Равновеликие многоугольники

Два многоугольника называются равновеликими, если их площади равны

Примером равновеликих многоугольников могут служить любые равные многоугольники. Обратное утверждение, конечно, неверно: равновеликие многоугольники могут быть не равными. Также примером равновеликих многоугольников являются равносоставленные многоугольники.

Задача деления площадей фигур с помощью прямых, пересекающих их, и превращения одной фигуры в другую путем разрезания и пересоставления их частей возникла еще в древности из потребностей практики, землемерия и архитектуры. В сохранившемся на арабском языке сочинении Евклида «О делении фигур» рассматривается вопрос о том, как можно с помощью прямой линии, проходящей через данную точку, разделить пополам или в некотором отношении площадь данного многоугольника.

Проблема деления площадей особенно интересовала математиков эпохи Возрождения. Одной из самых простых и удобных для измерения площадей фигур является квадрат. Поэтому издавна появилось стремление превращать любую фигуру в равновеликий квадрат. Евклид, например, ставит и решает задачу о построении квадрата, равновеликого данному многоугольнику.

Задачи преобразования равновеликих фигур занимали умы ученых 19 века и поныне интересуют математиков.

Рассмотрим несколько типов задач:

Практические задачи (задачи на «разрезание»):

Задача № 1:

Разделить данный треугольник на три равновеликих треугольника прямыми, выходящими из одной вершины.

Решение

Разделим сторону АС на три равных отрезка (AD, DN, NC). Проведем через вершину B три прямые, проходящие через точки D, N. Образуются три треугольника: ABD, DBN, NBC.

Полученные треугольники являются равновеликими, так как имеют общую высоту и равные стороны, к которым эта высота проведена.

Предлагаем задачи для самостоятельного решения.

Задача № 2:

Вырежьте из бумаги два равных прямоугольника, у каждого из которых одна сторона вдвое больше другой. Один из них разрежьте на 2 части так, чтобы из них можно было составить прямоугольный треугольник. Другой разрежьте на 3 части так, чтобы из них можно было составить квадрат.

Задача № 3:

Постройте прямоугольный треугольник и покажите, как его разрезать на части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник, равновеликий данному треугольнику.

Задача № 4:

Постройте треугольник, не являющийся прямоугольным. Покажите, как его разрезать на три части так, чтобы из них можно было сложить прямоугольник с тем же основанием, равновеликий данному треугольнику.

Задача № 5:

Нарисуйте на клетчатой бумаге два разных прямоугольных треугольника, у которых площади:

1) равны двум клеткам

2) равны трем клеткам

3) равны 4,5 клеткам

Задача № 6:

Нарисуйте на клетчатой бумаге квадрат, площадь которого равна 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20, 25, 26 клеткам.

Задача № 7:

Превратить треугольник в равновеликий ему параллелограмм.

Задача № 8:

Превратить параллелограмм в равновеликий ему треугольник.

Задача № 9:

Постройте квадрат, площадь которого в два раза больше пощади данного квадрата.

Задача № 10:

Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них:

1) равнобедренный треугольник

2) прямоугольник

3) параллелограмм, не являющийся прямоугольником

Объясните, почему площади всех полученных фигур равны между собой.

Задача № 11:

Данный прямоугольник разделить на 4 равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.

Задача № 12:

Данный параллелограмм разделить на 4 равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.

Задача № 13:

Данный параллелограмм разделить на 3 равновеликие части прямыми, выходящими из одной вершины.

Задачи на построение:

Задача № 1: Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек P, для которых треугольники APB и ABC равновелики.

Решение:

Поскольку равновеликие треугольники APB и ABC имеют общее основание AB, то равны их высоты, проведенные из вершин соответственно C и P. Значит, геометрическое место точек Р совпадает с геометрическим местом точек, удаленных от прямой АВ на расстояние, равное высоте CH треугольника АВС, а это, как известно, - две параллельные прямые, удаленные от прямой АВ на расстояние, равное CH.

Предлагаем задачи для самостоятельного решения.

Задача № 2:

Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек P, для которых треугольники APB и APC равновелики.

Задача № 3:

Дан треугольник ABC. Найдите геометрическое место точек P, для которых треугольники APB, APC и BPC равновелики.

Подсказка:

Задачи на доказательство:

Задача № 1:

Точка O лежит на прямой, содержащей диагональ AC параллелограмма ABCD. Докажите, что площади треугольников AOB и AOD равны.

Решение

Выполним дополнительное построение: ВМ, DN – высоты. Затем рассмотрим прямоугольные треугольники AND и СМВ. Т. к. сторона AD равна стороне BC (по свойству параллелограмма), а угол DAC равен углу BCA (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD ,BC и секущей AC), то треугольник AND будет равен треугольнику СМВ. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон BM=DN. Значит, площадь треугольника AOB будет равна площади треугольника AOD, так как эти треугольники имеют общую сторону АО и равные высоты, проведенные к этой стороне.

Предлагаем задачи для самостоятельного решения.

Задача № 2:

Докажите, что медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

Задача № 3:

Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, разделил его на два четырёхугольника, имеющих равные площади. Докажите, что эти стороны параллельны.

Задача № 4:

Докажите, что треугольники ABC и DHF равновелики, если угол A равен углу D и AB: DH = DF : AC.

Задача №5:

В треугольнике АВС проведены медианы АМ и ВК, которые пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОК и ВОМ равновелики. Попробуйте дать два различных доказательства.

Задача №6:

Трапеция равновелика треугольнику, образованному продолжениями её боковых сторон и меньшим основанием. Докажите, что отношение длин оснований этой трапеции равно.

Задача №7:

Диагонали трапеции АВСD с основаниями АВ и СD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОD и ВОС имеют равные площади.