Расстояние между скрещивающимися прямыми

Статья посвящена изучению скрещивающихся прямых, которые являются одним из самых трудных случаев расположения прямых, так же в работе приведены решения задач различных уровней сложности.

В задачах по стереометрии часто нужно найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми. Это можно сделать двумя способами, используя нижеизложенные теоремы:

ТЕОРЕМА1. Для любых скрещивающихся прямых ℓ и n существует единственный отрезок АС(где АEuroℓ, СEuron), перпендикулярный этим прямым, и его длина есть расстояние между ними, т. е. d(ℓ;n)=AC, АС перпендикулярен ℓ, АС перпендикулярен n.

Данная теорема даёт практический способ нахождения расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.

Возьмём любую точку прямой на n и проведём через неё прямую m, параллельную ℓ. Другими словами, перенесём ℓ параллельно себе до пересечения с прямой n. Тогда прямые n и m задают новую плоскость PI, причём PIІІℓ , расстояние между скрещивающимися- это расстояние от любой точки прямой ℓ до плоскости PI.

Если ℓ1- ортогональная проекция ℓ на плоскость PI, то на прямой ℓ можно брать произвольную точку( например, МEuroℓ) и тогда ММ1=АС, М1Euroℓ1, ММ1 перпендикулярно ℓ1.

ℓ1- линия пересечения плоскости, задаваемой двумя линиями ℓ и ℓ1, с плоскостью PI, причём эти плоскости взаимно перпендикулярны.

ТЕОРЕМА2. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми ℓ и n, равно расстоянию между ортогональными проекциями этих прямых на плоскость PI,перпендикулярную одной из этих прямых.

Если плоскость PI перпендикулярна, например, прямой ℓ (рис. 6. 5),то ортогональная проекция последней на плоскость PI есть точка В- точка пересечения прямой ℓ и плоскости PI. Тогда искомое расстояние между ℓ и n равно расстоянию от В до прямой n1, являющейся ортогональной проекцией n на плоскость PIт. е. равно АВ.

Для построения действительного перпендикуляра к скрещивающимся прямым n и ℓ проведём NB1 перпендикулярныйPI, т. е. = ВВ1 (NB1llℓ и NAllBB1) : AN и есть общий перпендикуляр к n и ℓ.

Очень важные выводы.

1. Когда говорят о расстоянии между скрещивающимися прямыми, то имеют ввиду отрезок перпендикуляра между точками на этих прямых.

2. Длина этого отрезка перпендикуляра минимальна.

3. Он единственный.

Часто в задачах не требуется указывать расположение этого перпендикуляра, а достаточно вычислить только его длину.

Задача1

Основанием пирамиды SABC является равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, гипотенуза АВ которого = 4√2. Боковое ребро пирамиды SC=2 перпендикулярно плоскости основания. Вычислить угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра АС, а другая через точку С и середину ребра АВ.

Треугольник АВС- прямоугольный, равнобедренный, угол С=90˚(РИС6. 6а). Обозначим через D середину ребра АС, а через Е= середину ребра АВ. Тогда по условию задачи, надо найти угол и расстояние между SD и CE.

Через точку D проведём прямую ℓll CE. Тогда угол между скрещивающимися SD и CE- это угол между SD и ℓ. Встроим этот угол в треугольник, для чего из точки С опустим перпендикуляр СК, тогда SK перпендикулярно ℓ по теореме о трёх перпендикулярах.

Из треугольника SKD следует что tgKDS=SKKD. Для наглядности изобразим основание в натуральную величину (рис. 2б). Очевидно, что СК=АВ4=4√24=√2; KD=CE2=2√22=√2

(СЕ- медиана в прямоугольном треугольнике, а она равна половине гипотенузы).

Из треугольника SCK следует SK=SK2+ CK2=4+2=6

Угол KDS=arctgSKKD =arctg62=arctg3=PI3

Расстояние между SD и CE является расстоянием от любой точки СЕ, параллельной плоскости SDK. Возьмём точку СEuroСЕ. Плоскость SKC перпендикулярна плоскости SDK, линия SK- линия пересечения этих плоскостей. Тогда CH- расстояние от точки С до плоскости SDK.

Из треугольника SCK следует СН=SK∙KCSK=2̇∙26=23.

ОТВЕТ: PI3; 23.

Задача2.

Расстояние между непересекающимися диагоналями двух несмежных боковых граней куба равно d. Вычислить полную поверхность куба.

Пусть расстояние между непересекающимися диагоналями А1В и В!С равно d(рис 3а). Построим отрезок d.

Перенесём В1с параллельно себе до пересечения с А1В в точке А1. получим плоскость А1BD. Через точку С проведём плоскость, перпендикулярную А1ВD. Для этого из точки С опустим перпендикуляр СО на BD. Из точки О восстановим перпендикуляр к BD по плоскости А1BD. Линия А1О- это линия пересечения перпендикулярных плоскостей А1BD и СOA1. Тогда перпендикуляр СН и есть расстояние от точки С до плоскости А1BD и СН=d.

Изобразим плоскость СОА1 в натуральную величину и выразим ребро куба через d. Пусть ребро куба равно а. Тогда АС=а√2. Из треугольника ОСН видно что ОС=НСsinСОН.

Из треугольника А1АО получаем sinAOA1 =AAOA11 =аа2+а22=23

ОС=а22=d23 a=d√3

Полная поверхность куба 6а[2]=6d[2]∙3=18d[2]

Ответ: 18d

В следующей задаче покажем, как применяются выводы о расстоянии между скрещивающимися прямыми.

Основанием пирамиды ТАВС служит прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ, высота пирамиды равна h, все боковые рёбра наклонены к плоскости основания СD равен 60˚ (рис 4). Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану CD и пересекающей ребро ТВ? На какие части секущая плоскость делит ребро ТВ, когда площадь сечения наименьшая?

Так как все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом, то высота пирамиды проецируется в центр треугольника АВС, который лежит в точке D на середине гипотенузы АВ, т. е. грань АТВ перпендикулярна основанию,

Для построения угла между ТВ и CD через точку В проведем прямую ℓllCD, из точки D проведём DK перпендикулярную ℓ и тогда угол ТВК - это угол между ТВ и CD,угол ТВК=60˚

Пусть плоскость проходит через точку Р принадлежащую ТВ , тогда сечение треугольника PDC и его площадь равная 12CD∙hp, где CD- const, h- высота треугольника PDC. Видно , что минимальная площадь треугольника PDC , будет при минимальной высоте hp, которая есть расстояние между скрещивающимися прямыми CD и TB. построим это расстояние: перенесём CD в точку В (ℓ ll CD). Из точки d проведём DK перпендикулярное ℓ и восстановим ТК перпендикулярное ℓ, тогда TKD перпендикулярно TBK и DH - искомое расстояние, т. е. hp=DH, значит, минимальная площадь треугольника

PDC=12CD∙hp.

Из равнобедренного прямоугольного треугольника АТВ находим, что BD=h, тогда из треугольника TBD следует ND=h√2 из АТВ следует ТК=ТВcos30˚=h∙62

Из треугольника TKD следует KD=TK2-TD2=h264-h2=h22, и HD= KD∙TDTK=h22h62=h3

Тогда минимальная минимальная площадь треугольника PDC=12hh3=h223.

Чтобы ответить на второй вопрос, перенесём HD параллельно себе в точку Р. Тогда PL- действительно общий перпендикуляр ТВ и CD.

Треугольник ТНР подобен треугольнику ТКВ, Отсюда ТРТВ=ТНТК,

ТН=TD2-HD2=h2-h23=h3, ТР=h2∙h23∙h62=4h18=22h3

BP=TB-TP=h2-22h3=h23

Ответ: h223. ; h23; 22h3

Задача.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с боковыми сторонами угол 45˚, а с одной из диагоналей основания - угол 60˚ Расстояние между боковым ребром и диагональю параллелепипеда, не пересекающий это ребро =ℓ. Какой наименьший периметр может иметь сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через его диагональ и точку, лежащую на боковом ребре, не пересекающем эту диагональ?

B1 C1 D1

B C DНа рисунке 4(а) сделана только половина сечения. Угол DD1B=45˚, угол между АС и ВD1 , т. е. угол D1BL=60˚. Построение угла видно на рисунке 6. 9а. Расстояние между ребром АА1и диагональю BD1 равно АН=ℓ. ( По теореме 2: А- ортогональная проекция А1А на плоскость ABCD).

Пусть DD1=a,тогда BD=a, BD1=a√2.

Из треугольника BLD1 получаем BL=BD12=a22

Из треугольника BDL получаем BD[2]=BL[2]+DL[2]; а[2]=а22+4l2;а=l8

Из треугольника CBD получаем AH[2]=DH∙HB; а28=DH(a-DH)

DH[2]-a ∙ DH+ a28=0. DH=4a+-a88=a(2+-2)4; и если принять, что DH=a(2-2)4, то из треугольника ADH получаем AD=BC=a2162-22+a28=a22-2; CD=a22+2

Сделаем развёртку граней ВВ1С1С и СС1D1D (рис 6. 9б). Периметр сечения Р=2BMD1; BMD1=BD2+DD12 (по развёртке).

Из рис6. 9 б видно, что

BCD=BC+CD=a22-2+a22+2=a2(2-2+2+2)

BMD1=a2+a242-2+2+2)=2l4+2.

Ответ: 2l4+2.

Задача.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник АВС, площадь которого равна 32 Все боковые ребра пирамиды равны между собой, высота пирамиды равна 4, а расстояние между боковым ребром ТА и медианой основания СD, проведенной к гипотенузе АВ, равно1213. Вычислить длину катетов треугольника АВС, считая, что АС ВС.

По условию задачи высота проецируется в середину АВ. Построение расстояния видно из рис 5. TD=4,DH=1213

Из треугольника DTL получаем HD=LD∙TDLD2+TD2;

1213=LD∙4LD2+16 , LD=310

S треугольника CDA=12CD∙LD=34 так как треугольники CDA и CBD равновелики).

CD=3102∙3=102, АВ=10.

Если а и b - катеты треугольника АВС,то12ab=32,a2+b2=10, b=3a,a2+9a2=10.

(a[2])[2]-10a[2]+9=0; a[2]=5+-25-9=5+-4; а1[2]=9; а[2]2=1; а=3 или а=1,

Т. е. СВ=3 и СА=1

Ответ: 3; 1.

Задача.

В правильной четырехугольной пирамиде ТАВСD проведены параллельные между собой плоскости, одна из которых проходит через вершину пирамиды Т и середину стороны основания АВ, а другая - через вершину основания D и середину бокового ребра ТС. Расстояние между этими плоскостями равно 2831, а сторона основания равна 2. Вычислить объем пирамиды.

Плоскости проходят через DЕ и ТК.

Построение плоскостей.

В апофемной плоскости ТКК1 перенесем параллельно себе ТК в точку F пересечение медиан DE и TK. Получим прямую FQ, причем K1Q= 1 3 KK1=23 Плоскость задается прямыми DEи FQ, а DP - линия пересечения с основанием. Вторую плоскость построим переносом DP в точку K.

Через ТО проведем плоскость TLM, перпендикулярную обеим плоскостям, тогда его линия пересечения TLM с DEP, а значит LH=2831 (на рис 6. б натуральное изображение плоскости TML)

Объём пирамиды V=13TO∙SABCD, SABCD=4;ТО=OLtgOLT, угол OLT=HML.

Для вычисления OL изобразим основание в натуральном виде в системе координат XDY (рис. 7в).

Прямая DP имеет уравнение y=32x, или в общем виде 32x-y=0

Длина ML равна расстоянию от точки К(2;1) до прямой DP.

ML=l32∙2-1∙1l94+1=413. Аналогично ОМ=l32∙1-1∙1l94+1=113.

OL=LM-OM=313.

Из треугольника MLH получаем tgHML=7∙1318,

Из треугольника TOL получаем TO=313∙71318=76;

V=13∙76∙4=149

Ответ:149(куб. ед)