производной мы познакомились в курсе 11 класса. Основными понятиями математического анализа являются понятия функции, предела, производной и интеграла.

Как и многие разделы математики, дифференциальное исчисление возникло из необходимости решения практических задач. В основном источником дифференциального исчисления явились задачи двух видов: а) на нахождение наибольших и наименьших значений величин, т. е. задачи на нахождение экстремумов (от лат. extremum - крайнее); б) на вычисление скоростей. В древности и в средние века задачи этих видов решались геометрическим и механическим методами и не связывались общими идеями. Задачи на нахождение максимума и минимума можно найти еще в "Началах" Евклида (3 век до н. э. ).

Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Виллиса. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г. , и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница.

Производная и сегодня находит многочисленное практическое применение в решении задач производства и экономики, связанных с оптимальным использованием сырья и времени.

Работа по теме "Применение производной к доказательству неравенств" -продолжение моей творческой работы "Степенные средние и их применение к решению неравенств", которую я выполняла в прошлом учебном году. Неравенства широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей, при обработке результатов измерений.

Цель моей работы заключается в рассмотрении некоторых теорем о производной и их практическом применении к доказательству неравенств, а также в сравнении различных способов доказательства неравенств.

Задачи: подобрать и изучить теоретический материал по теме; выбрать неравенства, которые можно доказать с использованием производной; рассмотреть примеры решения неравенств, данные в литературе, а также решить некоторые примеры самостоятельно; продемонстрировать на примере различные способы доказательства неравенств; показать возможность и место применения рассматриваемого вопроса в школьном курсе алгебры и начал анализа; сделать выводы и заключения по проделанной работе.

Это позволит мне глубже изучить и осмыслить отдельные понятия и теоремы математического анализа. Элементы дифференциального исчисления, изучаемые в школе, являются мощным орудием для решения многих трудных задач из разнообразных разделов традиционной "элементарной математики". Но в школьных учебниках этому уделяется недостаточно внимания. Так, например, после выяснения возможностей нахождения промежутков возрастания и убывания функции по знаку ее производной часто в школьной практике ограничиваются применением этих сведений лишь к разысканию таких промежутков для конкретных функций и для построения графиков. Между тем, этот материал дает пищу для значительно более разнообразных и менее шаблонных приложений.

Обзор литературы по проблеме

Мое первое знакомство с понятием производной состоялось на уроках алгебры в школе. Мы обучаемся по учебнику Колягина Ю. М. , Сидорова Ю. В. , Ткачевой М. В. , Федоровой Н. Е. , Шабунина М. И. "Алгебра и начала анализа, 11 класс", выпущенного в Москве издательством "Мнемозина" в 2007 году. В этом учебном пособии приводится доказательство теоремы о возрастании и убывании функции на промежутке, есть ряд заданий на нахождение таких промежутков. Но ведь этим не ограничивается применение данной теоремы, поэтому для более детального знакомства с понятием производной, теоремы о возрастании и убывании функции на промежутке и следствиями из нее, а также их практическим применением, я рассматривала такие учебные пособия:

1) Виленкин Н. Я. , Шварцбурд С. И. Математический анализ. Учебное пособие для 9-11 классов средних школ с математической специализацией. М. , "Просвещение", 1973.

2) Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Т. 1. , Т. 3. М. , "Наука", 1979.

С практическим применением теоретических знаний можно познакомиться в различных статьях журналов "Квант" и "Математика в школе" таких авторов как Балк М. Б. , Ломакин Ю. В. , Канин Е. С, Ярский А. С. и др. Там же можно найти задания для самостоятельного решения. Со списком литературы по данной проблеме можно ознакомиться в приложении к моей работе.

Методы и методики исследования

Одна из основных форм изучения материала по выбранной теме - это работа с учебной литературой. Читая учебник или дополнительную литературу, необходимо было выделить главное из прочитанного, хорошо усвоить его и прочно запомнить. Этого можно добиться только в том случае, если, изучая материал, выполнять над ним активную мыслительную деятельность, о чем свидетельствует и закономерность психологов П. И. Зинченко и А. А. Смирнова: "учащийся может запомнить материал непроизвольно, если выполняет над ним активную мыслительную деятельность и она направлена на понимание этого материала".

При изучении темы пришлось познакомиться с литературой различных авторов, у которых иногда значительно отличался стиль и уровень сложности предлагаемого материала. При этом большую помощь оказало конспектирование: я располагала записи в удобной мне форме, использовала всевозможные символы: стрелки, подчеркивания, выделяла главное (прием составления плана).

Изучив теоретический материал, отобрав задачи, я приступила к их решению, применяя при этом в основном анализ, синтез, или аналитико-синтетический метод. Анализ мог выступать в двух формах: а) когда в рассуждениях двигаются от искомого к данным задачи; б) когда целое расчленяют на части. Соответственно синтез - это рассуждения: а) когда двигаются от данных задачи к искомым; б) когда элементы объединяют в целое. При доказательстве использовались различные теоремы, определение неравенства, в задаче выделялись подзадачи (части) и элементы объединялись в целое, т. е использовался аналитико-синтетический метод.

Основные результаты исследования

Одно из простейших применений производных к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием или убыванием функции на промежутке и знаком ее производной.

Теорема 1. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала , то эта функция возрастает на. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала , то f убывает на. Если дополнительно известно, что f непрерывна в каждой точке полуинтервала ,то возрастание (или, соответственно, убывание) имеет место на всем этом полуинтервале.

Теорема 2. Пусть каждая из функций f и g непрерывна в каждой точке полуинтервала [a;b[ и имеет производную в каждой точке интервала. Для того, чтобы всюду на интервале было верно неравенство f(x)

1) f’(x)

2)f(a)g(a).

Доказательство. Функция F(x)=g(x)-f(x) непрерывна на [a;b[, причем

F(a)0 и F'(x)>0 на. По теореме 1 F возрастает на [a;b[, так что при а < х < b имеем F(x)>F(a)0, т. е. f(x)

Иногда для выяснения поставленного вопроса однократного применения теоремы 2 бывает недостаточно, приходится применять ее несколько раз последовательно. При этом можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Если на промежутке выполняется неравенство f (n)(х) < g(n)(x), функции f и g и их производные до порядка n - 1 включительно непрерывны в точке а и f(a)g(a), f’(a) g’(a),. , f (n-1)(a)g(n-1)(a), то на промежутке выполняется неравенство f(x)

Теорема 3 полезна, в частности, для доказательства целой серии неравенств, возникающих при разложении в степенной ряд некоторых функций, например sin х, cos х, е-x,ln (х+1).

Начнем с двух примеров на применение теоремы 1 :первый - простой, второй - сложнее.

Пример 1. Докажите, что при х>1 х2 -1 > 2ln х. Сохраняется ли то же неравенство при 0<х<1?

Решение: рассмотрим функцию f(x) = х2 - 1 - 2 1n х. Имеем f '(x) (х2 -1) > 0 при х>1. Поэтому f возрастает на. Если функция f непрерывна на [l;+[, то возрастание имеет место на [l;+[. Поэтому при х > 1, будет f(x)>f( l ), т. е. х2 -1-2 1n х>0, х2 -1>21пх.

Рассуждая аналогично, можно убедиться, что f '(x) <0 на ]0;1[, так что f убывает на ]0;1[. Т. к. f непрерывна на ]0;1], убывание имеет место на ]0;1]. Поэтому при 0<х<1 имеем f(x)>f( l ), т. е. х2 -1 – 2 1n х > 0. Итак, х2 - 1 > 2 1n х при 0<х<1.

Пример 2. Выяснить, что больше: 7 +2000 или 2007?

Решение: Решим общую задачу: что больше – а р + b p или (а + b) р, если 0 < а < b и 0<р<1? Рассмотрим на ]0;+[ функцию f(x) = (а + х) р - (а р + х р)

Имеем:f '(x) = p(a + x)p - 1 - рхр-1 =р <0 при x > 0.

Значит, f на ]0;+[ убывает. Поэтому из 0<а<Ь следует, что f(b)

(а + b) p -(а р +b р)<(а + а) р - (а р + а р) = а р(2 р -2) < 0, a р + b Р > (а + b) р. В частности, 7 +2000>2007?.

Пример 3. Пусть 0<с<1/2. Проверьте истинность неравенства 2с + > 5.

Решение. Рассмотрим на функцию f(x) = 2x +

Найдем ее производную f '(x) = 2 - = (х3 -1). Видим, что f /(х)<0 при

0<х<1/2. Следовательно, f(x) на убывает, так что при 0<с<1/2

. Следовательно, неравенство 2с+ >5 верно.

Пример 4. Проверьте справедливость следующего утверждения: если х>2, то 2(х3 + 6х)> 9х2 + 4.

Решение: рассмотрим функцию f(x) = 2(х3 + 6х)- 9х2 - 4. Найдем ее производную: f '(x) = 6х2 +12 - 18х = б(х – l)(х - 2). Отсюда видно, что f /(х) >0 при х>2, т. е. функция f(x) возрастает на [2;+[. Поэтому при х>2 имеем f(x)>f(2), т. е. 2(х3 +6х)-9х2 -4>0.

Пример 5. Доказать: ех > 1 + х при х>0.

1)Рассмотрим f(x) = ех -1-х - непрерывна и дифференцируема на R, следовательно, f(x) непрерывна и дифференцируема при х>0, в точке х=0 непрерывна.

f (0) = е°-1 - 0 = 0

2) f ' (х) = ех -1f ‘(х)=0ех = 1х=0 - стационарная точка при х>0 f '(x) >0, следовательно, y=f(x) возрастает на]0;+[для всех х>0 f x)>f(0), a f(0)=0, следовательно, f(x)>0 ех -1 - х > 0 при всех х>0, ех >1 + х.

Пример 6. Доказать: 2x arctg x > ln( 1+ x2). Отдельно рассмотрим промежутки для х>0, х<0.

1) f (x) = 2x arctg x - ln( 1+ x2) непрерывна, дифференцируема на R;

2) f '(x) = 2 arctg x = 2 arctg x y=arctg х (строим эскиз графика)

При х0 f '(x) 0 f(0)=0 х<0 f '(x) <0

При х>0 f(x) возрастает, следовательно, f(x)>f(0), f(x)0 х<0 f(x) убывает, следовательно, при х<0 f (x)>f(0), f(x)>0 для всех х R 2x arctg x - ln( 1+ x2) > 0

2x arctg x > ln( 1+ x2).

Пример 7. Неравенства с несколькими переменными. Выяснить, что больше при 0

Решение. Нам предстоит сравнить с числом 1 дробь. Расcмотрим на [0;q] вспомогательную функцию f(x)=. Выясним, будет ли она монотонна на отрезке [0;q]. Для этого найдем ее производную (по правилу дифференцирования дроби). После упрощений получим: f '(x) = > 0 при 0

(р6 +q6)<32(p6 +q6) при 0

Применение теоремы 2 продемонстрируем на нескольких примерах.

Пример 1. Доказать: при х>1.

Обозначим f(x) = , g(x) = 3-. Как требует теорема, при х1 f(x) и g(x) непрерывны и при х>1 дифференцируемы.

1) f’ (x) = , g’(x) =

При х>1, следовательно,

2) f(l)=2, g(l)=2, f(l)=g(l)

Из условий 1) и 2) следует, что.

Пример 2. Докажите, что при х>0 ln (1+х)<х. Дифференцируя ln (1+х)<х получим <1, что, очевидно, верно на ]0;+[. Кроме того, ln (1+0)=0. Сле- довательно, неравенство ln (1+х)<х верно при х>0.

Пример 3. Докажите, что при х<0 выполняется следующее неравенство: е-х > 1 - х. Обозначим f(x) = е-х, g(x)=l - х. Применим теорему 2: при х0 f(x) и g(x) непрерывны и имеют производные при х<0.

1) f’ (x) = - е-х , g’(x) = - 1

2)f(0)=l,g(0)=l,f(0) = g(0)

Докажем, что - е-x > -1 при х<0. Применим теорему 2 еще раз:

1) (– е-x )’= е-х , (-1)’ = 0, е-х >0

2) f’ (0)= - 1 , g'(0)= - 1 , f ’(0)=g'(0)

Следовательно,- е-x > -1. Поэтому по теореме 2 е-х > 1 - х.

В примере 3 теорема 2 применяется дважды, в таких случаях удобнее использовать теорему 3.

Пример. Доказать: sin x > x -

1) f(x) = sin х - х + f(0)=0

2) f' (х) = cos х -1 + f' (0)=0

3)f "(x) = _sin x + x f "(0)=0

4)f '"(x) = - cos x + 1 f '"(x)>0 на , следовательно, по теореме 3 f(x)>0 sin х – x - > 0, sin x > x- на.

В прошлом году в своей исследовательской работе я рассматривала доказательство неравенства а3 + b3 + с3 3abc с помощью определения неравенства.

Доказательство этого неравенства данным способом является очень громоздким и трудным для понимания. Рассмотрим его доказательство с помощью производной.

Проверим, справедливо ли при любых положительных а, b, с неравенство а3 + b3 + с3 – 3abc 0(1)

Пусть 0 < a b с. Рассмотрим функцию f (х) = х3 + b3 + с3 -Зxbc. При 0 < х < b имеем f '(х) = 3х2 -Зbс<0. Отсюда видно (см. теорему 1), что f(x) убывает на [0;b]. Поэтому при 0< а b имеем f(a)f(b), т. е. мы получили неравенство а3 + b3 + с3 – 3abc > 2b3 + с3 – 3b2с (2)

Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию:

(х) = 2х3 +с3 -Зх2с При 0<х<с имеем: '(х) = 6х2 -6хс<0. Следовательно, (х) убывает на [0;с], т. е. (b) (с) при 0 < b с, значит, 2b3 + с3 – 3b2с > 0 (3)

Из (3) и (2) следует (1).

Как видим, доказательство неравенства а3 + b3 + с3 >3abс с помощью производной гораздо легче и понятнее, нежели его доказательство с помощью определения неравенства.

В ходе выполнения работы я изучила необходимый объем теоретического материала по данной проблеме.

Важной частью выполненной мной работы является практическое применение производной к доказательству неравенств: на основе изученных теорем и рассмотренных примеров я научилась доказывать неравенства с помощью производной. Это и являлось целью моей работы, в ходе выполнения которой я решила ряд поставленных задач: изучила литературу по данной теме, рассмотрела примеры доказательства неравенств с помощью производной, выполняла задания самостоятельно. Кроме того, сравнила доказательство неравенства а3 + b3 + с3 3abc, предложенное мной в работе "Степенные средние и их применение к решению неравенств" и с помощью производной. Я показала, что при изучении теоремы о нахождении промежутков возрастания и убывания функции в школьном курсе алгебры и начал анализа, можно показать ее применение и для доказательства неравенств.

Проведение исследовательской работы по данной проблеме является очень интересным. Неравенства широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей, при обработке результатов измерений. Производная и сегодня находит многочисленное практическое применение в решении задач производства и экономики, связанных с оптимальным использованием сырья и времени.

Тема "Применение производной к доказательству неравенств" очень логично позволяет продолжить работу, которую я выполняла в прошлом году ("Степенные средние и их применение к решению неравенств" ). В этом учебном году мы познакомились с понятием производной, и работа над этой темой позволила мне углубить свои знания по этому вопросу.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)