Простой и неисчерпаемый треугольник

В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.

Давид Гильберт

Треугольник – одна из самых простых геометрических фигур: три стороны и три вершины. Многие свойства треугольника были известны ещё в глубокой древности. С течением времени оказалось, что этот простой геометрический объект неисчерпаем. Очень красивые факты о треугольнике открывались на протяжении многих и многих веков.

Первые упоминания о треугольнике и его свойствах найдены в египетских папирусах, которым более 4000 лет. В частности, там упоминается способ нахождения площади равнобедренного треугольника. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня. Пифагор открывает свою теорему. Герон Александрийский находит формулу, выражающую площадь треугольника через его стороны; становится известным, что биссектрисы, как медианы и высоты, пересекаются в одной точке.

Особенно активно свойства треугольника исследовались в XV – XVI веках. Эти исследования составили большой раздел планиметрии, получивший название «Новая геометрия треугольника».

Огромное количество работ по геометрии треугольника, проведённое в XV – XIX веках, создало впечатление, что о треугольнике уже известно всё. Тем удивительнее было открытие ещё одного интересного свойства треугольника, сделанное в начале XX века американским математиком Франком Морлеем.

Возможно, и в XXI веке будут сделаны какие-то открытия в геометрии треугольника.

В курсе геометрии 7 класса изучается тема «Треугольники». Изучив оглавление учебника «Геометрии 7-9» автора Атанасяна Л. С. и др. , видно, что каждый год мы будем возвращаться к этой геометрической фигуре и изучать новые теоретические факты.

Материал о треугольниках в курсе 7 класса нам показался очень лёгким, и мы решил дополнительно узнать об этой геометрической фигуре.

Целью нашей статьи: изучить не только основные, включённые в школьный курс геометрии, теоретические сведения о треугольниках, но и так называемые замечательные точки, прямые и окружности.

В связи с этим возникают следующие задачи:

1. Собрать и изучить сведения о треугольниках, замечательных точках, прямых и окружностях.

2. Познакомиться с биографиями учёных, внёсших вклад в теорию треугольников.

3. Создать электронную презентацию «Простой и неисчерпаемый треугольник» и выступить с сообщением перед одноклассниками.

4. Создать интерактивные тесты и кроссворды по теме «Треугольники», которые учитель может использовать на уроках геометрии для проверки знаний учеников по рассматриваемой теме.

В первой главе исследования приводим общеизвестные теоретические сведения о треугольниках, изучаемые в 7 классе.

Во второй главе размещены достойные всеобщего внимания, но не изучаемые в школьном курсе геометрии, факты: замечательные точки, прямые и окружности.

Третья глава посвящена учёным, чьи имена были упомянуты в первой и второй главах, то есть учёные, которые совершили открытия каких-либо свойств треугольников.

Школьные теоретические сведения о треугольниках

Элементы треугольников

Основными элементами треугольника АВС являются вершины – точки А, В и С; стороны – отрезки а = ВС, b = АС и с = АВ, соединяющие вершины; углы, образованные тремя парами сторон. Углы часто обозначают так же, как и вершины, – буквами А, В и С.

Кроме этих основных элементов в треугольнике рассматривают и другие отрезки, обладающие интересными свойствами, прежде всего средние линии, медианы, биссектрисы и высоты.

Средние линии – это отрезки, соединяющие середины двух сторон. Три средние линии треугольника образуют «вписанный» в него треугольник, называемый серединным.

Медианы (от лат. mediana – «средняя») – отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон.

Биссектрисами (от лат. bis – «дважды» и seco – «рассекаю») называют заключённые внутри треугольника отрезки прямых, которые делят пополам его углы.

Высоты представляют собой перпендикуляры, опущенные из вершин треугольника на противоположные стороны. Точка пересечения высоты со стороной треугольника называется основанием высоты. Если один из углов при стороне треугольника тупой, то опущенная на неё высота падает на продолжение стороны.

Для лучшего запоминания рассмотренных объектов (медианы, биссектрисы и высоты) можно использовать смешные стишки.

Виды треугольников

При определении вида треугольника учитывают величины его углов и наличие равных сторон. По первому из этих признаков треугольники делят на остроугольные – у них все углы острые, прямоугольные – с прямым углом и тупоугольные – с тупым углом. У любого треугольника сумма углов равна развёрнутому углу, или 180°, а потому только один из его углов может не быть острым.

Стороны прямоугольного треугольника имеют особые названия: сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.

По наличию равных сторон различают три вида треугольников. У равносторонних (или правильных) треугольников все три стороны равны. Равнобедренные треугольники имеют две равные стороны; эти стороны называют боковыми, а третью сторону – основанием. Все остальные треугольники – разносторонние.

Равносторонние треугольники, по существу, все одинаковы – они имеют одну и ту же форму и могут отличаться друг от друга лишь размерами.

Равнобедренный треугольник

В одной из первых теорем «Начал» Евклида сформулировано основное свойство равнобедренного треугольника:

Углы при его основании равны.

Доказательство этой теоремы приписывают Фалесу Милетскому, жившему за два века до Евклида. Впоследствии теорема получила название Pons asinorum, что на латыни означает «мост ослов». Объясняют такое название, с одной стороны, тем, что чертёж, использованный Евклидом для её доказательства, напоминает мостик, а с другой – мнением, будто только ослы не могут этот мостик перейти. (Впрочем, в современном английском языке латинское выражение «pons asinorum» употребляется в несколько ином смысле – как «суровое испытание способностей неопытного человека». )

Верна и обратная теорема:

Если угли при основании треугольника равны, то он равнобедренный.

Эта теорема является признаком, т. е. достаточным условием того, что треугольник равнобедренный.

Есть и другие признаки: Если в треугольнике равны две медианы, или две высоты, или две биссектрисы, то такой треугольник равнобедренный.

Первые два признака доказываются просто. Однако последний, или теорему о том, что треугольник, имеющий две равные биссектрисы, является равнобедренным, доказать довольно сложно. Это так называемая теорема Штейнера – Лемуса. Интересно, что С. Л. Лемус остался в истории математики исключительно потому, что в 1840 г. прислал швейцарскому геометру Якобу Штейнеру письмо с просьбой дать геометрическое доказательство данного факта.

Признаки равенства треугольников

Треугольники АВС и А1В1С1 называются равными, если они имеют соответственно равные стороны и углы, т. е. сторона АВ равна стороне А1В1 угол при вершине А первого треугольника равен углу при вершине А1 второго треугольника и т. д. Это равносильно следующему определению, применимому к любым фигурам: треугольники равны, если их можно совместить наложением.

Равенство двух треугольников, т. е. всех их шести основных элементов, можно вывести из равенства некоторых трёх элементов. Соответствующие теоремы называются признаками равенства треугольников.

I признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Это означает, что равны их третьи стороны и прилежащие к ним углы.

II признак: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Предание, достоверность которого вряд ли можно проверить, связывает доказательство этого факта с именем Фалеса.

III признак: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для равенства прямоугольных треугольников достаточно потребовать равенства любых двух элементов (помимо прямого угла), если хотя бы один из них – сторона. Всего получается пять различных признаков: например, по одному из катетов и гипотенузе, двум катетам, гипотенузе и одному из острых углов и т. д.

«Жёсткость» треугольника

Треугольник – жёсткая фигура. Даже если рейки (стержни), образующие треугольник, соединить шарнирно, то его невозможно изменить, то есть нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то получился бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Инженеры любят треугольник за его «жесткость» и широко используют на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. 6, а); такой же принцип используется при установке кронштейна (рис. 6, б). Если взглянуть на металлические конструкции мостов, составляющие их балки, то они образуют треугольники.

Сумма углов треугольника

Теорема о сумме углов треугольника:

У любого треугольника сумма углов равна развёрнутому углу, или 180°.

Теорема о сумме углов треугольника была известна пифагорейцам, по крайней мере для правильного треугольника. Они выводили её из того факта, что плоскость можно покрыть (замостить) равными правильными треугольниками без пробелов и перекрытий. Это верно и для треугольников произвольной формы.

В любом узле образующейся треугольной сетки сходится шесть углов, среди которых каждый угол треугольника встречается ровно два раза. Таким образом, сумма всех этих шести углов, т. е. удвоенная сумма углов треугольника, равна полному углу – 360°.

В некоторых случаях вместо теоремы о сумме углов удобнее использовать равносильное ей свойство внешнего угла треугольника, т. е. угла, образованного стороной и продолжением другой стороны:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Теорема о сумме углов треугольника – факт, характерный именно для евклидовой геометрии. Например, на поверхности шара сумма углов треугольника может принимать разные значения, но всегда большие 180°.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

Теорема о средней линии треугольника:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Пифагоровы треугольники. Египетский треугольник

Формулы, связывающие между собой длины отрезков, площади, величины углов в фигурах, называют метрическими соотношениями. И самое знаменитое из таких соотношений – теорема Пифагора. Она устанавливает простую зависимость между сторонами прямоугольного треугольника:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен еще древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие её на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.

Замечательные точки, прямые и окружности

Строгого математического определения замечательной точки треугольника не существует. В этом названии эмоциональное отношение математиков к открытому интересному геометрическому факту. Замечательные прямые и окружности – те, которые проходят через замечательные точки или центром которых являются замечательные точки.

Центр описанной окружности

Если начертить произвольный треугольник АВС и провести в нём серединные перпендикуляры к его сторонам, то все перпендикуляры пересекутся в одной точке – точке О

Эта точка равноудалена от всех вершин треугольника, следовательно, если провести окружность с центром в точке О, проходящую через одну из вершин треугольника, то она пройдет и через две другие его вершины.

Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной около него. Поэтому установленное свойство треугольника можно сформулировать так: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в центре описанной окружности.

Этот вывод верен для любого треугольника, однако расположение центра описанной окружности зависит от вида треугольника: у остроугольного он находится внутри, у прямоугольного – на середине гипотенузы, а у тупоугольного – вне его.

Центр вписанной окружности, центр вневписанной окружности

Если в произвольном треугольнике АВС провести биссектрисы его углов, то они пересекутся в одной точке D. Точка D – тоже необычная: она равноудалена от всех трех сторон треугольника. В этом можно убедиться, если опустить из нее перпендикуляры DA1, DB1, DC1 на стороны треугольника. Все они равны между собой: DA1 = DB1 = DC1.

Если провести окружность с центром в точке D и радиусом DA1, то она будет касаться всех трех сторон треугольника (то есть будет иметь с каждой из них только одну общую точку). Такая окружность называется вписанной в треугольник. Итак, биссектрисы углов треугольника пересекаются в центре вписанной окружности.

Три окружности, каждая из которых касается одной стороны (снаружи) и продолжений двух других сторон треугольника, называются вневписанными. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Таким образом, шесть биссектрис треугольника – три внутренние и три внешние – пересекаются по три в четырёх точках – центрах вписанной и трёх вневписанных окружностей.

Ортоцентр

Если из вершин произвольного треугольника провести перпендикуляры на противоположные стороны (высоты), то все они пересекутся в одной точке Н. Эта точка называется ортоцентром.

С помощью построений можно проверить, что в зависимости от вида треугольника ортоцентр располагается по-разному: у остроугольного треугольника внутри, у прямоугольного – на гипотенузе, а у тупоугольного – снаружи.

Это еще одна замечательная точка.

Высоты треугольника пересекаются в ортоцентре.

Центр тяжести

Оказывается, медианы треугольника тоже пересекаются в одной точке.

Если измерить длины получившихся отрезков медиан, то можно проверить еще одно свойство: точка пересечения медиан делит все медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины. И еще, треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии!

Точка, обладающая таким свойством, называется центром тяжести или центроидом треугольника (рис. 20). Поэтому свойство медиан треугольника можно сформулировать так:

Медианы, треугольника пересекаются в центре тяжести и точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Таким образом, мы познакомились с четырьмя замечательными точками треугольника. Но они далеко не исчерпывают всех его свойств.

Открытия Эйлера

Вот лишь некоторые открытия известного математика Леонардо Эйлера, сделанные им в 1765 году. Он доказал, что центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения окружностей, описанных около треугольников , и , где , и – середины сторон АС, СВ и АВ.

А вот ещё одно открытие Эйлера: окружность, проходящая через середины сторон треугольника, пройдет и через основания его высот. Удивительным является и то, что некоторые из четырех замечательных точек связаны определенными соотношениями. Например, центр тяжести М, ортоцентр Н и центр описанной окружности О лежат на одной прямой, причем точка М также делит отрезок ОН в отношении 1 : 2! Прямая ОН называется прямой Эйлера данного треугольника.

Окружность девяти точек

Вот одна из замечательных теорем, принадлежащая Л. Эйлеру:

Середины сторон треугольника (точки 1, 5 и 7), основания его высот (точки 2, 4 и 8) и середины отрезков от вершин до ортоцентра (точки 3, 6 и 9) лежат на одной окружности (рис. 24).

Её радиус равен половине радиуса описанной окружности, а центр F лежит посередине отрезка ОН. Окружность F называется окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера, или окружностью Фейербаха – по имени Карла Фейербаха, провинциального учителя математики из Германии, родного брата философа Людвига Фейербаха. К. Фейербах открыл еще одно, самое удивительное свойство этой окружности: она касается четырех окружностей треугольника – вписанной и трех вневписанных.

Равносторонний треугольник

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Нарисовать равносторонний треугольник ничего не стоит, если под руками есть циркуль или чертежный угольник с углом в 60°. А если нет? Можно ли нарисовать равносторонний треугольник, расположив его вершины в узлах клетчатой бумаги? Оказывается, нет. Правда, изображенный на рисунке 5 треугольник очень близок к равностороннему – длины его сторон различаются меньше, чем на 3%.

Среди треугольников равносторонний занимает особое место. Не только потому, что он – единственный, имеющий три оси симметрии. Во многих смыслах он является экстремальным среди остальных треугольников: при заданном периметре максимальная площадь будет у равностороннего треугольника, отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной максимально также у равностороннего треугольника.

С равносторонним треугольником связано несколько удивительных соотношений. Вот одно из них. Если описать вокруг равностороннего треугольника окружность и взять на ней произвольную точку М, то сумма расстояний от этой точки до ближайших вершин треугольника равна расстоянию до третьей вершины

А если взять точку М внутри равностороннего треугольника и опустить из неё на стороны перпендикуляры МР, МQ и МR, то окажется, что сумма этих отрезков не зависит от выбора точки М и равняется высоте треугольника. Кроме того, AP+BQ+CR=BP+CQ+AR, а их квадраты тоже равны:.

Равносторонние треугольники неожиданным образом появляются и при рассмотрении свойств произвольных треугольников. Так Наполеон заметил; что если на сторонах, произвольного треугольника во внешнюю сторону построить равносторонние треугольники, то их центры будут вершинами равностороннего треугольника. Этот факт верен и в том случае, если равносторонние треугольники строить внутрь данного.

А американец Франк Морли в 1904 году обнаружил, ещё одно красивое свойство произвольного треугольника.

Если провести трисектрисы углов треугольника – прямые, которые делят углы на три равные части, то точки их пересечения являются вершинами двух равносторонних треугольников. На рис. 30 изображён только один из них.

Кроме того, из равносторонних треугольников составлены три правильных многогранника: тетраэдр, составлен из 4 треугольников, по 3 в каждой вершине, октаэдр (рис. 32), составлен из 8 треугольников, по 4 в каждой вершине и икосаэдр (рис. 33), составлен из 20 треугольников, по 5 в каждой вершине.

Точка Ферма-Торричелли

Эта точка в треугольнике связана с именами сразу трёх выдающихся учёных прошлого. Впервые о ней говорилось в работах французского математика Пьера Ферма, который решал задачу о местоположении в треугольнике АВС такой точки F, что сумма FА + FВ + FС её расстояний до вершин была бы минимальной.

Швейцарский геометр Якоб Штейнер рассматривал ту же проблему в несколько более общем виде: он пытался найти кратчайшую сеть дорог, соединяющих три пункта. Оказывается, что такая сеть всё равно должна состоять из трёх сходящихся в одной точке прямолинейных дорог, причём одна из этих дорог может сжаться в точку (как и в задаче Ферма). В такой формулировке, но уже для произвольного числа пунктов, задача приобретает и чисто практическое значение. Например, её приходится решать при прокладке кабельных сетей.

Физическую модель для решения классической задачи Ферма можно сделать так: нарисуем треугольник на какой-нибудь доске, вобьём гвоздики в его вершинах, перекинем через каждый гвоздик нить с одинаковым грузом на конце и, наконец, свяжем свободные концы нитей в один узел. Когда грузы будут отпущены, они натянут нити. При этом общая длина отвесных частей нитей станет наибольшей, а сумма расстояний от узла до гвоздиков – наименьшей. Следовательно, узел установится в искомой точке. Поскольку на него будут действовать три равные по величине и уравновешивающие друг друга силы, направленные вдоль нитей, углы между нитями должны быть равны. Таким образом, стороны треугольника будут видны из точки F под равными (по 120°) углами.

Точку треугольника, положение которой удовлетворяет этим условиям, построил итальянский учёный Эванджелиста Торричелли, известный как изобретатель ртутного барометра. Такая точка существует только в треугольниках с углами, не превосходящими 120°, и совпадает с точкой Ферма. Однако сама задача Ферма имеет решение и когда один из углов треугольника больше 120°. В этом случае точка F совпадает с вершиной тупого угла.

Точку Торричелли можно получить так: построим на сторонах треугольника вне его правильные треугольники (рис. 35) и соединим отрезком каждую вершину исходного треугольника с вершиной правильного треугольника, построенного на противоположной стороне. Полученные отрезки равны, образуют друг с другом равные углы (по 60°) и пересекаются в одной точке Т – точке Торричелли.

Жизнь замечательных людей, изучавших треугольники

Как часто бывает, открытия носят имена и фамилии людей, совершивших эти открытия. Конечно, мне захотелось побольше узнать об ученых, внесших вклад в геометрию треугольника. О некоторых математиках известно и написано очень много, о некоторых мне удалось найти только краткие биографические сведения.

Фалес

Фалес (624 – 547 гг. до н. э. ) – основатель так называемой Ионийской школы – считается одним из первых древнегреческих геометров и философов. Он был родом из города Милета. В молодости занимался торговлей. Торговые дела заставили его посетить Египет, где он познакомился с египетской наукой. На родину Фалес вернулся уже в летах и в Милете организовал свою школу.

Фалес был крупнейшим астрономом. Именно он первый в истории науки, предсказал солнечное затмение 23 мая 585 года до новой эры.

Много внимания уделял Фалес геометрии. По свидетельству древнегреческого ученого Прокла (410 – 485), Фалесу принадлежит открытие следующих теорем:

• Вертикальные углы, полученные при пересечении двух прямых линий, равны.

• В равнобедренном треугольнике углы, лежащие при основании, равны.

• Треугольник вполне определяется двумя углами и прилежащей к ним стороной. На основании этого предложения Фалес определил расстояние от корабля в море до берега.

• Круг делится диаметром пополам.

• Угол, вписанный в полуокружность, прямой.

Фалесу принадлежат способы нахождения высоты пирамиды и вообще различных предметов по их тени. Вполне вероятно, что это измерение было произведено в тот момент дня, когда длина тени вертикального шеста равнялась его длине. Возможно также, что измерение было произведено на основании подобия треугольников.

Фалес был атеистом. Он отвергал божественное происхождение Вселенной. Сущностью всех вещей считал воду (жидкообразное состояние материи). Выступал против распространенного в то время обожествления небесных светил (Солнца, Луны, Звезд), считал их материальными телами, наполненными огнем.

Фалес перестал философствовать только со смертью. Смерть Фалеса наступила в престарелом возрасте внезапно, когда он наблюдал олимпийские игры. По-видимому, он умер от солнечного удара. Некоторые утверждают, что он был задушен толпою, возвращавшейся с олимпийских игр.

Тело его было погребено в поле. На гробнице высечена надпись: «Насколько мала эта гробница, настолько велика слава этого царя астрономов в области звезд».

Пифагор и пифагорейцы

О жизни Пифагора (ок. 580 – 500 гг. до н. э. ) известно немного. Он родился в 580 г. до н. э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Его поразило то, что в родной Греции боги были в образе людей, а египетские боги – в образе полулюдей-полуживотных. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений.

Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;

• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

• геометрические способы решения квадратных уравнений;

• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

Наибольшую славу Пифагору принесла открытая им «теорема Пифагора», которая и до настоящего времени считается одной из важных теорем геометрии, используемых при изучении геометрических вопросов.

Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Около сорока лет учёный посвятил созданной им школе и, по одной из версий, в возрасте восьмидесяти лет Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

Пьер Ферма

Пьер Ферма (1601 – 1665) – французский математик.

О жизни великого ученого известно не так много. Известно, что он родился в 1601 г. на юге Франции, был выходцем из «третьего сословия», изучал юридические науки и состоял советником тулузского парламента (суда). Математике он мог посвящать только свободное от работы время. Но сила его гения была столь велика, что, несмотря на это, его идеи наложили глубокий отпечаток на всё дальнейшее развитие теории чисел, геометрии и математического анализа.

Тогда еще не было ни академии наук, ни научных журналов и отдельные любители науки, разбросанные по стране, либо непосредственно писали друг другу, либо посылали письма в Париж к какому-нибудь любителю, который переписывал их и пересылал другим ученым. Так, свои захватывающие мысли и идеи Ферма излагал в письмах к друзьям, среди которых были Р. Декарт, Ж. Роберваль, Б. Паскаль, Ж. Дезарг и другие. И все они считали Ферма величайшим математиком Европы.

Очень немногие сочинения Ферма были изданы им при жизни, и то по настоятельному требованию друзей. Первое собрание сочинений великого ученого появилось только после его смерти. Умер Ферма в 1665 г.

Ферма установил основной принцип геометрической оптики, согласно которому свет распространяется из одной точки в другую по такому пути, для прохождения которого требуется минимальное время. Из этого принципа Ферма выводятся законы отражения и преломления света.

С наибольшей силой гений Ферма проявился в математике. Так, еще до Декарта и в более совершенной форме он построил систему аналитической геометрии, открыл общий метод для определения максимумов, минимумов и касательных, существенно развил метод Архимеда и применил его для определения площадей, объемов и длин дуг. Но любимой его областью, которую он по существу открыл, была теория чисел. Ферма сумел среди множества разнообразных задач и вопросов выделить именно те, которые стали центральными в теории чисел XVIII и XIX вв. Однако он, как правило, не сообщал доказательств своих теорем. Поэтому утверждения Ферма так и остались для последующих ученых проблемами, часть из которых и до сих пор не получила решения.

Огромную известность получила «большая», или «великая», теорема Ферма. На полях «Арифметики» александрийского математика Диофанта Ферма записал свою «великую теорему». Он добавил, что нашел для нее «поистине чудесное доказательство», однако не может его записать из-за недостатка места. С тех пор прошло около 400 лет, но общее доказательство «великой теоремы» до сих пор не найдено. Сотни людей тратили и до сих пор тратят свое время и силы, пытаясь доказать «великую теорему». Быть может, ни одна из теорем математики не принесла людям так много горьких разочарований и обманутых надежд.

У Пьера Ферма есть много других достижений. Он первым пришел к идее координат и создал аналитическую геометрию. Он занимался также задачами теории вероятностей. Но Ферма не ограничивался одной только математикой, он занимался и физикой, где ему принадлежит открытие закона распространения света в средах. Пьер исходил из предположения, что свет пробегает путь от какой-либо точки в одной среде до некоторой точки в другой среде в наикратчайшее время. Применив свой метод максимумов и минимумов, он нашел путь света и установил, в частности, закон преломления света.

Пьер Ферма скончался 12 января 1665 года во время одной из деловых поездок.

Эванджелиста Торричелли

Эванджелиста Торричелли (1608 – 1647) – итальянский математик и физик. Получил математическое образование в Риме под руководством ученика Г. Галилея – Б. Кастелли. В 1641 г. переехал в Арчетри, где помогал Галилею в обработке его трудов. С 1642 г. , после смерти Галилея, придворный математик великого герцога Тосканского и одновременно профессор математики Флорентийского университета.

Наиболее известны труды Торричелли в области пневматики и механики. В 1644 г. развил теорию атмосферного давления, доказал возможность получения так называемой торричеллиевой пустоты и изобрёл ртутный барометр. В основном труде по механике «О движении свободно падающих и брошенных тяжёлых тел» (1641 г. ) развивал идеи Галилея о движении, сформулировал принцип движения центров тяжести, заложил основы гидравлики, вывел формулу для скорости истечения идеальной жидкости из сосуда.

Торричелли принадлежат также работы по математике (в частности, развил метод «неделимых») и баллистике, усовершенствованию оптических приборов, шлифовке линз.

В математике усовершенствовал и широко применил метод неделимых при решении задач на касательные. Использовал кинематические представления, в частности принцип сложения движений. Обобщил правило квадратуры параболы на случай произвольного рационального показателя.

Самостоятельно, хотя и несколько позже Ж. Роберваля, определил квадратуру циклоиды. Вслед за Р. Декартом нашел длину дуги логарифмической спирали.

Кроме изготовления зрительных труб и телескопов, занимался конструированием простых микроскопов, состоящих всего из одной крошечной линзы, которую он получал из капли стекла (расплавляя над пламенем свечи стеклянную палочку). Именно такие микроскопы получили затем широкое распространение.

Умер Торричелли во Флоренции 25 сентября 1647 г.

Леонард Эйлер

Всего лишь за шесть лет до рождения Леонарда Эйлера (1707 – 1783) в Берлине была публично сожжена последняя ведьма. А через шесть лет после его смерти вспыхнула Великая французская революция.

Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда со всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить драгоценное время на гражданские смуты или религиозные распри. Отец Эйлера был пастором и хотел, чтобы сын тоже стал священником. В Базельском университете Леонард Эйлер штудировал богословие и древние языки, но слушал также лекции по математике профессора Иоганна Бернулли, знаменитого учёного.

Заметим большие способности своего слушателя, Бернулли стал с ним заниматься дополнительно. Вскоре математика одержала верх над богословием и жизненное призвание Леонарда определились окончательно.

В 1727г. Эйлер по приглашению Петербургской академии наук приехал в Россию. Ему было 20 лет. Чем только не пришлось заниматься Эйлеру на новом месте! Он обрабатывал данные всероссийской переписи населения (и проделал эту огромную работу в одиночку). Он расшифровал перехваченные иностранные дипломатические депеши (оказалось, что с дешифровкой математики справляются быстрее и лучше прочих специалистов). Он обучал молодых моряков высшей математике, астрономии, а также основам кораблестроения и управления парусным судном в штиль и в бурю. А ещё составил таблицы, необходимые для расчёта артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны. (ведь в дальнем плавании Луна часто заменяла часы при определении долготы).

За 14 лет своего первого пребывания в России (1727-1741 гг. ) он успел написать первый в мире учебник по теоретической механике, а также курс математической навигации и многие другие труды. Писал Эйлер легко и быстро, простым и понятным языком. Столь же быстро он овладевал новыми языками, но вкуса к литературе не имел. Математика поглощала всё его время и силы.

В 26 лет Эйлера избрали российским академиком, а через восемь лет он переехал из Петербурга в Берлин. В чём дело? Во-первых, в России началась череда дворцовых переворотов; во-вторых, он уже почувствовал себя одним из сильнейших математиков Европы – и вдруг заметил, что здесь ему не с кем на равных поговорить о своей науке. При этом он сохранил самые тесные связи с Россией. Эйлер регулярно печатает в изданиях Петербургской академии свои статьи.

Эйлер провёл в Берлине четверть века (с 1741 по 1766 г. ) и считал эти годы лучшими в своей жизни. Эйлер занимался самыми разными проблемами, и почти всегда – успешно.

В 1766 г. Леонард Эйлер покинул Берлин и вернулся в Россию. Новая российская императрица Екатерина II предложила учёному гораздо лучшие условия жизни, чем те, что предоставлял своим академикам скуповатый и капризный Фридрих II. Надвигалась старость, поэтому Эйлер согласился.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Опираясь на свои изумительные способности, он продолжал творить так же интенсивно, как и в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него и наиболее громоздкие вычисления. О работоспособности Эйлера на склоне лет говорит такой феноменальный факт: за 1777 г. Он с секретарём подготовил около 100 научных статей, т. е. почти по две статьи в неделю! Этот неустанный творческий труд оборвался лишь смертью Эйлера в 1783 г.

Эйлер был не только самым плодовитым математиком всех времён. Он был необыкновенно разносторонним учёным, занимался всеми вопросами современной ему математики, а некоторые отделы начал разрабатывать впервые, теория чисел и теория движения Луны, геометрия, приборы, алгебра и сопротивление материалов, тригонометрия и баллистика – всё это и многое другое интересовало его.

Якоб Штейнер

Якоб Штейнер (1796 – 1863) – швейцарский математик. Родился в Утцендорфе 18 марта 1796 года, выходец из крестьянской семьи. Читать и писать научился в возрасте четырнадцати лет. Следующие четыре года занимался самообразованием (в свободное от основных занятий – пасти коров и пахать землю – время). В восемнадцать, вопреки родительской воле, поступает в знаменитую педагогическую школу (Ивердон, Швейцария), основанную Песталоцци и уже в двадцать лет ему доверяют преподавать математику в этой школе. Вскоре заведение (ввиду финансовых затруднений) закрылось и в 1818 году Штейнер перебирается в Гейдельберг, (Германия). Там он изучает труды французских геометров и обучается в тамошнем университете, а скудные средства на жизнь добывает, как раньше говорили, частными уроками (сейчас более распространен термин «репетиторство»).

В 1834 Штейнер становится экстраординарным профессором Берлинского Университета. Эту должность (специально учрежденную именно для него) он занимает до конца жизни. (Исключая последний год, когда Штейнер вернулся в родную Швейцарию, где и скончался 1 апреля 1863 года в Берне).

Его манеры читать лекции вошли в легенду. Штейнер был решительно против применения алгебры и анализа. Вообще на занятиях никогда не пользовался никакими чертежами, полагая, что по этой причине воображение учащихся разовьется быстрее всего. Рассказывают также, что обыкновенно он не готовился к лекции заранее – когда же, как следствие, возникали проблемы с доказательствами, бывало, Штейнер позволял себе в сердцах крепкое словцо.

Областью его научных интересов была проективная геометрия – и вклад Штейнера в эту область математики весьма значителен.

Что касается геометрии элементарной – список всех задач, так или иначе связанных с именем Штейнера, отнял бы немало места. Вот лишь некоторые: Поризм Штейнера, теорема Штейнера-Лемуса, эллипсы и точки Штейнера, прямая Штейнера-Обера, тройки Штейнера, дельтоид Штейнера, сети Штейнера (задача о кратчайшей сети дорог для некоторых многоугольников на плоскости вполне элементарна) и т. д.

Карл Фейербах

Карл Вильгельм фон Фейербах (1800 – 1834) немецкий математик, сын криминалиста Пауля фон Фейербаха, брат философа Людвига Фейербаха. В 22 года он с отличием окончил университет во Фрейбурге, а затем получил должность преподавателя математики в Эрлангской гимназии. Недолгая (около 6 лет, с перерывами, вызванными приступами заболевания) карьера педагога не сложилась – болезнь препятствовала нормальному и размеренному образу жизни. Последние шесть лет своей жизни он прожил в Эрлангене затворником.

Основные его труды связаны с геометрией. Теорема Фейербаха – одна из наиболее ярких теорем в геометрии треугольника.

Свой блестящий результат Карл напечатал (1822 год) в небольшой брошюре «Свойства некоторых особых точек в плоскости треугольника и некоторых линий и фигур, с ними связанных: аналитическо-тригонометрический подход».

Еще одна книга вышла в 1827 году: «Основы аналитической теории тетраэдра». В ней, независимо от Мебиуса, опубликовавшего в том же году, но чуть раньше, свое «Барицентрическое исчисление», вводятся барицентрические координаты.

Умер Фейербах 12 марта 1834 года в Эрлангене.

Франк Морлей

Франк Морлей (Фрэнк Морли) (1860 – 1937) был математиком, который внёс большой вклад в алгебру и геометрию. Родился в Англии в городке Вудбридж. Его родители были владельцами небольшого магазинчика. В 1900 году Морлей закончил Колледж Хэверфорд. Почти всю свою жизнь он провел в США, хотя оставался английским гражданином. Несколько десятков лет Морлей был профессором математики университета имени Джона Гопкинса в Балтиморе – одного их старейших американских университетов. Наряду с математикой он увлекался и шахматами и однажды сумел выиграть у его одного видного математика – Эммануила Ласкера (1868 – 1941) , тогдашнего чемпиона мира по шахматам.

Пусть ABC – произвольный треугольник. Хорошо известно, что биссектрисы его углов пересекаются в одной точке. А что произойдет, если биссектрисы заменить трисектрисами? Фрэнк Морлей рассмотрел такую ситуацию и доказал, что точки M, N, K при любом исходном треугольнике ABC являются вершинами равностороннего треугольника.

Морлей рассказал об этом поразившем его факте своим друзьям, те – в свою очередь – своим, и вскоре "теорема о трисектрисах треугольника" распространилась по миру в качестве своеобразного математического фольклора.

Доказательство этой теоремы он опубликовал в 1914 году – через 15 лет после того, как нашел его. В 1924 году он изложил это доказательство более подробно. Доказательство его теоремы весьма элегантно, но в тоже время достаточно сложно.

В ходе написания работы нами были просмотрены несколько справочников по математике, математические энциклопедии, школьный учебный геометрии, а также книги серии «Нескучный учебник». Мы узнали очень много интересного для себя. Сейчас для нас словосочетания «замечательные точки» не просто красивые слова, мы разобрались в удивительных связях между элементами треугольника и замечательными точками, прямыми и окружностями и считаем, что они справедливо получили свои названия.

Ещё раз убедились, что треугольник можно назвать «неисчерпаемым» объектом для изучения. Треугольник изучают на протяжении уже более 4000 лет и время от времени делают новые открытия.

Кроме того, мы познакомились с биографиями людей, которые изучали треугольники. Среди них есть как великие учёные, например, Пифагор, Фалес, П. Ферма, Л. Эйлер, так и неизвестные мне до этого времени Ф. Морлей, Э. Торричелли, Я. Штейнер.

Созданные нами электронные интерактивные тесты и кроссворды по теме «Треугольники» были опробованы на уроках геометрии и одобрены учителем математики. Интерактивные тесты позволили учащимся сразу узнать свою оценку и разобраться в допущенных ошибках. Учителю не пришлось тратить время на проверку многочисленных работ.

В последующие годы мы, как и все школьники, продолжим изучать треугольники. Предстоит изучить тригонометрию – науку об измерении треугольников, о выражении сторон через его углы (и наоборот). Мы уверены, что нас ожидают много открытий в геометрии треугольника.