Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Основные понятия

Определителем n-го порядка называется число (n, составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

Определитель вычисляется согласно указанным ниже правилу, по заданным числам (), которые называются элементами определителя (всего их n2). Индекс i указывает номер строки, j – номер столбца квадратной таблицы(1), на пересечении которых находится элемент. Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , , определителя (1).

Побочной диагональю определителя называется совокупность элементов , , , определителя (1).

Минором Mij элемента aij называется определитель (n–1)–го порядка (n–1, полученный из определителя n–го порядка (n вычеркиванием i-й строки и j-столбца.

Алгебраическое дополнение Aij элемента aij определяется равенством

Aij = (–1)i+j ( Mij (2)

Значение определителя (n находится по следующему правилу.

Для n = 2

Для n = 3 в определителе выбирается разрешающая строка или столбец, относительно которой или которого вычисляются определители 2-го порядка

Здесь в качестве разрешающей была выбрана первая строка определителя, однако, без ограничения общности, в качестве разрешающей может быть выбрана любая другая строка либо столбец.

В дальнейшем в качестве разрешающей будем рассматривать первую строку определителя.

Величины A11, A12, A13 – алгебраические дополнения, а M11, M12, M13 – миноры, соответствующие элементам a11, a12, a13 определителя (3. Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя (3 вычеркиванием первой строки и соответствующих столбцов. Например, чтобы найти минор M13, следует в определителе (3 вычеркнуть первую строку и третий столбец, а из оставшихся элементов составить определитель второго порядка.

Для произвольного n

(8), где A1k = (–1)1+kM1k, а миноры M1k, являющиеся определителями (n–1)-го порядка, получаются из (n вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

Пример 1. Вычислить определители.

Для вычисления определителя третьего порядка (3 часто пользуются привилом Сарруса (правило треугольников):

(3 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 – (a13a22a31 + a12a21a33 + a23a32a11) (9)

Схематическая запись этого правила приведена ниже:

Пример 2. Вычислить определить 4-го порядка.

Свойства определителей

Рассмотрим далее основные свойства определителей:

1. Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю:

Эти равенства можно считать правилом вычисления определителя n-го порядка. Первое из них называется разложением (n по элементам i-й строки, а второе – разложением (n по элементам j-го столбца.

2. Значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами и наоборот.

3. Если поменять местами два параллельных ряда определителя, то он изменит знак на противоположный.

4. Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю.

5. Если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя. Отсюда следует, что если элементы какого-либо ряда умножить на число (, то определитель (n умножится на это же число (.

6. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель также равен нулю.

7. Определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю.

8. Сумма всех произведений элементов какого-либо ряда определителя и алгебраических дополнений соответствующих элементов другого параллельного ряда равна нулю, т. е. верны равенства:

9. Если каждый элемент какого-либо ряда определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых соответствующий ряд состоит из первых слагаемых, а во втором – из вторых слагаемых:

10. Определитель не изменится, если ко всем элементам какого-либо его ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число (.

Методы эффективного вычисления определителей

Рассмотрим основные методы вычисления определителей.

1. Метод эффективного понижения порядка. В соответствии со свойством 1 вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n–1)-го порядка. Этот метод понижения порядка не всегда эффективен. Используя основные свойства определителей, вычисление (n ≠ 0 всегда можно свести к вычислению одного определителя (n–1)-го порядка, сделав в каком-либо ряду (n все элементы, кроме одного, равными нулю. Рассмотрим это на примере.

Пример 3. Вычислить определитель.

Решение. По свойству 5 определителей из первой строки вынесем множитель 10, а затем будем последовательно умножать полученную строку на 3, 1, 2 и складывать соответственно со второй, третьей и четвертой строками. Тогда, согласно свойству 10, имеем

По свойству 1 определителей полученный определитель можно разложить по элементам второго столбца. Тогда

В результате преобразования был получен определитель третьего порядка, который можно вычислить по правилу Сарруса или подобным же приемом свести к вычислению одного определителя второго порядка. Действительно, вычитаем из второй и третьей строк данного определителя первую строку, получаем

2. Приведение определителя к треугольному виду. Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называется определителем треугольного вида. Очевидно, что в этом случае определитель равен произведению элементов его главной диагонали. Приведение любого определителя (n к треугольному виду всегда возможно.

Пример 4. Вычислить определитель

Решение. Выполним следующие операции. Пятый столбец определителя сложим с первым, этот же столбец, умноженный на 3, – со вторым, на 2 – с третьим, на 8 – с четвертым столбцом. В итоге получим определитель треугольного вида, который равен исходному:

Приведение определителей к треугольному виду будет использоваться в дальнейшем при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса (называемого также методом Гаусса).

Решение СЛАУ методом Крамера

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений в следующем виде:

Пусть определитель матрицы A коэффициентов {aij} системы отличен от нуля, т. е. det A ( 0. Тогда справедливы формулы Крамера для вычисления неизвестных :

где , а являются определителями n-го порядка, которые получаются из путем замены в нем i-го столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Пример. Решить систему уравнений с помощью формул Крамера:

Решение. Вычислим

= 56 – 18 + 20 + 21 = 79.

Последовательно заменяя в (3 первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим