Решение равенств с многочленами

Почти во всех случаях, когда в левой части уравнения стоит многочлен степени выше 2-ой, а в правой части – 0, решение уравнения сводится к преобразованиям многочлена в произведение многочленов более низкой степени (то есть к разложению многочлена на множители). Например:. Прибавим и отнимем , а слагаемое представим в виде. Уравнение примет вид:

Ни одно из уравнений совокупности не имеет решений, таково же и исходное уравнение.

Приведенный в этом примере способ разложения на множители не всегда очевиден, сложно бывает «придумать» те искусственные преобразования, которые требуются для получения формулы квадратов двучленов.

Существует более общий, применимый во многих случаях, способ разложения многочленов на множители, который не изучается в школьном курсе. Этот способ основывается на теории делимости многочленов.

Деление многочленов широко используется при разложении многочленов выше второй степени на множители, что занимает одно из ведущих мест в математике для решения различных заданий.

Изучить способ разложения многочлена на множители, который основывается на теории делимости многочленов.

1. Изучить теорию делимости многочленов.

2. Решить множество примеров, которые основываются на теории делимости многочленов.

3. Создать проект.

1. Поисковый.

2. Исследовательский.

3. Практический.

4. Метод проб и ошибок.

Свою работу я начал с рассмотрения множества пособий по математике, использовал сеть Интернет, собрал базу данных. Из них я выбрал нужную мне информацию. Изучил теорию. Решил множество примеров, используя теорию делимости многочленов. Однотипные примеры я старался не брать. Консультировался с учителем математики Ниловой Т. С. Провел опрос в лицее: кто знает или хотя бы знаком с теорией делимости многочленов?

Результаты были следующими:

Вопрос 1: Слышал ли ты о Вопрос 2: Умеешь ли ты делить многочлен на многочлен под углом?

теории делимости многочленов?

Примеры на эту тему я встретил в КИМах по ЕГЭ в 11 классе, в олимпиадных заданиях, в заданиях для факультативных работ. Это еще раз подчеркивает актуальность и практическую значимость моей темы.

Деление многочленов широко используется при разложении многочленов выше второй степени на множители, что занимает одно из ведущих мест в математике для решения различных заданий.

Большой вклад в теорию деления многочленов внес французский математик Этьен Безу, который родился в Немуре 31 марта в 1730 году. В 1758 году он стал членом Парижской Академии Наук. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры: теорема Безу, которая рассматривает деление многочлена на многочлен.

В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный “Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Почти во всех случаях, когда в левой части уравнения стоит многочлен степени выше 2-ой, а в правой части – 0, решение уравнения сводится к преобразованиям многочлена в произведение многочленов более низкой степени (то есть к разложению многочлена на множители) и применению теоремы: Пусть в уравнении f(x)=0 функция f(х) представлена в виде произведения функций g(x)g(x)g(х), которые определены на области определения на области допустимых значений функции f(x). Тогда множество решений уравнения f(x)=0 есть объединение множеств решений уравнений g(x)=0, g(x)=0, g(х)=0.

Применив любой из известных способов разложение многочлена на множители, осуществим равносильное преобразование f(x)=0 g(x) g(x)g(х)=0, где g(x) g(x)g(х)= f(x).

Уравнение g(x) g(x)g(х)=0 равносильно совокупности уравнений

При условии, что каждое из уравнений совокупности определено на ОДЗ исходного уравнения.

Пример:. Прибавим и отнимем , а слагаемое представим в виде. Уравнение примет вид:

Ни одно из уравнений совокупности не имеет решений, таково же и исходное уравнение. Приведенный в этом примере способ разложения на множители не всегда очевиден, сложно бывает «придумать» те искусственные преобразования, которые требуются для получения формулы квадратов двучленов. Существует более общий, применимый во многих случаях, способ разложения многочленов на множители. Этот способ основывается на теории делимости многочленов.

Многочлены от одной переменной

Известно, что многочлен определяется как сумма одночленов. Если речь идет о многочленах от одной переменной, то, очевидно, выполнив все возможные тождественные преобразования одночленов (приведение их к стандартному виду, приведение подобных членов) мы получим многочлен, имеющий вид:, где - некоторые числа, называемые коэффициентами многочлена, х - переменная величина, п - наибольший показатель степени переменной. Такая запись называется каноническим видом многочлена.

Если - коэффициент при отличен от нуля, то одночлен называют старшим членом многочлена, - старшим коэффициентом, а многочлен – многочленом п-ой степени. Коэффициент - свободный член многочлена.

Если все коэффициенты многочлена равны нулю, то такой многочлен тождественно равен нулю и называется нулевым многочленом. Если же хотя бы один коэффициент многочлена отличен от нуля, то такой многочлен не является нуль -многочленом, то есть он тождественно не равен нулю, а значит, существует такое значение х=с, Р(с)≠0.

Два многочлена считаются равными, если их каноническая запись одинакова, то есть многочлены имеют одну и ту же степень и коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных совпадают.

Известные правила сложения и умножения многочленов позволяют сформулировать два очевидных утверждения.

Если даны два любых многочлена:

1) Сумма этих многочленов также является многочленом, степень которого k ≤ mах(т,n).

2) Произведение этих многочленов также является многочленом, степень которого k=m+n, если Р(х)≠0 и Q(х)≠0.

Рассмотрим вопрос о делении многочленов. Пусть Р(х) и В(х) два произвольных многочлена, причем В(х) ≠0. Если существует такой многочлен Q(х), что Р(х)= В(х)Q(х),то говорят, что многочлен Р(х) делится на В(х) и Q(х) является частным от деления Р(х) на В(х).

Однако деление многочленов – операция выполнимая не всегда. Например , проверим делится ли на. Если деление выполнимо, то справедливо тождество:=()q(х), где q(х)- частное от деления. Но очевидно записанное равенство не является тождеством, так как при х=2, правая часть равенства обращается в нуль, а левая равна 7. Мы убедились в том, что деление многочленов – операция не всегда выполнимая.

Однако имеется более общая операция, называемая деление с остатком и осуществимая в множестве многочленов всегда (за исключением случая, когда делитель равен нулю).

Теорема 1 (о делении с остатком). Пусть Р(х) и В(х) – два произвольных многочлена, причем многочлен В(х) отличен от нуля. Тогда существует единственная пара многочленов Q(х) и R(х), называемых соответственно неполным частным и остатком, таких, что выполняется равенство: Р(х)=В(х)Q(х)+R(х) и многочлен R(х) либо равен нулю, либо имеет меньшую степень, чем многочлен В(х).

Доказательство. Запишем в канонической форме многочлены Р(х) и В(х).

Докажем в начале, что существуют многочлены Q(х) и R(х)- удовлетворяющие равенству (1). Если Р(х)=0, т равенство (1)удовлетворяют многочлены Q(х)=0, R(х)=0 – то есть искомые многочлены существуют. Если Р(х)≠0, то при п<т многочлены Q(х)=0, R(х)= Р(х) удовлетворяют поставленным условиям, то есть тоже существуют.

Рассмотрим случай, когда п≥т. Найдем частное от деления первых членов многочленов Р(х) и В(х) (, иначе многочлен не имел бы степень т). Получим. Составим многочлен (2) и вычислим его первый член. Старший член многочлена (2) совпадает со старшим членом многочлена Р(х). Поэтому разность - это многочлен, степень которого меньше п. Прибавив к Р(х) и вычтя из него многочлен (2), получим очевидное тождество: Обозначим через , а оставшиеся слагаемые через , тогда тождество примет вид , (3) где - многочлен равный нулю или степени меньше п (меньше степени Р(х)).

Если многочлен равен нулю или имеет степень, меньшую чем т, то равенство (3) дает требуемое представление многочлена Р(х): и Если же имеет степень, большую или равную т, то поступим с многочленом так же, как поступили перед этим с Р(х), то есть поделим первый член на первый член В(х) и умножим отношение на В(х) и так далее. Многочлен может быть таким способом представлен в виде , где имеет степень меньшую, чем или равен нулю.

Выполнив это преобразование, подставим в (3) значение. Получим:

Если многочлен равен нулю или его степень меньше, чем т, то требуемым условиям удовлетворяют многочлены

Если все ещё степень больше или равна т, то следует точно так же поступить с многочленом , в результате чего остаток R(x) окажется равным многочлену , степень которого будет меньше степени. продолжим этот процесс до тех пор, пока после конечного числа шагов получим остаток - многочлен степени меньше т. Последнее разложение многочлена Р(х) и даст нам многочлены Q(х) и R(x). Итак, мы показали, что деление с остатком всегда осуществимо.

Докажем теперь единственность неполного частного и остатка в разложении многочлена Р(х)=В(х)Q(х)+R(х). Будем доказывать методом от противного. Пусть существуют два различных разложения Р(х)=В(х)Q(х)+R(х) и Р(х)=В(х)Q(х)+R(х),где R(х) и R(х) – многочлены степени меньше, чем т. Составим равенство:

В(х)Q(х)+R(х) =В(х)Q(х)+R(х) В(х)( Q(х)- Q(х))= R(х)- R(х).

Разность многочленов R(х)- R(х) – многочлен степени меньше т. В левой части равенства произведение многочленов. Степень одного из множителей равна т, значит степень произведения не меньше т. Многочлены, стоящие в левой и правой частях равенства, имеют разную степень, а следовательно, равными быть не могут, пришли к противоречию. Значит, существует только одна пара многочленов Q(х) и R(x), удовлетворяющих равенству.

Теорема доказана.

Рассмотрен случай, когда Q(х)≠Q(х) и R(х)≠R(х). Можно доказать, что, если Q(х)=Q(х), а R(х)≠R(х) (или наоборот), то двух различных разложений все равно не будет. Примененный при доказательстве теореме алгоритм построения многочлена Q(х) может быть описан чуть-чуть по другому. Рассмотрим раньше пример.

Пример. Найти неполное частное и остаток от деления многочлена на

Решение.

Сформулируем теперь описание алгоритма.

Шаг 1. Полагаем «текущий остаток» равным многочлену Р(х), «текущее частное» - нулю.

Шаг 2. Если степень текущего остатка меньше степени В(х), то закончим на этом. Текущие значения частного и остатка – это и есть требуемые значения неполного частного и остатка от деления соответственно. если же степень текущего остатка больше или равна степени многочлена В(х), то выполняем

Шаг 3. Делим старший член «текущего остатка» на старший член многочлена В(х), результат деления прибавляем к «текущему чаатному», получая тем самым его новое значение, и умножаем на В(х), а затем результат этого умножения вычитаем из «текущего остатка», получая тем самым новое значение «текущего остатка».

Вернуться к шагу 2.

Описанный алгоритм называется «алгоритм деления углом» потому, что обычно записывается «углом».

Отметим, что в случае, когда В(х) – многочлен в нулевой степени (число, отличное от 0) необходимости применить алгоритм нет, деление выполняется «нацело» (остаток равен 0).

Рассмотрим еще несколько примеров деления многочленов «углом».

1) 2)

Далее рассмотрим теоремы, связывающие понятие делимости многочленов с понятием корня многочлена.

Напомним, что число а называется корнем многочлена Р(х), если при подстановке а вместо х в многочлен. получается 0, то есть Р(а)=0.

Теорема 2. Если Р(х), то а является корнем многочлена Р(х).

Доказательство: Если Р(х), то существует такой многочлен Q(х), что для всякого х: Р(х)=Q(х)(х-а). Но тогда Р(а)=Q(а)(а-а)=0, что и требовалось доказать.

Теорема 3. (Теорема Безу) Остаток от деления многочлена Р(х) на (х-а) равен Р(а) (то есть, равен значению этого многочлена при х=а).

По теореме о делении с остатком можем записать, что

Р(х)=(х-а)Q(х)+R(х), где остаток R(х) является многочленом степени ниже, чем степень делителя х-а, то есть степень R(х) равна 0, а значит остаток – постоянное число R(х)=r. Тогда Р(х)=(х-а)Q(х)+r.

Так как это равенство верно для любого х, то запишем его для х=а.

Р(а)=(а-а)Q(а)+r; Р(а)=0+r, что и требовалось доказать.

Непосредственным следствием из этой теоремы является

Теорема 4. Если а – корень многочлена Р(х),то Р(х),(то есть Р(а)=0)

Все сформулированные теоремы позволяют сделать вывод, что если нам известен один корень х=а алгебраического уравнения Р(х)=0, то

Р(х)=(х-а)Q(х). И нахождение остальных корней уравнения сводится к решению уравнения Q(х)=0, имеющего меньшую степень, чем исходное уравнение.

Рассмотрим решение нескольких примеров на рассмотренные темы.

1. Докажите, не выполняя деление, что

Решение. По теореме 2 известно, что если многочлен Р(х), то Р(а)=0. Проверим значение данного многочлена при х=-2

Ответ. Данный многочлен делится на х+2.

2. Делится ли многочлен на ?

Решение. Для того чтобы многочлен делился на , он должен делиться на (х-1) и на (х+1). Проверим значение данного многочлена при х=1 и при х=-1.

х=1: - на (х-1) многочлен делится; х=-1: - на (х+1) многочлен не делится.

Ответ. Многочлен не делится на

3. При каких а и в выполняется без остатка деление на

Решение. Так как то для того чтобы многочлен делился без остатка на он должен делиться на (х-2) и (х-1). То есть значения этого многочлена при х=2 и при х=1 должны быть равны нулю. Обозначим многочлен через f(х). Составим систему.

Ответ: а=-30; в=28.

4. Многочлен при делении на (х-1) дает остаток 2, а при делении на (х+2) дает остаток 3. Найти остаток от деления Р(х) на (х-1)(х+2).

Решение. По теореме о делимости с остатком можно записать

Р(х)= (х-1)(х+2)Q(х)+R(х). Так как делитель (х-1)(х+2) имеет степень, равную 2, то остаток будет многочленом не выше первой степени (линейным двучленом). Обозначим R(х)=ах+в, тогда Р(х)= (х-1)(х+2)Q(х)+ах+в.

Из условия задачи и теоремы Безу следует, что Р(1)=2; Р(-2)=3. Подставляем в равенство х=1 и х=-2, получим систему двух уравнений.

Ответ. Остаток равен:

5. Докажите, что многочлен степени п имеет не более п разных корней.

Решение. Известно, что если - корни многочлена Р(х), то ; , а значит Р(х) делится и на произведение этих двучленов. Произведением двучленов будет многочлен В(х), степень которого будет равна числу сомножителей (числу корней многочлена). Чтобы Р(х)В(х), необходимо, чтобы степень В(х) была не больше степени Р(х). Это и значит, что число корней многочлена не может превышать его степени.

Доказанное только что положение очень важно в теории многочленов и уравнений и мы его сформулируем виде теоремы.

Теорема 5. Любой многочлен п-ой степени может иметь не более п корней.

Теорема Безу и ее следствия дают способ разложения на множители многочлена, если известны его корни. Но как отыскать эти корни? Решить эту задачу поможет следующая теорема.

Теорема 6. (Эйзенштейна) Если- многочлен с целыми коэффициентами, а х=p/q – его рациональный корень (дробь p/q – несократима, q>0), то p является делителем свободного члена , а q – делителем старшего коэффициента

Доказательство. Подставим в многочлен х=p/q, тогда Р (p/q)=0, так как p/q - по условию теоремы - корень многочлена. Получим равенство: Умножим левую и правую части неравенства на qn. anpn+an-1pn-1q++a1pqn-1+a0qn=0. (1)

Оставим в левой части равенства (1) старший член, а остальные перенесем в правую часть anpn=-(an-1pn-1q++a1pqn-1+a0qn), вынесем за скобку q: anpn=-q(an-1pn-1++a1pqn-2+a0qn-1).

Это означает, что anpnq, но так как p и q – взаимнопростые числа, то значит anq. Если в равенстве (1)оставить в левой части a0qn, а остальные перенести в правую часть и вынести p за скобки, то получим a0qn=-p(anpn-1+an-1pn-2q++a1qn-1). Это означает, что a0p.

Теорема доказана.

Следствие. Если x0 – целый корень многочлена P(x) с целыми коэффициентами, то x0 является делителем свободного члена.

Применение теоремы Эйзенштейна в комбинации с теоремой Безу и алгоритмом деления многочленов “углом”, в случае наличия у многочлена рациональных корней, позволяет отыскивать корни многочленов и, следовательно, решать уравнения вида P(x)=0.

Примеры.

1) Разложить на множители многочлен: x5-11x4+45x3-85x2+74x-24.

Решение. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то, если этот многочлен имеет рациональные корни, они целые и являются делителями числа 24, то есть принадлежат множеству {1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;8;-8;12;-12;24;-24}.

Начинаем проверку с наименьших по модулю возможных корней. Подставляя x=1, получаем 1-11+45-85+74-24=0, то есть x=1- корень многочлена. По теореме Безу это означает, что многочлен делится на (x-1).

Делим под углом: x5-11x4+45x3-85x2+74x-24 ‌ x5-x4 x4-10x3+35x2-50x+24

-10x4+45x3-85x2+74x-24

-10x4+10x3

35x3-85x2+74x-24

35x3-35x2

-50x2+74x-24

-50x2+50x_

Таким образом, x5-11x4+45x3-85x2+74x-24=(x-1)(x4-10x3+35x2-50x+24).

Теперь раскладываем x4-10x3+35x2-50x+24. подстановкой убеждаемся, x=1 – его корень, и, следовательно, он делится на (x-1).

Делим углом: x4-10x3+35x2-50x+24 ‌ x4-x3 x3-9x2+26x-24

-9x3+35x2-50x+24

-9x3+9x2

26x2-50x+24

26x2-26x_

-24x+24

-24x+24

Следовательно, x4-10x3+35x2-50x+24=(x-1)(x3-9x2+26x-24).

Теперь раскладываем x3-9x2+26x-24. Подстановкой убеждаемся, что x=1 и x=-1 не являются корнями этого многочлена, а x=2 – является.

Делим углом на x-2 x3-9x2+26x-24 x3-2x2 x2-7x+12

-7x2+26x-24

-7x2+14x_

Следовательно, x3-9x2+26x-24=(x-1)(x2-7x+12).

Раскладываем теперь x2-7x+12.

Можно продолжить отыскание корней полученного квадратного трехчлена тем же методом, но проще, конечно, найти корни квадратного трехчлена привычным способом. Получим x=3 и x=4 – корни этого трехчлена.

Итак, x5-11x4+45x3-85x2+74x-24=(x-1)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).

Заодно, мы можем сказать, что корнями многочлена x5-11x4+45x3-85x2+74x-24 являются числа 1,2,3 и 4, и других корней у этого многочлена нет.

В разобранном примере нам встретился многочлен, имеющий корень x0 и делящийся при этом не только на (x- x0), но и на некоторую степень (x- x0) (в примере раскладываемый многочлен делится на (x-1)2). Такие корни называются кратными.

Определение. Если многочлен P(x) делится на (x-x0)k и не делится на

(x-x0)k +1, то x0 называется корнем многочлена кратности k.

2) Решите уравнение 2x3-7x2+5x-1=0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители, для этого определим какой-нибудь один корень многочлена, стоящего в левой части уравнения. Целых корней уравнение, очевидно, не имеет, так как ни 1, ни -1 не обращают многочлен в нуль. Других целых корней многочлен не имеет. Дробный корень может быть равен или.

Проверкой установим, что рациональный корень один Значит, многочлен делится на Произведем деление «углом».

Значит,

Ответ:.

3) Найдите а и решите уравнение , если известен один из его корней.

Решение. Так как - корень уравнения, то это значение x удовлетворяет уравнению

Полученное значение a подставим в данное уравнение

По условию -корень этого уравнения, значит

Вычислим частное.

Несмотря на свою универсальность, описанный выше способ отыскания рациональных корней многочленов и уравнений требует довольно много вычислений и в некоторых конкретны случаях может (и должен) комбинироваться с различными приемами, уменьшающими необходимое количество работы. Приведем пример.

4. Разложить на множители многочлен

Заметим, что в этом многочлене участвуют не только одночлены с четными степенями x (коэффициенты при нечетных степенях x равны 0).

Решение. Сделаем замену Получим многочлен Воспользуемся готовым результатом разложения, имеем (Проверьте!). Тогда

Метод разложения на множители

В этом примере приходится применять и метод замены переменных и метод разложения на множители.

Оба метода приходится применять и при разложении на множители однородных многочленов с двумя переменными. Дадим определения.

Определение. Многочлен от нескольких переменных называется однородным, если степени всех его слагаемых – одночленно одинаковы.

Так, - однородный многочлен, -нет.

5. Разложить многочлен на множители.

Решение. Заметив, что многочлен однородный, введем обозначение и выразим a и его степени через b и x: Тогда

Примечание. Правильность разложения многочлена на множители проверьте!

Рассмотрим способ решения ещё одного вида уравнений–симметрических уравнений.

Определение. Симметрическим уравнением n-й степени называется уравнение вида в котором , где

Это значит, что равны между собой коэффициенты членов, сумма показателей неизвестного у которых равна n. Многочлен, стоящий в левой части уравнения так же называется симметрическим.

Симметрическими будут уравнения:

Легко показать справедливость следующих трех утверждений о симметрических уравнениях (и многочленах).

а) Корни симметрического уравнения отличны от нуля.

б) Если x=a – корень симметрического уравнения, то также является корнем этого уравнения.

в) Симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень x=-1. (обоснуйте справедливость этих утверждений самостоятельно).

Последнее утверждение дает способ сведения решения симметрического уравнения нечетной степени к симметрическому уравнению четной степени – делением многочлена, стоящего в левой части уравнения на x+1. (убедитесь в том, что при делении действительно получится симметрический многочлен. )

Симметрическое уравнение четной степени решается введением новой переменной. Рассмотрим этот способ на примере решения симметрического уравнения четвертой степени в общем виде.

Разделим обе части уравнения на (x=0 не является корнем многочлена).

Сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами.

Выполняем замену Из полученного уравнения найдем корни и (если они есть). Далее переходим к первоначальной переменной, решая уравнения и.

6) Решить уравнение Нам известно, что симметрическое уравнение нечетной степени имеет корень x=-1. Разделим на (x+1) получим частное Полученный многочлен симметрический, четной степени. Исходное уравнение свелось к решению уравнения Делим левую и правую часть на и далее выполняем все преобразования, описанные выше:

Найдем x из уравнений

Для разложения многочлена на множители можно применять метод неопределенных коэффициентов.

Пример. Разложить на множители

Будем искать разложение в виде (так как старший коэффициент данного многочлена равен 1, то разложение такого вида найти можно).

Раскрыв скобки, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x (используем определение тождественно равных многочленов). Получим систему:

Для нас нет никакой необходимости искать все решения этой системы – нас устроит любое. Эта система, конечно, не обязана иметь решения в целых числах, но мы попытаемся найти такое решение. Предположив, что все коэффициенты целые, и глядя на 4-ое уравнение, модно заподозрить, что найдется такое решение, в котором b=3, а q=1. Попробуем поискать такие решение системы. Тогда получим p+a=1, ap=-6, a+3p=7. Всем этим уравнениям удовлетворяют числа a=-2, p=3.

Получили разложение Разложить первый из этих трехчленов и доказать, что второй не раскладывается на множители – труда не составит.

B-6: Для вычислите значение выражения

Решение:

Если х = , то

ВАРИАНТ №1

Задание А1

Целая часть дроби имеет вид

1) 3х2+х-2; 2) 3х2-х+2; 3) 3х2+х+2; 4) 3х2+2х+1.

Задание А2

Остаток от деления многочлена -2х3+7х-1 на двучлен х-4 равен

1) -51; 2) -91; 3) -101; 4) -111.

Задание А3

Какие из многочленов делятся на х-1

Р1=х2+3х+2;Р5=х4+х3+3х2+4х+1;

Р2=х3-3х2+2;Р6=2х5-5х3-8х+10;

Р3=х4-3х2+2 ;Р7=4х5+х2-7х+2;

Р4=х4-2х3+2х2-9х+8;Р8=2х6+3х5+4х3+8х+5?

1)Р2 , Р3 , Р5 , Р8 ; 2) Р1 , Р5 , Р7 ; 3)Р2 , Р3 , Р4 , Р7 ; 4) Р4 , Р6 , Р8.

Задание В1

Найдите сумму корней уравнения х3-3х+2=0

Задание В 2

Укажите сумму всех целых чисел К, при которых дробь является целым числом.

Задание С1

Разложите многочлен на множители х4-2х3-х2-4х+12.

Задание С2

Решить уравнение х4 - 5 х3 + 12х2 + 8 х -32=0.

ВАРИАНТ №2

Задание А1

Целая часть дроби имеет вид

2) -3х2+7х+21; 2) -3х2-7х+21; 3) -3х2+7х-21; 4) -3х2-7х-21.

Задание А2

Остаток от деления многочлена 4х3+3х2+28 на двучлен х+4 равен

1) -180; 2) -120; 3) -80; 4) -20.

Задание А3

Какие из многочленов делятся на х+1

Р1=х2+3х+2;Р5=х4+х3+3х2+4х+1;

Р2=х3-3х2+2;Р6=2х5-5х3-8х+10;

Р3=х4-3х2+2 ;Р7=4х5+х2-7х+2;

Р4=х4-2х3+2х2-9х+8;Р8=2х6+3х5+4х3+8х+5?

1)Р2 , Р3 , Р4 , Р7 ; 2) Р1 , Р3 , Р5 ; 3)Р2 , Р3 , Р4 , Р8; 4) Р4 , Р6 , Р8.

Задание В1

Найдите сумму корней уравнения х3+х2-5х+3=0

Задание В2

Укажите наибольшее целое число К, при котором дробь является целым числом.

Задание С1

Разложите многочлен на множители х4+6х3+15х2+20х+12.

Задание С2

Решить уравнение 9х3 - 30х2 + 9х - 2=0.

ПРАВЕЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ

№ Номера заданий теста

А 1 А 2 А 3 В 1 В 2 С 1 С 2

1 2 3 3 -1 -10 (х-2)2(х2+2х+3)

2 4 1 2 -2 1 (х+2)2(х2+2х+3)

Личный вклад: Изучил теорию делимости многочленов, решил множество примеров с использованием данной теории, составил тесты для самостоятельной работы, создал работу по теме «Деление многочленов».

Подтверждение гипотезы: Деление многочленов действительно широко используется при разложении многочленов выше второй степени на множители, что занимает одно из ведущих мест в математике для решения различных заданий.

Вывод: Я считаю, что поставленную перед собой цель достиг. Изучил теорию делимости многочленов, поэтому разложение многочлена на множители выше второй степени пока у меня не вызывает затруднений. Данная тема актуальна, так как математику нельзя представить без разложения на множители, а значит без деления многочлена на многочлен. Созданная мною работа может использоваться другими учениками. Кроме задач с решениями в моей работе есть задачи для самостоятельной работы. Работа издана в печатном и в электронном варианте.