Различные математические функции

В школе мы изучали различные функции : линейную y =ax +b (график линия), квадратичную y =ax²+bx+c ( график парабола), функцию обратной пропорциональности ( график гипербола), тригонометрические функции (y=sin x, y =cos x, y =tg x, y =ctg x), степенная y =xⁿ, показательная y =a и xлогарифмическая y = log x функции.

До начала XVII в. в математике избегали применять дробные и отрицательные показатели степени. Только в конце XVII в. в связи с усложнением математических задач появилась необходимость распространить область определения показателя степени на все действительные числа. Обобщение понятия степени а, где n- любое действительное число, позволило рассматривать показательную функцию (y =a) на множестве действительных чисел и степенную функцию (y =xⁿ) на множестве положительных чисел, а при целых n степенная функция определена и для x< 0.

В развитие логарифмических функций внесли Джон Непер (1550-1617), И. Бюрги (1552-1632).

Но есть функции, которые мы не изучаем по школьной программе, такими являются функции y =sgn x, y =[x], y ={x}.

Название функции «сигнум» происходит от латинского signum и переводится «знак».

Определение. y

Из определения следуют некоторые свойства функции:

1. Область определения – множество R.

2. Множество значений состоит из трёх чисел y = {-1; 0; 1}.

3. Функия постоянна при x<0 и при x>0.

4. Функция нечётная: sgn(-x) = -sgn x.

Функцию сигнум ввёл Л. Кронекер в 1878 г.

Антье от x (целая часть x) есть наибольшее целое число, не превосходящее x.

Так, [ 5,72] = 5, [-3,2] = -4, [] = 1, [ -2] = -2 , [100] = 100 и др.

График функции y =[x] состоит из отрезков прямых, параллельных оси абсцисс ( на промежутке [ 0;1) –отрезок оси абсцисс), образующих «лесенку», длина и высота каждой «ступеньки» которой равна 1.

В функции y = {x} дробную часть числа можно определить через целую часть:

{x} = x-[ x ]. Поскольку целая часть x не превосходит x, то дробная часть числа всегда неотрицательна. Дробная часть целого числа равна 0.

Примеры:

{π} = π -3 , {7} = 0, {5} = 0, {3¼} =¼ , {-27,52} = -27,52-(-28) = 0,48.

График функции y = {x} изображается изолированными отрезками прямых на каждом промежутке [k; k +1), k Z области определения.

Приложения кусочно-линейных функций достаточно разнообразны. Без модуля числа нет операций над рациональными, а значит действительными числами. Функции «антье» и «дробная часть числа» широко используются в логарифмах («антье» - целая часть логарифма или его характеристика, «дробная часть» логарифма – его мантисса). Но имеются и другие приложения. При решении текстовых задач «на движение» под скоростью понимается модуль скорости (известно, что скорость – вектор). Некоторые классы текстовых задач решаются с помощью функций y = [x] и y = {x}. Например.

Длина полных метров в куске кабеля в 5 раз больше длины неполного метра. Какова максимально возможная длина кабеля?

Решение. Обозначим длину кабеля x (м). Тогда составляется уравнение 5{x} =[x] или {x}= [x] ∕ 5. Так как x [0; 5), то [x] [0; 5), поэтому [x] =4. Тогда {x}= 0,8. Искомая длина кабеля 4,8 (м).

Применяются сведения и свойства кусочно-линейных функций так же при решении уравнений и неравенств, их систем.

Здесь мы рассмотрим метод решения неравенств, представляющий собой некоторое усовершенствование метода интервалов. Именно, в задачах, где существенным является знак функции, можно заменить разность значений их аргументов. Это позволяет решать довольно сложные неравенства сравнительно просто – методом интервалов, применяемым обычно к рациональным функциям.

Для обоснования указанной замены мы переформулируем определение возрастающей функции.

Функция y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке I тогда и только тогда, когда для любых u и v из этого промежутка знаки чисел f(u) – f(v) и u – v совпадают (соответственно, противоположны).

Это замечание позволяет в целом ряде задач, связанных с исследованием знака функций, заменить разность f(u) – f(v) на более простое выражение u – v.

Решение. Область определения данного неравенства описывается системой

Поскольку мы хотели бы применить метод интервалов, перенесём число 2 в левую часть неравенства, и приведём её к общему знаменателю:

Неравенство, очевидно, справедливо при. При запишем его так:

В неравенстве заменим разность корней разностью подкоренных выражений:

то есть

Решив последнее неравенство методом интервалов, получаем ответ.

Использование свойств непрерывности и монотонности функций, входящих в композицию, во многих случаях существенно упрощает решение таких задач.

Приведём основные свойства композиции функций. Пусть сложная функция y = f(g(x)) , x X такова, что функция u = g(x), x X непрерывна и строго возрастает (убывает) на промежутке X; y = f (u), и u U, U = g(X) непрерывна и также является монотонной (строго возрастающей или убывающей) на промежутке U. Тогда сложная функция y = f(g(x)), x X также будет непрерывной и монотонной на X , причём:

- композиция f ° g двух строго возрастающих функций f и g также будет строго возрастающей функцией;

- композиция f ° g двух строго убывающих функций f и g является строго возрастающей функцией;

- композиция f ° g функций f и g , одна из которых (любая) является строго возрастающей, а другая строго убывающей, будет строго убывающей функцией.

Докажем второе свойство. Пусть функция u = g(x), x X является строго убывающей на промежутке X ,а функция y = f (u), u U = g(X) – строго убывающей на промежутке U. Покажем, что сложная функция y = f(g(x)), x X будет строго возрастающей на промежутке X.

Так как g(x) строго убывает на X , то по определению это означает, что для любых x , x X , таких, что x < x , выполняется неравенство g(x)>g(x). Монотонное убывание функции f(u) на промежутке U означает, что для любых u , u U и таких что u > u выполняется неравенство f(u) < f(u).

Непрерывность функции g(x) обеспечивает отображение промежутка X (интеграла, отрезка, полуинтервала) на промежуток U = g(X); монотонность g(x) приводит к тому, что каждое своё значение и = g(x) функция g(x) принимает ровно один раз. Поэтому можно считать, что u = g(x), u = g(x) и тогда неравенство f(u) < f(u) принимает вид f(g(x)) < f(g(x)). Это неравенство будет справедливо для любых x , x X и таких, что x < х, а это и означает, что композиция двух строго убывающих функций будет строго возрастающей функцией.

Найти все значения параметра а , при которых уравнение

имеет решение.

Решение. Как уже отмечалось выше, искомое множество значений параметра, а совпадает с множеством значений

Функции

Будем искать множество таких значений параметра а, при которых уравнение

имеет решение. На области допустимых значений (x R, x-1±) это уравнение равносильно (a – 1)x² + (2a + 1)x – (a + 2) = 0.

Если, а = 1, то получаем линейное уравнение 3х – 3 = 0, которое имеет решение x=1. При а1 квадратное уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

D = 8a² +8a -70

Решив это неравенство (с учётом того, что a1), получим, что

Ответ: а

К исследованию уравнений и неравенств можно ещё много применять свойств функций, таких как монотонность, непрерывность, чётность и нечётность, выпуклость и т. д. Но мы расскажем о самых удобных нетрадиционных способах решения уравнений и неравенств с помощью перечисленных свойств.

Теорема 1.

Если y = f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x) = x и f (f(x)) равносильны. Доказательство.

Пусть x – произвольный корень первого уравнения. Тогда это значение, очевидно, является корнем второго. Предположим, что x – произвольный корень второго уравнения, т. е. f(f(x)) = x. Если f(f(x)) ≠ x, то либо f(x) > x, либо f(x) < x. В силу монотонного возрастания функции должно выполняться одно из неравенств: либо f(f(x)) > f(x) > x, либо f( f(x)) < f(x) < x. Однако каждое из них противоречит условию: f( f(x)) = x. Следовательно, f(x) = x. Теорема доказана.

Следствие. Для любой монотонно возрастающей функции y = f(x) и любого натурального числа k уравнения f(x) = x и равносильны.

Теорема 2.

Для любой монотонно убывающей функции y = f(x) и любого натурального k уравнения f(x) = x и равносильны.

Прежде, чем применять эти утверждения к решению уравнений, полезно вычислить несколько композиций вида: y = f(f (x)), y = f(f ( f(x))) для функций :

Вычисление.

Решим уравнение:

Решение. Если вывести функцию , то данное уравнение можно записать в виде: или. Так как функция возрастает, то по теореме 1 следует решить равносильное уравнение: , которое имеет единственный корень.

Решим систему уравнений:

Решение. Если ввести функцию , то эту систему можно записать следующим образом: Исключая последовательно переменные мы приходим к уравнению: , которое по следствию теоремы 1 равносильно уравнению: или. Корни этого уравнения:. Поэтому решениями системы будут тройки чисел:.

Применение чётности функций в уравнениях и неравенствах лучше показать на примере, который наглядно иллюстрирует основную идею.

Примеры.

1. При каких значениях параметра a уравнение x²-(a+1)‌│x│+a = 0 имеет три решения?

Решение. Функция, стоящая в левой части уравнения, чётная. Тогда числа x и -x являются решениями данного уравнения одновременно. Следовательно, число нулевых решений всегда чётно. Поэтому три решения уравнение имеет только в том случае, когда одно из них есть нулевое решение. Полагая x = 0 , то выводим, что a = 0. Это необходимое условие. Убедимся в его достаточности. При этом значении уравнение имеет вид: x²-│x│= 0. Очевидно, что его корни есть числа: -1, 0, 1.

Ответ: а = 0.

Рассмотрим уравнение с применением наибольшего и наименьшего значения функций.

Решение. Левая часть уравнения принимает наименьшее значение в единственной точке x = 0. Это значение равно 2 , так как Тогда.

Правая часть удовлетворяет неравенству: 2 ≥ 2cos13x, в котором равенство достигается в точках, если x =, где. Следовательно, x = 0 – единственный корень уравнения.

Рассмотрим неравенство: (4x-x²-3)log(cos²πx+1)≥1.

Решение. Нестандартное неравенство нуждается в нестандартном решении. Мы должны заметить следующее:

1) 4x-x²-3 = 1-(x-2)²≤1;

2) 0≤log(cos²πx+1)≤log 2=1;

Следовательно, левая часть неравенства всегда не превосходит единицы. Она обращается в единицу только при x = 2. Это даёт окончательный ответ {2}.

Есть ещё множество способов решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций, я же показала вам лишь ту маленькую часть этого множества.