Учеба  ->  Среднее образование  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Разнообразие чисел в математике

Когда говорим о том, что изучает математика, то в первую очередь отвечаем так: математика изучает числа и их свойства. Древние греки, египтяне, вавилоняне, китайцы, народы Индии уже в 3-ем тысячелетии до нашего летоисчисления знали о числах много такого, в чем не очень-то разбираются некоторые ученики пятого и шестого класса. Особенно в этом преуспели древние греки. Они (в частности Пифагор и его ученики) считали, что в основе всего мироздания лежит число. Этот интерес к свойствам чисел стал позже источником теории чисел.

Уже в 5-м и 6-м классах можно связать воедино некоторые сведения о числах и их свойствах, т. е. рассмотреть первоначальные понятия теории чисел и решать ряд простейших задач из этого раздела.

Простые числа

Натуральное число называется простым, если, кроме 1и Р, оно не имеет других натуральных делителей.

В математике часто бывает важно определить, является ли число простым. Натуральные числа, имеющие больше двух делителей, называются составными. Если число маленькое, то достаточно таблицы умножения, чтобы определить простое число или составное. А вот, когда число большое приходится пользоваться правилом Эратосфена. Это правило или способ назвали именем открывшего его математике Эратосфена, жившего 2000 лет назад в древней Греции.

Это правило заключается в следующем. Пусть нужно найти все простые числа, меньше 50. Тогда выписывают все числа от 2 до 50. Выписываем отдельно число 2, как первое простое число, затем отбросим или отсеем все числа кратные 2, т. е. зачеркнем каждое второе число. Выписываем первое не вычеркнутое число 3, оно простое, затем вычеркиваем числа кратные 3 (они составные), т. е. каждое третье число, следующее после каждое третье число, следующее после 3-х и т. д. Простые числа останутся не вычеркнутыми. Этот способ называется решетом Эратосфена

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

46 47 48 49 50

Итак, простые числа из первых пятидесяти натуральных чисел, 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.

Совершенные числа

Так называют числа, равные сумме своих делителей, исключая делитель, равный самому этому числу.

Например число 6, его делители 1, 2, 3,6

6=1+2+3 (6 не берем)

Далее число 28, его делители 1, 2, 4, 7, 14, 28 (28 не берем) 28=1+2+4+7+14

Совершенные числа обозначают символом Vn, V1=6 (первое совершенное число) V2=28, V3=496, V4=8128

Как видите совершенные числа весьма редки. «Возраст этих четырех совершенных чисел не менее 2000 лет, о них знали еще математики древней Греции. Пятое совершенное число V5=33550336. Это число как совершенное было выявлено лишь 500 лет назад, в 1460 году.

В настоящее время зарегистрировано пока 20 совершенных чисел, причем последние восемь были обнаружены с помощью электронных вычислительных машин. Например, 18-тое совершенное число состоит из 1937 цифр.

V18=23126 x (23217-1) т. к. V1=6, то видимо поэтому у древних римлян шестое место считалось самым почетным на пирах. В некоторых ученых обществах полагалось иметь 28 членов, т. к. V2=28, т. е. совершенные числа были весьма почитаемы.

Дружественные числа

Дружественными назвали пары чисел, из которых каждое равно сумме всех делителей другого, не считая самого числа. Например, дружественная пара 220 и 284. 220 имеет делители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Их сумма равна 284. 284 имеет делители 1, 2, 4, 71, 142, их сумма 220.

Числа-близнецы.

Числа 2 и 3, 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и т. д. называют числами – близнецами.

Числа близнецы – это пары простых чисел, которые следуют друг за другом, т. е. находятся совсем близко друг от друга. До сих пор неизвестно конечно или бесконечно число пар близнецов.

Числа самородки

Возьмем числа 5, 10, 11, 13, 17, 25,. Все числа, кроме 5, сформированы по единому правилу. К числу прибавляется сумма его цифр.

Так, 5+5=10, 10+1=11, 11+2=13, 13+4=17, Все начинается с числа 5. Число 5 оказалось как бы самородком.

Однозначные самородки обнаруживаются сразу 1, 3, 5, 7 и 9.

Из двухзначных наименьшее 20, затем 31, Есть коллекция «самородков» и среди многозначных чисел.

Например, 132, 143, 233, 929, 1952 и т. д.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел. По алгоритму Евклида, чтобы найти НОД двух натуральных чисел, нужно сначала разделить большее число на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток разделить на второй и т. д. Последующий нулевой положительный остаток в этом процессе и будет НОД.

Обозначим данные числа а и в. r1, r2, r3,- остатки от деления.

q1, q2, q3,- неполные частные.

Тогда алгоритм Евклида можно записать в виде цепочки равенств a=b q1+ r1 (пусть а больше b) b= r1 q2+ r2 r1= r2 q3+ r3

rn-1= rn qn-1

Например найдем НОД (1981 и 378). Выполняем последовательное деление

НОД (1981 и 378)= = НОД (378 и91)= = НОД (91 и 14)=

= НОД (14 и 7)= =НОД (7 и 7)=7

Последний отличный от 0 остаток 7 и есть искомый НОД (1981; 378 )=7. Этот метод нахождения НОД двух чисел носит имя великого древнегреческого математика Евклида, жившего 2200 лет назад.

Замечательное свойство чисел

Теорема. Для любых двух натуральных чисел a, b произведение их наибольшего общего делителя на их наименьшее общее кратное равно произведению самих чисел.

НОД (a;b) НОК (a;b)=ab, т. е.

(a;b) [a;b]=ab

Задача. НОД двух чисел 10, а НОК этих чисел 2400. Найти эти числа, если одно из них равно другого.

Решение: пусть одно число х, а другое х, т. к. , то тогда

Ответ: 160 и 150

Задача. Найти (645, 381).

Решение: с помощью алгоритма Евклида найдем , тогда

Удобный способ записи чисел.

_ abc=100a+100b+c и т. д.

С введением такой записи чисел появляется возможность легкого решения многих задач на делимость.

Задача 1. Докажите, что числа запись которых состоит из трёх одинаковых цифр, делится на 3 и на 37.

Решение: aaa =100a+10a+a=111a=3 37a

Задача 2. Докажите, что если число N делится на 9, то его сумма цифр делится на 9.

Доказательство: пусть N трехзначное число:

N делится на 9, если число делится на 9.

Задача 3. Цифры трёхфазного числа записали в обратном порядке и из большего вычли меньшее, Докажите, что разность делится на 9.

Доказательство:

полученная разность кратна 9 (а также 3,11,33 и 99).

Задача 4. Докажите, что число записанное с помощью шестью одинаковых цифр делится на 3, 7, 13, 11, 37. Действительно , т. е. кратно 3, 7, 11, 13 и 37.

5. Задача-фокус. Возьмите трехзначное число. Запишите цифры в обратном порядке, получится ещё одно трёхфазное число. От большего отнимите меньшее. Последнюю цифру разности скажите мне, и я назову разность. Почему это так?

Решение:

Имеем: , причем разность

, может быть равна 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8. Тогда искомая разность

, будет выражаться числами: 0, 99, 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792.

Легко прослеживается закономерность в полученных числах: средняя цифра всегда 9, сумма крайних тоже 9. Если, например, ученик назвал последнюю цифру 4, тогда разность равна 594.

Задача 6. Написали подряд два раза трехзначное число (например 548, 548). Докажите, что полученное число делится на 7, 11 и 13.

Решение:

Задача 7. Написали подряд три раза двузначное число (например 73, 73, 73)

Докажите, что полученное число делится на 3, 7, 13 и 37.

Решение:

Задачи на нахождение

НОД и НОК

Задача. Являются ли числа 864 и 875 взаимно простыми?

Найдем (864, 875) по алгоритму Евклида

(864, 875)=(864, 11)=(11, 6)=(5, 6)=1 значит числа взаимно простые.

Задача. В одном зрительном зеле 546 мест, а в другом 650. Сколько рядов в каждом зале, если количество мест в рядах одинаково и наибольшее из всех возможных?

Решение: количество мест в ряду будет равно НОД (546, 650)

(546, 650)=(546, 104)=(104, 26)=(26, 26)=26 задача дальше решается так:

(ряд) в первом зале

(ряд) во втором зале

Ответ: 21 ряд и 25 рядов.

Задача. Три парохода «Витязь», «Орион» и «Быстрый» вышли из порта одновременно. Продолжительность их рейсов:

«Витязь» - 15 дней

«Орион» - 24 дня

«Быстрый» - 18 дней через сколько дней пароходы вновь встретятся в этом порту?

Решение: пароходы встретятся через такое число дней, которое является НОК(15, 24, 18).

НОК(15, 24, 18)=360

Через 360 дней пароходы встретятся в этом порту.

Ответ: 360 дней.

Задача. Завезли 180 роз и 756 тюльпанов. Сколько роз и сколько тюльпанов можно поместить на клумбе, чтобы наибольшее число клумб оказались одинаковыми по числу посаженных цветов?

Решение: число клумб будет равно НОД(180, 756)

(756, 180)=(180, 36)=(36, 36)=36 т. е. всего 36 клумб.

(роз) на одной клумбе

(тюльпан) на одной клумбе.

Итак, нужно сделать 36 клумб и на каждой посадить 5 кустов роз и 21 тюльпан.

Ответ: 5 роз и 21 тюльпан.

Задача (на применение признаков делимости).

Среди чисел одно простое. Какое и почему? а) 4770, 381, 53378, 52378, 827 б) 14975, 3310, 569, 861, 13558 в) 1365, 291, 12538, 7770, 907.

Решаем устно, исключая все числа, к которым можно применить признаки делимости.

Сравнения

Если два числа a и b имеют одинаковые остатки при делении на m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m, и пишут.

(mod m)

Свойства сравнений

1. Сравнение имеет место в том и только в том случае, если разность делится на m. Т. е. числа a и b в том и только в том случае имеют одинаковые остатки при делении на m, если a-b делится на m.

2. Сравнение можно почленно складывать и вычитать, т. е. если

(mod m) и (mod m), то (mod m).

3. Сравнение можно почленно складывать и вычитать, т. е. если

(mod m), (mod m), то (mod m).

Задачи решаемые с помощью сравнений

Задача 1. Не проводя обычных вычислений, найти, остаток от деления на 7 следующей суммы:

8+79+780+7781+77782+777783

Решение:

(mod 7), (mod 7), (mod 7) т. к. 8=7+1 т. к. 79=77+2 т. к. 780=777+3

По свойству 2 данная сумма сравнима с числом 21

1+2+3+4+5+6=21 по модулю 7 т. е. при делении данной суммы на число 7 получим тот же остаток, что и при делении на 7 числа 21.

делится без остатка, т. е. остаток равен 0

Ответ: данная сумма делится на 7 без остатка.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)