Примеры - головоломки

Примеры – головоломки я увидела на уроках математики. Вместо цифр примеры были записаны буквами. Тема числовых ребусов заинтересовала меня. Учитель подсказал книги, в которых можно было подробно разобраться с ними. Поначалу я действовала методом подбора, но это долго, и мне было скучно. Прочитав книги, я узнала, что такие ребусы имеют свои свойства решения. Я решила попробовать и мне понравилось. В ходе логических рассуждений у меня появились и свои ребусы.

Что называют числовыми ребусами

На первый взгляд забавные примеры кажутся простыми в решении. Но когда начинаешь разбираться, то это не так. Если просто перебирать цифры становится скучно, а если находить закономерности - свойства по которым восстанавливаются значения букв, то хочется решать новые ребусы. В своей работе я описала свои решения к ребусам, предложенными моим учителем для домашнего решения. Ребусы содержат операцию сложения, или ее можно заменить умножением на натуральное число. Решение таких логических задач более интересно, чем обычное сложение многозначных чисел, а нахождение слов со смыслом заставляет прорешивать много примеров.

К числовым ребусам относятся арифметические выражения записанные в виде равенства, в котором все или некоторые цифры зашифрованы символами. Числовой ребус представляет собой логическую задачу, в которой путем логических рассуждений требуется расшифровать значение каждого символа и восстановить числовую запись выражения. В Индии, Китае числовые ребусы появились 1000 лет назад. В Европе такие задачи начали появляться в начале 20 века, и их назвали крипт-арифметическими (спрятанными) выражениями. В литературе их называют числовыми головоломками.

Например:

Пример Решение

1 2 3 4 5

КУДА 1950 1350 4950 1450 7350

+ ИГОЛКА + 486310 + 286710 + 376240 + 829810 + 814970

ТУДА_ 2950 4350 1950 7450 6350

ИНИТКА 473210 292410 383140 838710 828670

Способы сложения и вычитания

При решении ребусов я использовала следующие свойства:

Так если расшифровывать пример, в котором цифры зашифрованы буквами, то различным буквам должны соответствовать различные цифры. Поэтому, если найдено цифровое значение одной буквы, то другие буквы это значение принимать не могут.

Примеры – головоломки, содержащие операцию вычитания, можно заменить сложением.

Например:

Пример Замена Сложение Вычитание

ПОДАЙ ПАША 1585 10652

- ВОДЫ + ВОДЫ + 9067 - 9067

ПАША ПОДАЙ 10652 1585

СЛОН МУХА 1354 2708

- МУХА + МУХА + 1354 - 1354

МУХА СЛОН 2708 1354

В примере можно найти еще решения такие:

МУХА 1453 2309 4635 4351 3209

+ МУХА +1453 +2309 +4635 +4351 +3209

СЛОН 2906 4618 9270 8702 6418 o Если в результате умножения некоторого числа на однозначное число получено исходное число, то, очевидно, множитель равен единице.

o Нуль не может быть крайней левой цифрой в числе, а результат умножения на нуль состоит из одних нулей.

o Если в результате умножения некоторого числа, не оканчивающегося нулем, на некоторое однозначное число в числе единиц получен нуль, то число единиц множимого и множителя есть пара чисел, одно из которых равно пяти, а второе – четное.

o Если произведение некоторого двузначного числа на число большее или равное пяти дает двузначное число, то ясно, что множимое начиналось с единицы.

o Сумма двух натуральных чисел, и в к-тых разрядах этих чисел стоит одна и та же цифра A. Тогда А = 0 или А = 9.

▪ А + А = А А = 0;

▪ А + А + 1 = 10 А = 9; o Сумма трёх натуральных чисел, в к-тых разрядах этих чисел и их суммы стоит одна и та же цифра А.

▪ А + А + А = А А = 0;

▪ А + А + 1 = 10 + А А = 9; o Если при суммирование двух к-значных чисел получается (к+1)-значное число, то его десятичный знак высшего разряда равен единице.

o При суммирование трёх к-значных чисел получается (к+1)-значное число, то его десятичный знак высшего разряда не более двух. Т. К. сумма двух натуральных чисел меньше 20, а трёх натуральных чисел меньше 30.

o При суммировании двух одинаковых к-значных чисел в сумме получается к-значное число, то десятичный знак высшего разряда исходного числа меньше 5.

o При суммировании трёх одинаковых к-значных чисел в сумме получается к-значное число, то десятичный знак высшего разряда исходного числа меньше 3.

▪ Пусть n = 2 (слагаемым) в к-том разряде суммы будет число, не превосходящее 2a + 1 < 10 и a < 5;

▪ Пусть n = 3 (слагаемым) в к-том разряде суммы будет число, не превосходящее 3a + 2 < 10 и a < 3.

o При суммировании четного числа одинаковых слагаемых, число в сумме будет чётным.

o Если при суммировании двух одинаковых к-значных чисел в некотором разряде суммы получается нуль или единица, то число, стоящее в соответствием разряде слагаемого, равно либо 0, либо 5.

▪ a + а = 0 и а = 0;

▪ a + а = 10 и а = 5;

▪ a + а + 1 = 1 и а = 0;

▪ a + а + 1 = 10 + 1 и а = 5

Решение «примеров – головоломок»

Пример 1. Если складываем одинаковые слагаемые, то при четном числе слагаемых, число единиц в сумме будет чётным.

А = 2,4,6,8 Д + Д = А; 2Д - чётное.

При суммировании двух к-значных чисел получается (к+1) значное число, то его десятичный знак высшего разряда равен 1.

Д = 1; А = 2; Р = 6; К = 5

У + У = Д; Р = 16 ;У = 8

Д = 1; А = 2; К = 5; Р = 6; У = 8.

УДАР 8126

+УДАР +8126

ДРАКА 16252

Пример 2. Сумма двух натуральных чисел, и в к-тых разрядах этих чисел и их суммы стоит одна и та же цифра. Если суммы двух пар одинаковых однозначных чисел отличаются друг от друга на 10 единиц, то сами однозначные числа отличаются друг от друга на 5 единиц.

Возможно О = 0 или О = 9; 2О + 1 = 10 + О и О = 9

Р = Т + 1, тогда С ≥ 5. Чётное Т = 4, если С = 7 и Р = 5; 2К + 1 = С; 2К = 6 и 2Р + 1 = 10 + П ; П = 1.

КРОСС 35977

+КРОСС +35977

СПОРТ 71954

Пример 3.

При суммировании двух к-значных чисел получается (к+1)-значное число, то его десятичный знак высшего разряда равен 1.

+ РЮМКА

АВ А РИЯ

Если А = 1, то Я = 2.

Если при суммировании двух одинаковых к-значных чисел в некотором разряде суммы получается нуль или единица, то число стоящее в соответствующем разряде слагаемого, равно либо 0, либо 5.

Получаем: Ю = 0 или Ю = 5

Пусть Ю = 5. А = 1, Р = 8, В = 7, М = 9, К = 3, И = 6, Я = 2.

РЮМКА 85931

+ РЮМКА +85931

АВ А РИЯ 171862

Пример 4.

Сумма двух натуральных чисел и в к-тых разрядах этих чисел и их суммы стоит одна и та же цифра А.

+ ДРАМА

А = 0 или А = 9.

Если А = 0, то Р = 0 – не может

Тогда А = 9, Р = 8, Е = 7.

При суммировании двух одинаковых к-значных чисел в сумме получается к-значное число, то его десятичный знак высшего разряда исходного числа меньше 5.

Д <5; Д = 1, Т = 3, М = 6. Тогда результат:

Пример 5.

При суммировании чётного числа одинаковых слагаемых, число единиц в сумме будет чётным.

+ СИНИЦА

И = 2, 4, 6, 8. А + А = И; 2А чётное.

Рассмотрим варианты:

А = 1, И = 2, Ч = 4, Н = 6, Т = 4 – не может

А = 2, И = 4, Ч = 8, Н = 7, Т = 8 – не может

А = 6, И = 2, Ч = 4, Н = 6, Т = 4 – не может

А = 7, И = 4, Н = 2, Т = 8, Ч = 9 – может

П > 5 и С = 3, то П = 6; Ц = 5 и К = 1, тогда

+ 342457

Пример 6.

При суммировании трёх натуральных чисел в к-тых разрядах этих чисел и их суммы стоит одна и та же цифра А.

Тогда А = 0 или А = 5

Теперь обратимся к букве Н, на сложение в четвёртом разряде 3Н оканчивается на 0 или 3Н - на 5, то Н = 0 или Н = 8.

Если Н = 8, то 3Н = 24, значит должна прийти единица из третьего разряда, и А = 5.

В пятом разряде получается, что 2 + 3К = 8. Значит, К = 2, П = 7, И = 3, У = 1.

КНИГА 28375

+КНИГА + 28375

КНИГА 28375

НАУКА 85125

Ребусы с одинаковыми слагаемыми можно записать в виде произведения. Например: пчёлка и шепнул.

Пример 7.

ПЧЁЛКА ШЕПНУЛ 1) 142857*7 = 999999

* 7 и * 5 2) 682750*5 = 3413750

ЖЖЖЖЖЖ КРИКНУЛ

На основе этих свойств я составила такие свои логические задачи:

ЗВУК 8367 БИТВА 13820 13920

+ ЗВУК +8367 +БИТВА +13820 +13920

БУКВА 16734 ВОЙНА 27640 или 27840

Итого:

• Складывать можно и зашифрованные числа.
• При решении ребусов нужно использовать не метод подбора, а свойства сложения чисел.
• В будущем я планирую приступить к решению ребусов на деление.