Различные системы координат: их история и связь

Ни одного года изучения курса математики в средней школе не обходится без изучения геометрического изображения математических моделей действительности. Системы координат в первую очередь помогают видеть окружающий мир посредством языка математики.

Метод координат даёт универсальный способ поставить в соответствие геометрическим объектам- фигурам, линиям и комбинациям фигур, те или иные алгебраические выражения или соотношения. Без знания систем координат не возможен перевод с геометрического языка на язык алгебры. Геометрические проблемы превращаются в алгебраические, и мы можем получить возможность использовать для решения геометрических задач алгебраические методы.

История открытия различных систем координат

Рене Декарт французский философ, математик, физик и физиолог является одним из создателей аналитической геометрии, которую он разрабатывал в XVII веке одновременно с Пьером Ферма (французским математиком), позволявшей алгебраизировать эту науку с помощью метода координат. Предложенная им

Рене Декарт (1596-1650) система координат получила его имя. В работе «Геометрия»(1637), открывшей взаимопроникновение алгебры и геометрии, Декарт ввел впервые понятия переменной величины и функции. Переменная трактуется им двояко: как отрезок переменной длины и постоянного направления (текущая координата точки, описывающая своим движением кривую) и как

Пьер Ферма(1601-1665) непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок.

В область изучения геометрии Декарт включил «геометрические» линии (позднее названные Лейбницем алгебраическими) — линии, описываемые при движении шарнирными механизмами. Трансцендентные кривые (сам Декарт называет их «механическими») он исключил из своей геометрии. В связи с исследованиями линз в «Геометрии» излагаются способы построения нормалей и касательных к плоским кривым.

«Геометрия» Декарта оказала огромное влияние на развитие математики. В декартовой системе координат получили реальное истолкование отрицательные числа. Действительные числа Декарт фактически трактовал как отношение любого отрезка к единичному (хотя саму формулировку дал позднее И. Ньютон). В переписке Декарта содержатся и другие его открытия.

Древнегреческие геометры были непревзойденными мастерами построений циркулем и линейкой. Но иногда и они встречались с задачами, не поддававшимися их искусству на протяжении многих поколений. И конечно, у них возникало подозрение, что эти задачи вообще неразрешимы таким способом. Однако доказать этого античные математики не могли. Здесь необходима помощь алгебры, но алгебры в ту пору ещё не было. Да и много позже, когда алгебра как наука уже сформировалась, она еще долгое время не оказывала никакого влияния на геометрию, до тех пор, пока не был создан координатный метод. Этот метод стал мостом, по которому алгебраические методы решительно вторглись в пределы изучения геометрии.

Вообще геометрию условно подразделяют на синтетическую и аналитическую. Первая изучает построение фигур и их свойства на основе чисто геометрического метода без использования формул и вычислений. Естественно, геометрия у греков была синтетической. Вторая исследует геометрические образы средствами алгебры на базе координатного метода. Сам термин «аналитическая» восходит к Виету, который отвергал слово «алгебра» как варварское, заменяя его словом анализ.

Зачатки координатного метода появились уже в Древней Греции. Один из основоположников астрономии Гиппарх ввел географические координаты – широту и долготу; существовали различные системы астрономических координат. Древнегреческие математики в словесной форме выражали зависимость между отрезками, связанными с изучаемыми линиями. Но записать эту зависимость формулой они не могли из-за отсутствия символики. К началу XVII века была разработана алгебраическая символика, позволившая записывать уравнения с произвольными коэффициентами. Тем самым необходимые предпосылки для введения координат были подготовлены.

Появление координат позволило связать точки кривых линий алгебраическими уравнениями и изучать свойства кривых, исследуя соответствующие уравнения. В частности, Ферма вывел уравнения прямой и конических сечений, исследовал уравнения первой и второй степени в общем виде. Но он не публиковал в печати своих открытий. Работу «Введение в изучение плоских и телесных мест» он послал (1636) Мерсенну (1588-1648).

На всю жизнь Декарт запомнил день 10 ноября 1619 г. , когда его осенила внезапно возникшая творческая мысль, позволившая заложить основания новой науки. То была идея аналитического метода в общефилософском смысле, состоящего в том, что каждую трудность сначала надо разложить на части и затем от простого и легкого продвигаться к более сложному. В применении к математике идея Декарта позволила ему построить аналитическую геометрию.

Справедливости ради, следует заметить, что ни у Ферма, ни у Декарта системы координат, как таковой, еще не было: рассматривалась только горизонтальная положительная полуось и из точек кривой на нее опускались перпендикуляры. Древний математик Александрийской школы Аполлоний (живший в 3-2 веках до нашей эры) уже фактически пользовался прямоугольными координатами. В современном виде система координат появилась в работе Исаака Ньютона (1643-1727) «Перечисление кривых третьего порядка»(1704). Позже французский математик Алексис Клод Клеро (1713-1765) ввел пространственные координаты.

Таким образом, открытие декартовых координат не принадлежит Декарту. И все же тот факт, что они названы его именем, не является большой несправедливостью. Он сделал из них такое употребление, которое представляет одно из величайших достижений математики. Декарт построил аналитическую геометрию, а в ней, как в фокусе, сошлись математические открытия, медленно, с трудом слагавшиеся в течение тысячелетий.

Виды систем координат

Вернемся к аналитической геометрии. Здесь каждой точке плоскости ставятся в соответствии две координаты - абсцисса и ордината. Когда точка перемещается по кривой, координаты x и y пробегают некоторое числовое множество. В результате они выступают уже не в виде застывших чисел, а как переменные, зависимость между которыми определяет исходную кривую. Вот что писал об этом событии Ф. Энгельс: «Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика»

Рассмотрим определение слова координата в различных источниках.

Из современной универсальной энциклопедии (БЭКМ):

«КООРДИНАТА, – ы, ж.

1. Одно из чисел, определяющих положение точки на плоскости, поверхности или в пространстве (специальные).

Географические координаты (широта и долгота).

2. мн. Сведения о местонахождении, местопребывании кого-(чего)–нибудь (разговорный). Сообщить кому– нибудь свои координаты; прилагательное:. координатный, – ая, – ое (к 1 значению)».

Из большого энциклопедического словаря:

«КООРДИНАТА, ы, ж. [немецкий- Koordinate, французский- coordinate < лат. со(n) с, вместе + ōrdinātus- упорядоченный]».

Рассматривают несколько видов систем координат:

• прямоугольная система координат:

1. на плоскости

2. в пространстве;

• полярная система координат;

• косоугольная система координат;

• сферическая система координат

• цилиндрическая система координат.

Системы координат

Название Изображение Особенности

Прямоугольная (декартова) Оси перпендикулярны

На плоскости:

х – абсцисса у - ордината

В пространстве:

х – абсцисса у - ордината z - аппликата

Полярная О- полюс

ОР- полярная ось

ϕ − полярный угол.

Сферическая Полярная в пространстве:

О- полюс

ОР- полярная ось

ϕ − полярный угол

θ – угол, образованный OМ и положительным направлением оси Оz

Цилиндрическая Полярная в пространстве:

О- полюс

ОР-полярная ось

ϕ − полярный угол

Oz, перпендикулярную плоскости α

Косоугольная Оси неперпендикулярны.

Координатная сетка образует параллелограммы

Рассмотрены виды систем координат в зависимости от изображения и их особенностей. Далее представим более подробно данные системы координат.

Прямоугольная система координат

Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называется упорядоченная пара двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ox и Oy, причём началом координат каждой из осей служит их общая точка O. Декартова система координат на плоскости

Прямоугольные (декартовы) координаты точки на плоскости суть снабженные знаками «+» или «-»- расстояния ОХ0 = А У0 (х - абсцисса) и ОУ0 = АХ0 ( y - ордината) точки А от двух взаимно перпендикулярных прямых Ох и Оу (осей координат). Все точки на оси абсцисс имеют нулевую ординату, а все точки на оси ординат имеют нулевую абсциссу. Любая из координат или обе могут оказаться отрицательными. У всех точек плоскости, расположенных правее оси ординат, абсцисса положительна, а у находящихся левее – отрицательна. Все точки, лежащие выше оси абсцисс, имеют положительную ординату, а лежащие ниже – отрицательную. Следовательно, каждой из четырёх частей, на которые координатные оси разбивают плоскость, соответствует своё сочетание знаков координат. Эти части называются квадрантами или четвертями.

Ещё греческий учёный Гиппарх (ок. 100 г. До н. э. ) предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами, то есть ввел теперь хорошо известные географические координаты, обозначив их числами. Только через1600 лет, в XV в. , французский математик Оресм ввёл по аналогии с географическими координатами координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы сейчас называем абсциссой и ординатой. Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связывающий геометрию с алгеброй. Точка плоскости - геометрический объект - заменяется парой чисел (x;y), то есть алгебраическим объектом.

Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется упорядоченная тройка взаимно перпендикулярных координатных осей Ox, Oy и Oz.

Декартова система координат в пространстве

Систему координат в пространстве определяют три взаимно перпендикулярные плоскости, относительно которых положение точки Д определяется тремя координатами: х (абсцисса), у (ордината) и z (аппликата). Точка О в обоих случаях называется началом координат.

Полярная система координат

Полярные координаты точки на плоскости — расстояние ОМ = r этой точки от фиксированной точки О (полюса) и угол РОМ =ϕ между ОМ и полярной осью ОР (r - радиус-вектор, ϕ — полярный угол). Поскольку двум точкам, симметричным относительно полярной оси, соответствует одна и та же величина угла, введём знак угла. Если угол отсчитывается от полярной оси до отрезка OM против часовой стрелки, он положительный, а если по часовой стрелке - отрицательный. В пространстве аналогом полярных координат служат цилиндрические координаты и сферические координаты. Но совсем не обязательно определять координаты точки с помощью углов. Можно выбрать на плоскости второй полюс на некотором расстоянии от первого и координатами каждой точки считать расстояния до этих полюсов. Такая система координат получила название биполярной ( от латинского «bi» – «дву(х)-»)

Замечательные кривые в полярных координатах

1. Спираль Архимеда. Уравнение этой кривой ρ = ϕ. Архимед (ок. 287-212 г. до н. э. ) не только описал эту кривую, но и научился находить касательную к этой спирали, а также вычислять площадь её витка.

2. Лемниската Бернулли. Это кривая, у которой произведение расстояний каждой её точки до двух заданных точек – фокусов постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Лемнискату придумал швейцарский математик Яков Бернулли (1654-1705). В античном Риме так назывался бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Построить лемнискату можно с помощью её уравнения ρ2=2а2cos2ϕ.

Лемниската Бернулли

Цилиндрическая система координат

Эта система представляет собой нечто среднее между прямоугольной и полярной системами.

Построим на плоскости α полярную систему координат и проведём через полюс O числовую ось Oz, перпендикулярную плоскости α. Спроектировав произвольную точку M пространства на плоскость, найдём две координаты (угол ϕ. и расстояние R до полюса) этой проекции в полярной системе координат, а третью координату (z) получим, спроектировав точку M на ось Oz.

Сферическая система координат

Она похожа на цилиндрическую: в ней также имеются плоскость α с полярной осью и дополнительная ось Oz, перпендикулярная плоскости α. Однако положение точки М пространства определяется такими координатами: углом ϕ, как и в цилиндрической системе, расстоянием R от точки М до полюса O (именно от точки М, а не от её проекции!) и ещё одним углом θ – его образуют отрезок OМ и положительное направление оси Оz.

Сферическая система координат наиболее близка к географической ( если посмотретье на координатную сетку любого глобуса), но отличается от неё тем, что на глобусе угол θ отсчитывается не от вертикальной оси, а от горизонтальной плоскости, в которой лежит экватор. Кроме того, в географической системе добавлены понятия «северная (южная) широта» и «восточная (западная) долгота», чтобы указать направление отсчёта углов. Это позволяет обойтись без отрицательных значений.

Косоугольная система координат

Косоугольная система координат отличается от прямоугольной тем, что её оси не перпендикулярны. Координаты точек определяются, как и в прямоугольной системе координат - по прямым, параллельным осям.

Координатная сетка вместо квадратов образует параллелограммы. В некоторых случаях оказывается удобным не только угол межу осями, но и брать на осях разные единицы измерения. Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.

Декартова система координат – основная система координат школьного курса математики

• функции и их графики

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ - прямолинейная система координат на плоскости или в пространстве (обычно с взаимно- перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям).

Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба.

Координаты точки М считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки М.

Двухмерная система координат

Декартовыми прямоугольными координатами точки М на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или проекции радиус-вектора r точки М на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

В двухмерной системе координат горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось - O X), вертикальная ось — осью ординат (ось - ОY). Положительные направления выбирают на оси O X — вправо, на оси O Y — вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки. Запись М(х;у) означает, что точка М на плоскости имеет абсциссу х и ординату у.

Трехмерная система координат

Декартовыми прямоугольными координатами точки М в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или проекции радиус-вектора r точки М на три взаимно перпендикулярные координатные оси.

Трехмерная система координат

Через произвольную точку пространства O — начало координат — проведены три попарно перпендикулярные прямые: ось O X (ось абсцисс), ось O Y (ось ординат), ось O Z (ось аппликат).

На осях координат могут задаваться единичные вектора i, j, k по осям OX, OY, OZ соответственно.

В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны правая и левая координатные системы. Как правило, пользуются правой системой координат.

В правой системе координат положительные направления выбирают следующим образом: по оси O X — на наблюдателя; по оси OY — вправо; по оси OZ — вверх. В правой системе координат кратчайший поворот от оси X к оси Y осуществляется против часовой стрелки; если одновременно с таким поворотом двигаться вдоль положительного направления оси Z, то получится движение по правилу правого винта.

Запись М (х;у;z) означает, что точка V имеет абсциссу [, ординату e и аппликату z.

Каждая тройка чисел (х;у;z) задает единственную точку М. Следовательно, прямоугольная декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.

Кроме координатных осей существуют также координатные плоскости. Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, — прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.

Координатная плоскость X O Y содержит оси O X и O Y, координатная плоскость Y O Z содержит оси O Y и O Z, координатная плоскость X O Z содержит оси O X и O Z. В настоящее время уже очень большое число специалистов из разных областей знания имеет представление о прямоугольных декартовых координатах на плоскости, так как эти координаты дают возможность наглядно – геометрически при помощи изобразить зависимость одной величины от другой. Промежуточные результаты вычислительных навыков 5 «Б» (8»Б»). Так врач строит график температуры больного в процессе болезни, экономист – график роста производства и т. д. Для построения системы координат мы проводим в плоскости чертежа две прямые-оси координат: горизонтальную – ось абсцисс и вертикальную – ось ординат. Пересечение их о называется началом координат. Пусть r- некоторая точка плоскости чертежа. Отпустим из нее перпендикуляр rp на ось абсцисс и перпендикуляр rq на ось ординат. Это построение дает нам возможность поставить в соответствии точке r два неотрицательных числа. Первое- длину отрезка op и второе- длину отрезка oq. Видно, однако, что если точка r’ симметрична с точкой r относительно оси ординат, то числа, соответствующие обоим числам r и r’, будут одинаковыми. То же верно и для точек, симметричных относительно оси абсцисс. Это положение исправляется правилом выбора знаков, введенным Декартом. Именно если точка r лежит справа от оси ординат, то первое число берется со знаком плюс, а если слева – то со знаком минус. Так полученное число называется абсциссой точки r и обозначается через x. Аналогично определяется и знак второго числа, которое называется ординатой точки r обычно обозначается через y. Числа x и y называются декартовыми координатами точки r. Ели переменные величины x и y связанны каким – либо соотношением, например, алгебраическим уравнением, то совокупность точек r ,координаты которых удовлетворяют этому уравнению, образует линию на плоскости. В частности, именно таким образом строится график, если y зависит от x. Он определял при помощи них тщательно изучавшиеся и хорошо известные в то время кривые: параболу, гиперболу и эллипс. Аполлоний задавал их уравнениями: y 2 = p x(парабола); y 2 = px + x2(гипербола); y 2 =px - x2(эллипс).

Аполлоний, конечно, не выписывал уравнения в этой алгебраической форме, т. к. в те времена не существовало еще алгебраической символики. Он описывал уравнения пользуясь геометрическими понятиями: y 2 в его терминологии, есть площадь квадрата со стороной у; рх – есть площадь прямоугольника со сторонами р и х и т. д.

С этими уравнениями связаны и названия кривых. Парабола по-гречески означает равенство: квадрат y 2 имеет площадь, равную прямоугольнику рх. Гипербола по-гречески означает избыток: площадь квадрата y 2 превосходит площадь прямоугольника рх. Эллипс по-гречески означает недостаток: площадь квадрата y 2 меньше площади прямоугольника рх.

Значение аналитической геометрии состоит прежде всего в том, что она установила тесную связь между алгеброй и геометрией. Эти две ветви математики ко времени Декарта достигли уже высокой степени совершенства. Но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними намечалась лишь довольно слабая связь. Геометрия уже незадолго до начала н. э. достигла выдающихся результатов. Тогда были детально изучены такие сложные образования, как парабола, гипербола и эллипс; в частности, было доказано, что все эти кривые могут быть получены в результате

Гипербола в декартовой системе координат пересечения поверхности круглого конуса с плоскостью, откуда и возникло их общее название – конические сечения.

Отрицательные числа, известные еще индусам в 6-11вв. , европейскими математиками долгое время не

Эллипс признавались – считались абсурдными. Даже Виета не признавал их. Только благодаря аналитической геометрии Декарта они полностью утвердились в математике.

Рассмотрим горизонтальную прямую, которая называется осью абсцисс, а вертикальная – осью ординат, а точка о – началом координат.

Выбранные оси разбивают плоскость Р на четыре четверти или квадранта. Эти четверти нумеруются в следующем порядке: первая четверть лежит над осью абсцисс и вправо от оси ординат; вторая лежит над осью абсцисс и влево от оси ординат; третья – под осью абсцисс и влево от оси ординат, и, наконец, четвертая – под осью абсцисс и вправо от оси ординат. Таким образом, четверти занумерованы в том порядке, в каком их проходит точка, начинающая свое движение в первой четверти и движущаяся против часовой стрелки вокруг начала координат. Приведен пример этого движения.

Пусть теперь z – некоторая точка на плоскости Р. Пользуясь выбранными осями координат, поставим этой точке в соответствие два числа х и у ; х – ее абсциссу, у – ее ординату. Для этого из точки z опустим перпендикуляр zp на ось абсцисс и перпендикуляр zq на ось ординат. Если точка р лежит вправо от начала координат о, то через х мы обозначим длину отрезка ор, т. Е. положительное число. Если точка р лежит влево от начала координат о , то через х мы обозначим длину отрезка ор, взятую со знаком минус, т. Е. отрицательное число. Если точка р совпадает с началом координат о, то х=0. Аналогично, если точка q лежит выше начала координат о, то через у мы обозначим длину отрезка оq, т. Е. положительное число. Если точка q лежит ниже начала координат, то через у мы обозначим длину отрезка оq ,взятую со знаком минус, т. Е. отрицательное число. Если точка q совпадает с началом координат, то у=0. Таким образом, каждой точке z на плоскости Р при помощи выбранной системы координат поставлена в соответствии пара чисел: х и у , х – абсцисса точки z, у - ее ордината. В виде формулы это записывается так: z=(х;у). Числа х и у называются координатами точки z.

Начало координат О получает координаты (0, 0), т. е. о = (0,0). Произвольная точка z на оси абсцисс имеет ординату, равную нулю, так что она записывается в форме z = (х, 0) = (х).

Можно отметить, что положение точки z на оси абсцисс определяется одним числом х и поэтому число х естественно считать координатой точки z на оси абсцисс. Произвольная точка z на оси ординат имеет абсциссу, равную нулю, так что она записывается в форме z=(0, у) = (у).

Таким образом, положение точки z на оси ординат определяется одним числом у, и поэтому число у естественно считать координатой точки z на оси ординат.

Если заданы два произвольных числа х и у, то на плоскости Р легко построить ту единственную точку z , абсцисса которой равна заданному числу х, а ордината – заданному числу у. которой равна числу х, а ордината - числу у, так что выполнено равенство. Таким образом, формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости Р и парами чисел х, у.

Если точка z движется вдоль оси абсцисс слева направо, то абсцисса ее возрастет. Поэтому говорят, что ось абсцисс направлена слева направо. Это обстоятельство можно изобразить геометрически, нарисовав на оси абсцисс стрелку, острием своим направленную в правую сторону. В том же самом смысле ось ординат направлена снизу вверх, и это можно изобразить, нарисовав на ней стрелку острием, направленным вверх. Точки, лежащие на оси абсцисс справа от начала координат, имеют положительные абсциссы. Поэтому говорят, что они составляют положительную полуось абсцисс. Точки, лежащие на оси абсцисс слева от начала координат, имеют отрицательные абсциссы и поэтому говорят, что они составляют отрицательную полуось абсцисс. В том же самом смысле точки, лежащие на оси ординат выше начала координат, составляют положительную полуось ординат. А точки, лежащие ниже начала координат, составляют отрицательную полуось ординат.

Как связаны системы координат

1. С декартовой системой координат тесно связана так называемая полярная система координат.

Пусть z= (х, у) – произвольная точка плоскости Р, заданная своими декартовыми координатами. Поставим теперь этой точке z в соответствие два других числа ее полярные координаты, именно, число ρ, равное длине отрезка оz, ρ=l(о, z), и число φ , равное величине угла в радианах между положительной полуосью абсцисс и отрезком оz, причем угол отсчитывается в направлении против часовой стрелки. Мы будем писать z =[ρ, φ]. Число ρ называется радиусом точки z, а число φ ее углом.

Радиус ρ точки z определен однозначно. Угол φ точки z не определен совсем, когда точка z совпадает с началом координат. Но и в этом случае, когда точка z не совпадает с началом координат, угол φ однозначно.

Именно, если φ есть угол точки z, то φ +kπ, где k – произвольное целое число, так же является углом точки z. Это обстоятельство в ряде случаев имеет важное значение.

С другой стороны , если задано произвольное неотрицательное число ρ и произвольное число φ , то всегда найдется такая точка z, что заданное число ρ является ее радиусом , а заданное число φ ее углом. Полярные координаты ρ и φ точки z менее совершенны, чем ее декартовы координаты, т. к. здесь нет взаимно однозначного соответствия между точками z плоскости Р и парами чисел ρ, φ.

Тем не менее в ряде случаев полярные координаты оказываются более удобными, чем декартовы.

Пользуясь одновременно декартовыми и полярными координатами, мы неизбежно должны поставить вопрос о связи между теми и другими. Декартовы и полярные координаты точки z= (х, у)= [ρ, φ] связанны между собой следующими формулами х=ρ и у=ρ. (1)

Формулы эти следуют из рассмотрения треугольника орz. Они имеют простой геометрический смысл, когда точка z принадлежит первому квадранту плоскости. Опустим из точки z перпендикуляр zр на ось абсцисс. Так как z принадлежит первому квадранту, то абсцисса и ордината этой точки , х и у, - суть положительные числа, и мы имеем равенства х= l(o, р), у= l(р, z), ρ= l(о, z).

В прямоугольном треугольнике орz ор и рz являются катетами , а оz гипотенузой. Угол точки z равен углу этого треугольника в вершине о. И формулы (1) суть известные формулы, выражающие длины катетов прямоугольного треугольника через его гипотенузу и угол при острой вершине треугольника.

В случае, если точка z принадлежит 2-му, 3-му или 4-му квадранту плоскости, в формулах (1) следует обратить внимание на знаки левых и правых частей. Формулы (1) оказываются правильными при любом положении точки z. Но это не является случайностью, а следствием того, что правило выбора знака для абсциссы совпадает с правилом выбора знака для косинуса в тригонометрии. Таким образом, правильное использование отрицательных чисел позволяет нам вести вычисления, не думая о знаках, входящих в вычисление величин. Если бы мы не использовали отрицательных чисел или пользовались ими неудачно, то вместо двух равенств в формулах (1) нам пришлось бы писать два соотношения для каждого из четырех квадрантов отдельно

2. Рассмотрим переход из декартовой семейства прямых, параллельных ОУ или перпендикулярно оси ОХ.

Мы рассмотрели различные виды систем координат. Открыли еще одну страницу интереснейшей книги «Математика». Не только декартова система координат существует в действительности.

Наиболее широко применяются три пространственные системы координат:

• прямоугольная система координат;

• сферическая система координат;

• цилиндрическая система координат.

Более сложна для восприятия, хотя и весьма полезна при решении многих задач сферическая система координат. Она наиболее близка к географической.

Существуют и много других систем координат. Искривив сами оси, можно построить криволинейную систему координат.

Можно рассматривать и воображаемые пространства с числом измерений более трех, даже бесконечномерные пространства. В них также удается ввести, декартовы координаты, что позволяет распространить на эти пространства наглядные геометрические понятия.

Главное правильно выбрать вид системы - наиболее удобный, для той или иной ситуации.

Функции и их графики

Напишем следующее равенство: f(x) =a0xn+a1xn-1++an.

Здесь справа написан многочлен степени n относительно х с коэффициентами a0, a1, , an, которые мы будем считать действительными числами. Слева написано выражение f(х), которое мы в первую очередь будем рассматривать как сокращенное обозначение для многочлена, стоящего справа. Таким образом, вместо того, чтобы сказать : многочлен a0xn+a1xn-1++an, мы можем теперь сказать коротко: рассмотрим уравнение f(х). Далее, мы можем подставлять вместо х любые числа и получать опять равенство ,например, при х = 0 мы получаем f(0) = an , при х = 1 мы получаем f(1) = a0+a1++an. Таким образом, если коэффициенты a0, a1, ,an нашего многочлена нам известны , то мы можем вычислить значение этого многочлена f(х), подставляя вместо х любое числовое значение х. Т. К, х может принимать любое числовое значение, то говорят , что х есть независимая переменная. Тот факт,что числовое значение f(х) можно вычислить , зная числовое значение х , выражают, говоря, что f(х) есть функция независимой переменной х. Переменная х так же иногда называется аргументом функции f(х). В данном случае f(х) есть многочлен, заданный равенством. Но могут быть и другие правила вычисления функции f(х) , которые задаются какими – либо формулами или иным способом. Так мы приходим к понятию функции. Функция независимой переменной х есть такая величина f(х), которую можно узнать, когда известно значение х.

Будем для определенности считать, что f(х) есть функция, заданная равенством.

Рассмотрим уравнение у=f(х).

Придавая независимой переменной х различные числовые значения, мы будем получать при помощи равенства для у вполне определенные числовые значения, поэтому у называется зависимой переменной. На некоторой плоскости Р выберем систему декартовых координат и будем рассматривать на этой плоскости все точки z=(х,у), где х берется произвольно, а у вычисляется по формуле. В результате такого построения из всех точек на плоскости Р возникает линия. Она описывается точкой z=(х;у), когда х пробегает все возможные значения, а у принимает те значения, которые соответствуют значениям х в силу формулы. Эта линия называется графиком функции f(х). Иначе говорят, что полученная линия определяется уравнением. Часто вместо слова линия употребляют слово кривая.

Таким образом, уравнение определяет кривую на плоскости Р. Эту кривую мы обозначим буквой К. Точку можно записать в форме z= (х, f(х)), подчеркивая тем самым ,что ордината точки есть функция ее абсциссы.

Иногда независимая переменная обозначается не буквой х , а какой – нибудь другой буквой, например, буквой t. Так бывает, когда независимой переменной является время. Таким образом, мы можем рассматривать функцию независимой переменной t и рассматривать уравнение.

Здесь одна и та же буква использована как для обозначения зависимой переменной, так и в выражении , обозначающего функцию. Это делается для того, чтобы сэкономить число употребляемых букв, а так же для того, чтобы напомнить, что зависимая переменная определяется функцией. То обстоятельство, что независимая и зависимая переменные обозначены теперь не через х и у, а через t и ,не должно лишать нас возможности геометрического изображения функции , т. е. возможности построения ее графика. Для того чтобы построить график функции мы должны принять за абсциссу точки величину t, а за ее ординату число , определяемое равенством. Говорят при этом, что мы откладываем t по оси абсцисс, а по оси ординат.

Если вдуматься в определение графика функции, то невольно возникает сомнение. В самом деле, х принимает бесчисленное множество значений, и вычислить все соответствующие значения у просто невозможно. Можно, конечно, выбрать некоторое конечное число значений х и вычислить соответствующие значения у. Тогда мы сможем построить некоторое конечное число точек, расположенных на кривой К, и тем самым составить себе некоторое представление о ее поведении. Рассмотрим теперь некоторые частные случаи многочлена f(х) и построим соответствующие кривые К.

Пусть f(х)= 2, где α- положительное число. Тогда уравнение получает вид у = 2. Это уравнение определяет на плоскости Р кривую К, состоящую из всех точек вида z-(х,2), где х – произвольное действительное число. Сразу же можно сказать, что вся наша кривая К лежит над осью абсцисс, так же ее ордината 2 всегда неотрицательна.

Далее, она проходит через начало координат, так как при х = 0 у также равно нулю. Кроме того, кривая К симметрична относительно оси ординат, так как наряду с точкой (х, у) ей принадлежит точка (-х, у). Ввиду этого мы можем сперва составить себе представление о поведении кривой К в первой четверти, а затем при помощи зеркального отображения относительно оси ординат получить ее также и во второй четверти. В этом случае кривая К называется параболой.

Рассмотрим теперь кривую К, определяемую уравнением у= х3+βх, где β – заданное число. Здесь следует различать два случая:

1) β – неотрицательное число,

2) β -отрицательное число.

В первом случае при возрастании х функция у также возрастет.

Кроме того, видно, что при отрицательном х число у отрицательно, а при положительном – положительно. Очевидно, что наряду с точкой (х, у) кривой К принадлежит также точка (-х, -у). Таким образом, кривая К симметрична относительно начала координат. Она проходит в первой и третьей четверти и достаточно нарисовать ее только в первой четверти, чтобы затем при помощи симметрии получить и поведение ее в третьей четверти. При возрастании х, начиная от нуля, у также возрастает от нуля сперва сравнительно медленно, а затем все быстрее и быстрее. Кривая К в этом случае называется кубической параболой.

В случае ,когда число β отрицательно, поведение кривой К более сложно. Очевидно, что она так же симметрична относительно начала координат, но имеет не одну точку пересечения с осью абсцисс, а целых три. Для нахождения этих точек мы должны приравнять в уравнении у к нулю. Тогда мы получим те значения х, в которых кривая пересекает ось абсцисс. Уравнение Х3+βх=0 дает нам три значения для х: х = 0 и х=.

Рассмотрим теперь пример, когда функция f(х) не является многочленом. Пусть f(х) = Тогда кривая К определяется уравнением у = Так как ) = при целом k, то для построения кривой К достаточно лишь рассмотреть ее отрезок при х, меняющемся от 0 до 2π. Из этого куска К’ кривой К вся кривая К получается путем смещения куска К’ кривой К выглядит следующим образом. Сперва точка (х, у) движется в первой четверти, причем при

Синусоида возрастании х от 0 до величина у возрастает от 0 до 1. Затем при возрастании х от до π величина у убывает от1 до 0. Далее, при возрастании х от π до величина у убывает от 0 до -1, и при возрастании х от величина у возрастет от -1 до 0. Вся кривая К называется синусоидой.