Проверка вычисления значения числа π

В отличие от произвольных фигур, все окружности удивительным образом похожи друг на друга. Каждая окружность является просто копией любой другой окружности. Это простое наблюдение естественным образом привело к следующей идее: отношение длины окружности к ее диаметру - величина постоянная. Эту величину назвали числом (.

Среди бесконечного разнообразия чисел число ( пользуется особой славой. Оно встречается буквально на каждом шагу, причем эти встречи бывают весьма неожиданными. Более того, число ( не только встречается неожиданно и, казалось бы, случайно, но и в некоторых случаях само может служить мерой случайности. Раз число π встречается достаточно часто, поэтому нам необходимо больше знать о нем. Незнание теоретического материала о числе π, непонимание связей числа π с явлениями окружающего мира ведут к неумению решать многие математические, статистические задачи.

Поэтому для меня и возникла проблема: действительно ли при помощи числа ( можно производить разные вычисления, и я хочу проверить так ли это.

Теоретические сведения о числе π

В отличие от произвольных фигур, радующих наш глаз богатством и разнообразием форм, все окружности удивительным образом похожи друг на друга. Каждая окружность является либо увеличенной, либо уменьшенной, либо просто копией любой другой окружности.

Это простое наблюдение естественным образом привело к следующей идее: отношение длины окружности к ее диаметру - число постоянное для любой окружности, его принято обозначать буквой π. Кто первый догадался о такой замечательной связи – увы, не знает никто. Возможно, первым был какой–нибудь дотошный мастер, изготавливающий колесо для легкой колесницы, или землекоп, обустраивающий круглый колодец, или мастер, который плел корзину. А может, гончар, лесоруб, строитель - кто бы то ни был, имя гения история нам не сберегла.

Среди бесконечного разнообразия чисел число π пользуется особой славой. Оно встречается буквально на каждом шагу, причем эти встречи бывают весьма неожиданными. А сколько стихов, афоризмов и даже сайтов Интернета ему посвящено! Число π – число, равное отношению длины окружности к длине ее диаметра. Число π является трансцендентным числом, его приближенное значение равно 3,1415926. Открывателями числа π можно считать людей доисторического времени, которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в три раза длиннее его. Дошедшие до нас математические тексты: два египетских папируса и многочисленные глиняные таблички из древнего Вавилона, содержащие формулировки и решения задач. Геометрия в Вавилоне и в Египте была по преимуществу вычислительной. Так были известны правила вычисления площадей треугольника по стороне и высоте, круга по его радиусу (вавилоняне брали при этом в качестве π число 3, а египтяне – число 3,16), а также объемов пирамиды и усеченной пирамиды с квадратным основанием. Математические знания излагались в ту эпоху в виде рецептов, правильность которых не доказывалась; обычно приводились однотипные числовые примеры и их решения. Математики как науки тогда не было. С этого времени начинается изучение числа π, которое продолжается и до наших дней. Изучение числа π шло вместе с поиском решения задачи о построении квадрата, равновеликого окружности, то есть о построении с помощью циркуля и линейки отрезка, равного по длине окружности. Приближенные с недостатком и избытком значения для π получил Архимед, рассматривая вписанные в круг и описанные около него многоугольники с достаточно большим числом сторон. Он последовательно определял стороны вписанных и описанных шестиугольника, двенадцатиугольника, двадцатичетырехугольника, сорокавосьмиугольника и девяностошестиугольника, выраженные через диаметр. Созданный Архимедом метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видными математиками на протяжении двух тысяч лет. Только в XVII веке ученые смогли продолжить и развить труды великого греческого математика. Только тогда было раскрыто их подлинное значение.

Леонардо Фибоначчи около 1220 года определил три первых точных десятичных знака числа π. В XVI веке голландский профессор Андриан Меций определил шесть точных десятичных знаков числа π, а Франсуа Виет вычислил первые девять точных десятичных знаков этого числа. Но необходимо отметить, что китайским математикам уже в V веке были известны шесть точных знаков числа π. После Виета в Европе началась гонка за вычислением точных десятичных знаков числа π. Фламандский математик Андриан Ван Ромен вычисляет пятнадцать точных десятичных знаков числа π. Но математическим подвигом можно назвать вычисления голландского математика Лудольфа ван-Цейлена , который получил тридцать пять точных десятичных знаков числа π. В его честь число π было названо современниками «Лудольфово число». Согласно завещанию самого Лудольфа, на его надгробном камне было высечено найденное им значение π. В конце XVIII века немецким математиком И. Ламбертом и французским математиком А. Лежандром было доказано, что число π является иррациональным. Профессор Фрейбургского университета Фердинанд Фон Линдеман в 1882 году доказал трансцендентность числа π.

В некоторых странах Азии встречается значение π = √10, то есть 3, 162 Астроном Ван Фань утверждал, что π = 142/45 то есть 3, 155 , а Цзу Чун –чжи говорил о « неточном» значении 22/7 и о «точном» 355/113 , показав, что π содержится между 3,1415926 и 3,1415927.

В индийских «сутрах» имеются правила, из которых вытекает, что π = 3, 008. Ариабхатта и Бхскара брали значение 62832/20000 , то есть 3,1416 , Магавира и Сридхара брали π = √10.

Джемишд ал–Каши, работавший в обсерватории Улугбека близ Самарканда, ввел и применял десятичные дроби. Он вычислил число π с точностью до 17 десятичных знаков.

Однако труды ал-Каши в Европе долгое время не были известны. Начиная с конца XVII века для вычисления π применяются более эффективные методы высшей математики. Леонард Эйлер вычислил π с точностью до 153 десятичных знаков. После опубликования его работы (1736г. ) стало общепринятым обозначением π (первая буква в греческом слове «периферия» - круг), которое встречается впервые в 1706 году у английского математика У. Джонса. В 1873 году англичанин В. Шенкс определил π с точностью до 707 десятичных знаков, усердно проработав для этой цели целых пятнадцать лет. Однако, как выяснилось впоследствии , 527-ой знак Шенкса оказался неверным. Ошибка была обнаружена Фергюссоном и Ренчем, которые в 1948 году получили значение π с 808 знаками. С помощью электронных машин в 1949 году получено значение π с 2035 знаками, а позднее – с 3089 знаками всего лишь за 13 секунд. К 1963 году было найдено уже 100265 десятичных знаков числа. Вычисление такого большого числа знаков для π не имеет практического значения, а показывает лишь огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

2. Итак, π = C/d; где C- длина окружности, а d - ее диаметр. В школе этот факт я узнала в 6 классе.

Архимед рассматривал вписанные в круг и описанные около него многоугольники с достаточно большим числом сторон. Он последовательно определял стороны вписанных и описанных шестиугольника, двенадцатиугольника, двадцатичетырехугольника, сорокавосьмиугольника и девяностошестиугольника, выраженные через диаметр. Периметры вписанных и описанных многоугольников он принимал за длину окружности и находил значение числа π по формуле π = C/d.

Но число π удивительно тем, что способно встретиться в самых неожиданных местах, например, при бросании обыкновенной иголки!

В далеком 1777 году знаменитый французский естествоиспытатель Жорж Бюффон (1707- 1788) опубликовал работу, вызвавшую целый всплеск страстей вокруг числа π. Бюффон предложил оценивать число π, бросая иголку на специальную разрисованную поверхность. Оказывается, если бросать обыкновенную иглу на разлинованную поверхность и замечать, сколько раз она попадет на одну из прямых, а затем результаты эксперимента подставить в открытую Бюффоном формулу, то можно получить число (, причем с большой точностью. Итак, предположим, что плоскость разделена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу бросим иглу длиной 2L (L< 0). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых? Жорж Бюффон показал, что эта вероятность равна ρ=2L/aπ (L- длина иголки). Самое главное в этой формуле то, что в ней присутствует число (, а значение вероятности можно установить при делении числа попавших иголок на количество брошенных. Если вероятность ( заменим выражением m/n, где m-это количество попавших иголок на одну из прямых, а n - это количество кинутых игл, то формула будет выглядеть так π≈2ln⁄am. Из этой формулы можно вывести удобный для проведения эксперимента частный случай. Длину между параллельными прямыми проведем так, чтобы она была равна длине иголки, тогда получится совсем простое выражение π=2n⁄m. В этом случае число ( приближенно равно удвоенному отношению числа всех бросаний к удачным.

Задача Бюффона допускает обобщение. Оказывается, что число π можно определить также, бросая на разграфленную параллельными прямыми плоскость не только иголку, но и квадрат, треугольник и даже какую-то другую фигуру. Если наибольшее расстояние между двумя точками замкнутой выпуклой фигуры не превышает расстояние между параллельными прямыми 2а, а периметр фигуры равен 2L, то вероятность пересечения контуром этой фигуры какой- либо из параллельных прямых при ее бросании наугад, равна P=L/πa. Если постараться бросать камешки так, чтобы они равномерно распределялись по квадрату, то результат этого эксперимента также может быть использован для оценки числа π. Бросать камешки не очень увлекательное занятие, особенно если камешков для достижения высокой точности потребуется достаточно много. Однако в нашем предыдущем опыте камешки – не массивные увесистые предметы, а модели неких точек, попадающих в область круга.

Можно вообще отказаться от прямых. Камешки можно бросать и в квадрат круга, нарисованного на детской площадке. И если постараться бросать камешки, чтобы они равномерно заполняли плоскость, то тоже можно будет рассчитать число π. Пусть n количество брошенных, а m попавших камней внутрь вписанного в квадрат круга.

Тогда очевидно, что m/n ≈Sкруга/Sквадрата. Отсюда получается m/n≈ πr²/(2r)²= π/4.

Однако бросать можно и точки (причём с большой скоростью умеет это делать компьютер), причем точки могут быть и не случайными. Этой идеей воспользовался Карл Фридрих Гаусс. Он определял число ƒ(r) точек квадратной решетки, расположенных на площади радиуса r с центром в одной из точек решетки. Площадь каждого элемента квадрата решетки принимается равной единице.

Замечаем что величина ƒ(r) равна площади, составленной из всех тех квадратов, у которых r нижняя верш r ина лежит внутри или на границе круга. Гаусс доказал, что частное ƒ(r)/ r2 при возрастании r стремится к числу π. Таким образом, можно вычислить число по формуле π = ƒ(r)/ r2.

Проверка отношения длины окружности к ее диаметру

Я брала предметы домашнего обихода (кастрюлю, кружка, банка, блюдце и так далее), имеющие по краю форму окружности и измеряла длину этой окружности с помощью медной проволоки. Диаметр окружности измеряла с помощью вписанного прямоугольного треугольника.

Предмет Длина окружности (С) Диаметр(d) ((С/d

Баночка 31см 10см 3. 1

Тарелка 37см 11. 5см 3. 22

Сито 25см 8см 3. 125

Солонка 11. 5см 3. 5см 3. 2

Бокал 23см 7. 5см 3. 07

Медаль 16см 5см 3. 2

Кофейная чашка. 24см 7. 4см 3. 24

Найдем среднее значении π. π≈ 3,165

Проверка связи площади круга с числом π (проверка обобщенной задачи Бюффона)

Я рассматривала круг, вписанный в квадрат. Известно, что площадь квадрата равна квадрату его стороны, а площадь круга равна πr²

Так как у квадрата сторона равна 2r, то площадь квадрата равна 2r·2r=4 r². Площадь круга πr². Найдем их отношение S квадрата/S круга =4r²/πr²=4/π. Площади этих фигур я находила простейшим подсчетом, заполняя их множеством точек произвольным распылением краски.

Номер опыта. Площадь квадрата. Площадь круга. Значение числа π.

1 184 153 3,33

2 589 491 3,3

3 572 433 3,03

4 509 419 3,3

5 404 328 3,25

6 255 204 3,2

Таким образом, я провела 6 опытов. Вычислим среднее значение π. π ≈3,24.

3. 3. Проверка задачи Бюффона.

Я также как и Жорж Бюффон оценивала число π, бросая иголку на специально разрисованную поверхность. На поверхности проведены параллельные прямые отстоящие друг от друга на одинаковом расстоянии. «Удачным» считаю бросание, когда иголка попадает на прямую.

Бюффон открыл формулу, используя вероятность попадания, и оказывается, что число π≈2n/m, где n-число всех бросаний, а m-число «удачных» бросаний.

Число бросаний, n. Число «удачных» бросаний, m. Значение π.

100 59 2·100/59≈3,38

100 63 2·100/63≈3,17

Среднее значение числа π≈3,28

Проверка соотношений человеческого тела

Художники эпохи Возрождения заметили следующие соотношения в размере человеческого тела. Оказывается отношения размаха рук ( h ) к росту человека (H ) всегда равно одному и тому же числу, связанному с числом Фидия (Ф) и числом π : h/H=2Ф/π ; Ф≈ 1,62.

Произведя, измерения я убедилась, что размеры человеческого тела действительно подчиняются математическим законам.

Имя Рост

Размах рук ((((((h

Лариса 161см 157см 3. 32

Женя 157см 158. 5см 3. 21

Мама 158см 163см 3. 14

Папа 176см 175см 3. 26

Инна 150см 150см 3. 24

Люда 100см 96см 3. 38

Кристина 157см 158см 3. 22

Маша 166см 167см 3. 22

Коля 178см 176см 3. 28

Среднее значение числа π≈3,25.

Проверка метода Гаусса

Я определяла число ƒ(r) точек квадратной решетки, расположенных на площади радиуса r с центром в одной из точек решетки. Площадь каждого элемента квадрата решетки принимается равной единице.

Номер рисунка Число клеток в круге, ƒ(r Длина радиуса r2 (= ƒ(r)/ r2

1 49 4 16 3. 06

2 92 5 25 3. 68

3 44 4 16 2,75

4 32 3 9 3. 55

5 95 5,3 28 3. 39

6 26 3 9 2,88

7 41 3,6 13 3. 15

Среднее значение числа (≈3,2.

Изучив теоретический материал о числе π, я узнала много нового: историю числа π, способы нахождения десятичных знаков в числе π, о связи между числом π и другими математическими понятиями. После изучения литературы, я пыталась проверить правильность тех задач и методов, которые решали и использовали различные ученые. Самостоятельно я провела ряд экспериментов (о них рассказано в практической части). В ходе этой работы я убедилась в правильности всех расчетов, о которых прочитала ранее.

Изучение данного вопроса расширило мое представление о числах, способствовало приобретению некоторых навыков в проведении математических экспериментов в измерениях и вычислениях.

Я думаю, что знания и умения, приобретенные мною в ходе изучения данной темы, пригодятся мне в дальнейшем.