Учеба  ->  Науки  | Автор: | Добавлено: 2015-05-28

Решение геометрические задачи на построение

Решая геометрические задачи на построение, следует опираться на определённые простейшие операции известные ещё с древних времён. Такие, как откладывание равного угла, деление отрезка пополам, опускание высоты, построение биссектрисы и т. д. Но нередко встречаются задачи, в которых не даны основные величины, по которым можно легко построить искомую фигуру. О методе решения таких задач, а именно о методе спрямления, пойдет речь в статьи.

Задача №1

«Построить треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон».

Дано: а - одна из сторон; b+c – сумма двух других сторон (b и с);

B – Угол прилежащий к стороне a.

Построить: ΔABC.

1)Анализ.

Предположим ΔАВС – искомый, где ВС=а, В - заданный угол. Продолжим сторону ВА и на её продолжении отложим AD=CA. Соединим C с D.

В ΔCBD имеем: BD=b+c; ВС=а; CBD = B.

ΔBCD можно построить по двум сторонам и углу между ними.

ΔCAD – равнобедренный (CA=AD), в котором AH-высота и медиана. Проведя серединный перпендикуляр (AH CD), определим вершину А.

2)Построение.

1) ΔCBD,где BC=a; B= CBD; BD=b+c;

2) AH CD и CH=HD.

3) Доказательство.

ΔABC – искомый, т. к. он удовлетворяет всем требованиям задачи: BC=a;

BC+AC=b+c; B равен данному.

4) Исследование.

Условие, необходимое для решения задачи, b+c>a. Докажем, что это условие и достаточно, т. е. если оно выполнено, то задача разрешима.

Если c+b>a, то в BCD C > D, а потому возможно провести линию AC по ACD к стороне CD, чтобы ACD= ADC, что позволяет восстановить серединный перпендикуляр к CD.

Итак, задача разрешима при b+c>a и имеет одно решение.

Задача №2

«Построить треугольник по данной стороне, углу, ей противолежащему, и разности двух других сторон».

Дано: a – одна из сторон; b-c – разность двух других сторон;

A – угол противолежащий стороне a;

Построить: ΔABC.

1)Анализ.

Пусть ΔABC – искомый. На АС отложим АВ и получим точку D. ΔBAD – равнобедренный.

В ΔBDC известны две стороны: BC=a и DC=b-c. Определим угол BDC. Он внешний по отношению к ΔBAD и равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных, т. е.

BDC= A+ DBA.

Но DBA= ADB=(180о- A):2.

Таким образом, BDC= A+ ABD= A+ = 90о+.

Итак, задача свелась к построению ΔBDC по двум сторонам a и b-c и BDC. Построение EA BD, причём BE=ED, до пересечения луча CD с EA даёт положение вершины А.

2)Построение.

1) BDC; DC=b-c; BC=a

2) середина BD=> E; EA BD; CD∩EA=>A

3)AB=>ΔABC

3)Доказательство.

ΔABC-искомый, т. к. удовлетворяет всем требованиям задачи: BC=a;

DC=b-c (т. е. AC-AB); угол А равен данному.

4)Исследование.

Условие, необходимое для решения задачи, a>b-c в противном случае a+c

Задача №3

«Дан отрезок h и отрезок P. Построить равнобедренный треугольник с периметром P и высотой h»

Дано: h - высота искомого треугольника;

P - периметр искомого треугольника.

Построить:ΔABC

1)Анализ.

Пусть ΔABC построен: AB=BC; AB+BC+AC=P; BO=h.

Отложим на прямой АС отрезки АА1=AB и CC1=CB, тогда A1C1=P. ΔA1BC1 – равнобедренный, A1B=C1B, BA1C1= BC1A1=α.

Тогда BCO=2α (как внешний угол треугольника BCC1), а OBC=90◦-2α (заметим, что углы при основание равнобедренного треугольника всегда острые, значит α<45◦).

Прямоугольный треугольник BOC, в котором BO=h и OBC=90◦-2α можем построить.

2) Построение.

1) На прямой l откладываем отрезок A1C1, равный P, строим серединный перпендикуляр этого отрезка и на нём откладываем OB=h.

Соединяем точки A1 и B и точки С1 и B.

2) От BC1 откладываем угол C1BC=α=BC1C. От BA1 откладываем угол A1BA=α=BA1A.

ΔABC-искомый.

3) Доказательство.

По построению треугольник ABC – равнобедренный (АО=ОС), BO AC, BO=h.

Так как угол OBC=90◦-2α, то угол BCО=2α, он внешний угол для треугольника BCC1, в котором угол BC1C=α, значит угол СВС1=α, ΔВСС1 равнобедренный, ВС=СС1.

Итак, ОС1=Р=ОС+СС1=ОС+ВС, что означает АС+2ВС=АС+ВС=Р.

4) Исследование.

Построение возможно, если α<45◦, т. е. если ВО=h

Построение единственно.

Задача №4

«Дан отрезок m. Построить квадрат, в котором сумма диагонали и стороны равна m»

Дано: m – сумма диагонали и стороны.

Построить: ABCD

1) Анализ.

Предположим, что построен искомый квадрат ABCD. Поворачиваем диагональ АС так, чтобы она легла на прямую ВА отрезок AF=AС, тогда BF=m.

Треугольник FAC будет равнобедренный, угол α при основании FC равен

Мы можем построить прямоугольный треугольник BCF с катетом

BF=m и углом BFC=.

2) Построение.

1) Строим прямой угол, делим его пополам и половину угла делим пополам. Получаем угол 45◦. Переходим к построению квадрата.

2) На прямой откладываем отрезок BF=m. Через точку B проводим прямую ВК, перпендикулярную прямой BF.

3) От луча FB откладываем угол BFE, равный ранее построенному углу , получаем точку С на прямой ВК.

4) Далее раствором циркуля, равным ВС от точки В, отмечаем точку А на прямой BF, и тем же раствором циркуля с центром в точках А и С проводим дуги, в пересечении получаем точку D.

5) ABCD – искомый квадрат.

3) Доказательство.

По построению ABCD – ромб, все стороны равны, но ромб с прямым углом, т. е. квадрат.

Угол CAF =45◦+90◦=135◦, угол AFC= , тогда в треугольнике AFC угол ACF= и AF=AC. Таким образом m=BF=BA+AC.

4) Исследование

Построение единственно и всегда возможно.

Понимание цели задачи, осознание данных нам условий и составление чёткого плана их применения для построения искомой фигуры помогает нам провести анализ, после чего построить фигуру не составит и труда. Также довольно интересно исследование каждой задачи, где мы доказываем условия возможности построения и количество различных решений.

Комментарии


Войти или Зарегистрироваться (чтобы оставлять отзывы)